連續(xù)系統(tǒng)離散化處理基本方法

1、在數(shù)字計(jì)算機(jī)上對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，首先遇到的問(wèn)題是如何解決數(shù)字計(jì)算機(jī) 在數(shù)值及時(shí)間上的離散性與被仿真系統(tǒng)數(shù)值及時(shí)間上的連續(xù)性這一基本問(wèn)題。從根本意義上講，數(shù)字計(jì)算機(jī)所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算僅僅是“數(shù)字”計(jì)算，它表示數(shù) 值的精度受限于字長(zhǎng)，這將引入舍入誤差；另一方面，這種計(jì)算是按指令一步一步進(jìn) 行的，因而，還必須將時(shí)間離散化，這樣就只能得到離散時(shí)間點(diǎn)上系統(tǒng)性能。用數(shù)字 仿真的方法對(duì)微分方程的數(shù)值積分是通過(guò)某種數(shù)值計(jì)算方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。任何一種計(jì)算方法都只能是原積分的一種近似。因此，連續(xù)系統(tǒng)仿真，從本質(zhì)上是對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)從 時(shí)間、數(shù)值兩個(gè)方面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化，并選擇合適的數(shù)值計(jì)算方法來(lái)近似積分運(yùn) 算，由此得

2、到的離散模型來(lái)近似原連續(xù)模型。如何保證離散模型的計(jì)算結(jié)果從原理上確能代表原系統(tǒng)的行為，這是連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真首先必須解決的問(wèn)題。設(shè)系統(tǒng)模型為：y f(y,u,t),其中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)變量；令仿真 時(shí)間間隔為h,離散化后的輸入變量為u?h),系統(tǒng)變量為y?(tk),其中tk表示t=khc 如 果 u?(tk) u(tk) ,W(tk) y (tk), 即 eu(tk) U(tk) u(tk) 0 ,ey(tk) y?(tk) y(tk) 0 (對(duì)所有k=0,1,2, 九 則可認(rèn)為兩模型等價(jià)，這稱為相似 原理(參見(jiàn)圖)。ey (tk)0圖相實(shí)際上，要完全保證eu(tk) 0,ey

3、(tk) 0是很困難的。進(jìn)一步分析離散化引的誤差，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)引入的舍入誤差可以忽略，關(guān)鍵是數(shù)值積分算法，也稱為仿真建模方法。相似原理用于仿真時(shí)，對(duì)仿真建模方法有三個(gè)基本要求：(1)穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到的仿真模型也應(yīng)是穩(wěn)定的。關(guān)于穩(wěn)定性的詳細(xì)討論將在節(jié)中進(jìn)行。(2)準(zhǔn)確性：有不同的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，最基本的準(zhǔn)則是：絕對(duì)誤差準(zhǔn)則：ey(tk)y?(tk) y(tk)相對(duì)誤差準(zhǔn)則：ey (tk)y?(tk) y(tk)y?(tk)其中規(guī)定精度的誤差量。(3)快速性：如前所述，數(shù)字仿真是一步一步推進(jìn)的，即由某一初始值y(t0)出發(fā)，逐步計(jì)算，得到y(tǒng) (tj

4、y (t2)， ，y (tk),每一步計(jì)算所需時(shí)間決定了仿真速度。若第 k步計(jì)算對(duì)應(yīng)的系 統(tǒng)時(shí)間間隔為hk tk i tk，計(jì)算機(jī)由y (tk)計(jì)算y (tk i)需要的時(shí)間為Tk，則，若Tk=hk稱為實(shí) 時(shí)仿真，Tk hk稱為超實(shí)時(shí)仿真，而大多數(shù)情況是 Tk hk ,對(duì)應(yīng)于離線仿真。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真中離散化最基本的算法是數(shù)值積分算法。對(duì)于形如y f (y ,u,t)的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)變量y的初始條件y(to) y0,現(xiàn)在要求y隨時(shí)間變化的過(guò)程 y(t)。計(jì)算過(guò)程可以這樣 考慮(參見(jiàn)圖)：首先求出初始點(diǎn)y(t0) y0的f(t0, y0),微分方程可以寫作：y(t) y0；0 f(t,y)出 (

5、)ff(Ly)圖所示曲線下的面積就是y(t),由于難以得到f(y,u,t) 積分的數(shù)值表達(dá)式，人們對(duì)數(shù)值積分方法進(jìn)行了長(zhǎng)期探索，其中歐拉法是最經(jīng)典的近似方法。歐拉法用矩形面積近似表示積分結(jié)果，也就是當(dāng)t=t i時(shí)，y(t1)的近似值為y1 ：重復(fù)上述作法，當(dāng)t t2時(shí)y2y(t2)yi& ti) f(ti, yi)所以，對(duì)任意時(shí)刻tk+i,有：令t iy i y(t i) y (t i t ) f(t , y )圖數(shù)值積分法yiy(ti) yo t f(t, y)t h稱為第 步的計(jì)算步距。若積分過(guò)程中步距不變h h,可以證明，歐拉法的截?cái)嗾`差正比于 h2。梯形法近似積分形式如式所示，令:為進(jìn)

6、一步提高計(jì)算精度，人們提出了 “梯形法”t 1t h =h已知：t t時(shí)y(t )的近似值y，那么： i . y i y(t i) y 2hf(t ,y ) f(t i,y i)可見(jiàn)，梯形法是隱函數(shù)形式。采用這種積分方法最簡(jiǎn)單的預(yù)報(bào)校正方法是用歐拉法估計(jì)初值，用梯形法校正，即：i，:、y( i)y 2hf(t ,y ) f(t i,y()i)yiy h f(t ,y )式稱作預(yù)報(bào)公式，采用歐拉法，式為校正公式，采用梯形法。用歐拉法估計(jì)一次 丫的值， 代入校正公式得到 y1的校正值丫(1)。設(shè) 是規(guī)定的足夠小正整數(shù)，稱作允許誤差，若i=0, i +i=i稱作第一次校正；i 1, i 1 2稱作第二次校正；通過(guò)反復(fù)迭代，直到滿足yi 11 yi 1,這時(shí)y。；是滿足誤差要求的校正值。上述方法是針對(duì)式所示的微分方程在已知初值情況下進(jìn)行求解，因此也稱為微分方程初值問(wèn)題數(shù)值計(jì)算法，為統(tǒng)一起見(jiàn)，本書中稱為數(shù)值積分法。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的離散化方法有兩類，它們是數(shù)值積分方法和離散相似方法，本文討論數(shù)值積分法。數(shù)值積分方法采用遞推方式進(jìn)行運(yùn)算，而采用不同的積分方法會(huì)引進(jìn)不同的計(jì)算誤差，為了提高計(jì)算精度，往往會(huì)增加運(yùn)算量。就同一種積分算法而言， 為提高計(jì)算精度，減小積分步距h