應用數(shù)學方法-杰函數(shù)法

1、2.5 格林函數(shù)法Method of Green Function 本節(jié)課的重點、難點: 理解能用Green函數(shù)法求解的靜電問題的情況; 了解點電荷的表示; 掌握Green公式; 對于第一類和第二類邊界條件都能用Green公式求出勢函數(shù). 理解能用電多極矩法求解的靜電問題的情況； 掌握電偶極矩、電四極矩產(chǎn)生的電勢計算； 電四極矩只有五個獨立量。一、 分離變量法和鏡像法能解的情況1、分離變量法能解的情況：自由電荷全聚集在邊界上，也就是說：在要求解電場區(qū)域沒有自由電荷(泊松方程轉(zhuǎn)變?yōu)槔祭狗匠?+邊界條件。2、鏡像法能解的情況：在求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷，或者只有有限幾個點電荷，并且區(qū)域邊界或介質(zhì)

2、界面規(guī)則(電場能用等效電荷代替)+邊界條件。 能用Green定理求解靜電邊值問題的情況:給定區(qū)域V內(nèi)電荷分布 ，和區(qū)域V的邊界面S上各點的電勢 或電勢法向?qū)?shù) 。 第一類邊值問題:給定S上的電勢 , 也稱狄利克萊邊值問題;第二類邊值問題:給定S上的 ，也稱諾埃曼邊值問題。 二、 Green函數(shù)法能解的情況 下面將討論這些邊值問題是怎樣借助于有關(guān)點電荷的較簡單的邊值問題而得到解決的。三、點電荷密度的 函數(shù)表示 因為點電荷分布的特點是在點電荷所在處的電荷密度變?yōu)闊o窮大，而在其他地方電荷密度為零。若在 處有一點電荷Q，則電荷密度可寫為顯然 對于單位點電荷而言，Q=1，其密度為四、Green函數(shù) 一個

3、處在 點上的單位點電荷，它所激發(fā)的電勢方程為假設(shè)有一包含 點的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上 有如下邊界條件則把滿足邊界條件（4）式的（3）式的解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類或第二類邊值問題的Green函數(shù)。 Green函數(shù)一般用 表示， 表示單位電荷所在的位置， 代表觀察點，在（3）式和（4）式中，把 換成G，即Green 函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為五、Green公式和邊值問題的解 在這里，將用Green公式把一般Poisson方程的邊值問題的解用Green 函數(shù)聯(lián)系起來。 （1）先看Green公式的兩種形式 根據(jù) Gauss 定理，知道當 均為連續(xù)，可微的標量點函數(shù)，故 又于是，有式中V為

4、包圍面S所圍的面積，該式稱為Green第一公式。 如果上式中的 對調(diào)，即 ，同理得到將（6）式減去（7）式，得該式稱為Green第二公式 Green第一、第二公式是等價的。同時，視方便而選取之。Green公式對解靜電問題的意義是：在區(qū)域V內(nèi)找一個待定函數(shù) （ 為待求），通過這個公式從已知確定未知。 （2）邊值問題的解 給定一個區(qū)域V，其中給定了且待求的邊值問題：相應的Green函數(shù)問題是：邊界條件：現(xiàn)在，取 滿足V給定了S 取 滿足代入Green第二公式，有因為Green公式中積分，微分都是對變量 進行的，由于Green函數(shù)關(guān)于源點和場點是對稱的，即 ，為方便起見，把變量 換為 ，故有 改為

5、，即得該式左邊第二項為得到故得到這就是用Green函數(shù)求解靜電問題的一種形式解。 討論幾點： a) 在區(qū)域V中，任一點的勢唯一地決定 電荷分布及邊界的值 b) 如果所取的Green函數(shù)屬于第一類問題，即 這時則有這實質(zhì)上就是第一類邊值問題的解 c)如果所取的Green函數(shù)屬于第二類問題，即在這里要說明一點的是：對第二類靜電邊值問題不能用第二類齊次邊界的Green函數(shù)，即 ，因為 Green函數(shù) 所代表的物理意義是在 處存在一個單位電荷在空間所激發(fā)的電勢。因此即代表單位電荷在邊界上所激發(fā)的電場，由Gauss定理知道由此可見故從而，Green函數(shù)在邊界上的最簡單的形式是取這樣且有第二類靜電邊值問題

