2021-2022學年甘肅省張掖市臨澤縣一中高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為ABC2D2是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD3很多關于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，

2、吸引了大量的數(shù)學家和數(shù)學愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（ ）ABCD4定義在上的偶函數(shù)，對，且，有成立，已知，則，的大小關系為（ ）ABCD5已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為( )ABCD6函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

3、在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（ ）ABC2D7某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（ ）ABCD8在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為（ ）ABCD9已知數(shù)列的首項，且，其中，下列敘述正確的是（ ）A若是等差數(shù)列，則一定有B若是等比數(shù)列，則一定有C若不是等差數(shù)列，則一定有 D若不是等比數(shù)列，則一定有10已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（ ）ABCD11已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD12已知是虛數(shù)單位，若，則（ ）AB2CD3二、填空題：本題共

4、4小題，每小題5分，共20分。13不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為_.14在九章算術中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，設該陽馬的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則_15在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是_.16工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求

5、周長的取值范圍.18（12分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.19（12分）已知函數(shù).（）若是第二象限角，且，求的值；（）求函數(shù)的定義域和值域.20（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍21（12分）山東省高考改革試點方案規(guī)定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構成將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、共8個等級參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比

6、例分別為、選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布（1）求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望（附：若隨機變量，則，）22（10分）如圖，在直三棱柱中，點分別為和的中點.（）棱上是否存在點使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結論；若不存在，請說明理由.（）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12

7、小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】 由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為 高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A2D【解析】根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設中給出的原函數(shù)與導數(shù)的關系構建新函數(shù)，本題屬于中檔題.3B【解析】根據(jù)

8、程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.4A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，所以故選：A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應用，基礎題.5B【解析】計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設球半徑為，則

9、，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.6C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時，取得最大值，即，當時，解得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時，取得最大值，求解可得實數(shù)的值.7A【解析】由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓

10、的離心率：，（ c為半焦距; a為長半軸），設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵，屬于中檔題.8C【解析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出【詳解】解：復數(shù)i（2+i）2i1對應的點的坐標為（1，2），故選：C【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題9C【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】A：當時，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因

11、此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確； D：當 時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.10A【解析】根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一

12、般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.11B【解析】對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎題.12A【解析】直接將兩邊同時乘以求出復數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對于定義

13、域內(nèi)的任意恒成立，即對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，當時取等號，由可知，當時取等號，當有解時，令，則，在上單調(diào)遞增，又，使得，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計算能力.14【解析】該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出，內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為，由此能求出【詳解】四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，設該陽馬的外接球半徑為，該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，側(cè)棱底面，且底面為正方形，內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓，內(nèi)切球

14、半徑為，故故答案為【點睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關問題，補形法的運用，以及數(shù)學文化，考查了空間想象能力，是中檔題解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多，主要有兩種：（1）補形法（構造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心垂線法，先找出幾何體中不共線三點構成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則球心一定在垂線上.15【解析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，

15、進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圓的半徑為，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題1660【解析】分析：首先將選定第一個釘，總共有6種方法，假設選定1號，之后分析第二步，第三步等，按照分類加法計數(shù)原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計數(shù)原理，求得總共有種方法.詳解：根據(jù)題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若

16、第一個選1號釘?shù)臅r候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點睛：該題考查的是有關分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，在解題的過程中，需要逐個的將對應的過程寫出來，所以利用列舉法將對應的結果列出，而對于第一個選哪個是機會均等的，從而用乘法運算得到結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將化簡為，求出的值，結合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結合，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得

17、解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.18（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）用數(shù)學歸納法證明即可；（2）根據(jù)條件可得，然后將用，表示出來，根據(jù)是一個整數(shù)，可得結果【詳解】解：（1）令，則即，成等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設成等差數(shù)列，其中，公差為，令，即，成等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列；（2），若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設，是一個整數(shù)，從而又當時，有，綜上，的最小值為【點睛】本題主要考查由遞推關系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關鍵是利用數(shù)學歸納法證明

18、數(shù)列是等差數(shù)列，屬于難題19（）（）函數(shù)的定義域為，值域為【解析】（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出及的值，再代入中即可得到結果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數(shù)的定義域為.化簡，得，因為，且，所以，所以.所以函數(shù)的值域為.（注：或許有人會認為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關系式的問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力

19、和計算求解能力，屬于?？碱}型.20（1）；（2）【解析】（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,當時,在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;當時,令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;當時,在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.21（）1636人；（）見解析【解析】（）根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可將區(qū)間分為和兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率，進而可求出相應的人數(shù)；（）由題意得成績在區(qū)間61,80的概率為，且，由此可得的分布列和數(shù)學期望【詳解】（）因為