6、的Green函數(shù)解的形式：式中 為 在邊界面S上的平均值。 在實際問題中，常遇到這類問題：在所考察的區(qū)域包含有無窮大的邊界面，假如，考察一導體球外的空間電勢分布問題，這時所考察的區(qū)域是球面和無窮大曲面間包圍的區(qū)域，所以這時邊界面S故有于是故得到此式稱為外問題的Green函數(shù)解的形式。六、Green函數(shù)的制作 以上的討論，表面上制裁似乎把靜電邊值問題的解找到了，其實并作為此，因為只有把問題的Green函數(shù)找到了，才能對表達式（第一類邊值問題的形式解和第二類邊值問題的形式解）作出具體的計算。實際求Green函數(shù)本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意義。當然，它把唯一性定理更具體地表

7、達出來了。 在這里介紹幾種不同區(qū)域的Green函數(shù)的制作方法。（1）無界空間的Green函數(shù) 即在無窮大空間中放一個單位點電荷，求空間某處的電勢，也就是Green函數(shù)。其中， 代表單位電荷的所在位置（源點坐標）， 代表觀察點坐標（場點坐標）。 證明上述Green函數(shù)是否滿足Green函數(shù)所滿足的微分方程。證明： 選電荷所在處為坐標原點，即 ，在球坐標系中考慮球?qū)ΨQ性，得到而當r=0時，取一小球面S 包圍著原點，取 對小球體積V積分，即從 函數(shù)性質(zhì)可知，保持小體積V的面積為1，從而有故得到與微分方程比較，即有這里把 與 互換， 不變，即有這就說明Green函數(shù)具有對稱性。（2）上半空間的Gree

8、n函數(shù) 即在接地導體平面的上半空間，由于 ，屬于第一類邊值問題。 根據(jù)鏡象法得到：yzor2r1這也可看到（3）球外空間的 Green函數(shù) 即在接地導體球外的空間，由 ，屬于第一類邊值問題。yzxRRR0ro其中：根據(jù)鏡象法得 在制作Green函數(shù)時，必須注意：求Green函數(shù)本身不是很容易的，只有當區(qū)域具有簡單幾何形狀時才能得出解析的解，如果 時，Green函數(shù)法也可以用來解Laplace equation的邊值問題。七、Green函數(shù)法的應用舉例例 在無窮大導體平面上有半徑為a的園，園內(nèi)和園外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣, 設(shè)園內(nèi)電勢為V0，導體板其余部分電勢為零，求上半空間的電勢。Solutio

9、n:靜電問題：axyzRP(,z)P(,z)V0此題Green函數(shù)滿足的形式為相當于無窮大金屬平板旁邊放置單位電荷求電勢問題其 Green函數(shù)為其中：換為柱坐標，且有故Green函數(shù)為又電荷密度 ，還有 故得到因為積分面S是z=0的無窮大平面，法線沿-z方向，而由于S上只有園內(nèi)部分電勢不為零，因此式子中的積分只需對ra積分，即可。故在很遠處，(R2+z2a2 )的電勢可以展開成冪級數(shù)，積分的被積函數(shù)分母展開其中注意到cos(-)對一個或數(shù)個2周期的積分為零，故2.6 電多極矩 Electric Multipole Moment 電 多 極 矩 電多極矩方法適應的范圍：原點大小 遠小于場點到原點

10、的距離 。電勢：令電荷電 多 極 矩電偶極矩電四極矩電 多 極 矩零級電勢：一級電勢： +Q 0 P -Q電 多 極 矩二級電勢： A P C 0 D B Z電 多 極 矩類似與電偶極矩可得：電四極矩 幾個分量的具體分布簡化形式：電 多 極 矩電 多 極 矩電四極矩張量只有五個獨立量的證明：電 多 極 矩例題：帶電荷為Q的橢圓，半長軸為b,半短軸為a，求它的電四極矩和遠處的電勢。電 多 極 矩上圖橢球方程為：橢球電荷密度為：根據(jù)電四極矩公式：電 多 極 矩近似電四極矩項的遠處電勢為：由于電偶極矩為零。分別可得：電 多 極 矩電荷體系在外電場中的能量：電荷分布于小區(qū)域內(nèi)，取區(qū)域內(nèi)適當點為坐標原點，把 對原點展開為：電 多 極 矩展開式的第一項（自由電荷在外場的能量）：展