蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊圓的對稱性 能力提優(yōu)測試卷【含答案】

——蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊2.2圓的對稱性能力提優(yōu)測試卷一、單選題1．如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分2．如圖，AB為⊙O的直徑，弦于點F，于點E，若，，則CD的長度是（）A．9.6 B． C． D．193．如圖，在中，弦，，，，，則的半徑為（）A．4 B． C． D．4．如圖，矩形中，，，，分別是，邊上的動點，，以為直徑的與交于點，．則的最大值為（）．A．48 B．45 C．42 D．405．如圖，的直徑為26，弦的長為24，且，垂足為，則的長為（）A．25 B．8 C．5 D．136．如圖，是的直徑，弦，垂足為．若，的半徑是5，則弦的長是（）A．8 B．4 C．10 D．7．上體育課時，老師在運動場上教同學(xué)們學(xué)習(xí)擲鉛球，訓(xùn)練時，李力同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出了一個坑口直徑約為10cm，深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（）A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm8．如圖，已知的半徑為5，弦，則上到弦所在直線的距離為2的點有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)菱《九章算術(shù)》中的一個問題，“今在圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮纾彽篱L六寸，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖，為的直徑，弦，垂足為，寸，寸，求直徑的長”．依題意，長為（）A．13寸 B．12寸 C．10寸 D．8寸10．如圖，長為定值的弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），點E是CD的中點，過點C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，則EF的最大值是（）A． B．4 C． D．611．如圖，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于點E．則OE的長為（）A．3 B．2 C．3 D．612．已知，如圖，線段是的直徑，弦于點E．若，，則的長度為（）A． B． C． D．513．如圖，AB是⊙O的直徑，點E是AB上一點，過點E作CD⊥AB，交⊙O于點C，D，以下結(jié)論正確的是（）A．若⊙O的半徑是2，點E是OB的中點，則CD＝B．若CD＝，則⊙O的半徑是1C．若∠CAB＝30°，則四邊形OCBD是菱形D．若四邊形OCBD是平行四邊形，則∠CAB＝60°14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB=20，AE=2，則弦CD的長是（）A．6 B．8 C．10 D．1215．如圖，AB是的直徑，點B是弧CD的中點，AB交弦CD于E，且，，則（）A．2 B．3 C．4 D．516．已知半徑為，弦長，則這條弦的中點到弦所對優(yōu)弧中點的距離為（）A． B． C． D．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點是以為直徑的半圓上兩點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．18．如圖，有一圓弧形橋拱，拱形半徑，橋拱跨度，則拱高為（）A． B． C． D．19．如圖，的半徑，弦于點，若，則的長為（）A．7.5 B．9 C．10 D．1220．如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）A．2 B．4 C．4 D．221．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上的點，把AOC沿OC對折，點A的對應(yīng)點D恰好落在⊙O上，且C、D均在直徑AB上方，連接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，則AD的長度應(yīng)是（）A．12 B．10 C．8 D．622．如圖，在中，直徑，弦，點是的中點，過點作于點，若點、在上運動（點、與點、不重合），則的最大值是（）A． B．4 C． D．623．如圖，的直徑交弦相于點，且若，則的長為（）A． B． C． D．24．如圖，已知的直徑弦于點則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．25．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，連接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，則AD＝（）A．3 B． C． D．26．如圖，⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，則半徑OB等于（）A． B． C．4 D．527．點為半徑是6的上兩點，點B為弧的中點，以線段為鄰邊作菱形，使點D落在內(nèi)（不含圓周上），則下列結(jié)論：①直線必過圓心O；②菱形的邊長a的取值范圍是；③若點D與圓心O重合，則；④若，則菱形的邊長為或．其中正確的是（）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①②③④28．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點C作DFAB分別交三個半圓于點D，E，F(xiàn)．若，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（）A．16 B．20 C．25 D．3029．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA+PB的最小值是（）．A．20 B． C．14 D．30．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(點C、D與點A，B不重合)，M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD=4，AB=10，PM=m，則m的最大值是（）A．10 B．8 C．5 D．4二、填空題31．如圖，在半徑為1的扇形中，，點是弧上任意一點（不與點，重合），，，垂足分別為，，則的長為______．32．如圖，為⊙的直徑，弦，垂足為點，連結(jié)，若，，則____．33．如圖，內(nèi)接于圓O，連結(jié)，D，E分別是的中點，且，若等于，則等于______．34．如圖，已知⊙O的半徑為5，P是直徑AB的延長線上一點，BP=1，CD是⊙O的一條弦，CD=6，以PC，PD為相鄰兩邊作平行四邊形PCED，當(dāng)C，D點在圓周上運動時，線段PE長的最小值是_______________．35．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．三、解答題36．已知：如圖，M，N分別是∠BAC兩邊AB，AC上的點，連接MN．求作：⊙O，使⊙O滿足以線段MN為弦，且圓心O到∠BAC兩邊的距離相等．37．如圖，是的直徑，E為上一點，于點F，連接，，于點D．若，求線段長．38．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長．39．如圖，為圓直徑，為圓上一點，連接，．（1）尺規(guī)作圖：作的中點；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，，在（1）的條件下，求的長．40．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D．過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；41．石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑為，求水面寬的長度．42．如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過圓心O的線段于點F，與交于點E，已知半徑為5．（1）若，，求的長；（2）若，且，求弦的長；43．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．（1）用尺規(guī)作出該輪的圓心O，并保留作圖痕跡；（2）若是等腰三角形，設(shè)底邊，腰，求圓片的半徑R．44．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是半圓上一點(不與點A，B重合)（1）用尺規(guī)過點C作AB的垂線交⊙O于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的長．45．如圖，的半徑為，弦的長．（Ⅰ）求的度數(shù)；（Ⅱ）求點O到的距離．46．（1）解方程：；（2）已知：如圖，的直徑與弦（不是直徑）交于點F，若FB=2，CF=FD=4，設(shè)的半徑為r，求的長．47．如圖1，點表示我國古代水車的一個盛水筒．如圖2，當(dāng)水車工作時，盛水筒的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓．若被水面截得的弦長為，求水車工作時，盛水筒在水面以下的最大深度．48．如圖，已知MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，，點C在線段AB上，，，求⊙O的半徑．49．如圖，是的直徑，，是延長線上一點，且，過點作一直線，分別交于C，D兩點，已知．（1）求CD與PC的長；（2）連結(jié)BC，AD，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．50．如圖，已知正方形的邊長為1，正方形中，點在的延長線上，點在上，點在線段上，且．以為半徑的與直線交于點、．（1）如圖1，若點為中點，且點，點都在上，求正方形的邊長．（2）如圖2，若點在上，求證：以線段和為鄰邊的矩形的面積為定值，并求出這個定值．（3）如圖3，若點在上，求證：．51．如圖，是的弦，是直徑，與交于點．（1）如圖1，當(dāng)于時①若為中點，求的度數(shù)；②若，，求的長；（2）如圖2，分別過點、作的垂線，垂足分別為，，若，，求的值．52．如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長．53．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖①，求⊙O的半徑；（2）如圖②，∠ABC的平分線交半徑OA于點E，交⊙O于點D．求OE的長．54．如圖，半圓O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，求AD的長．55．在中，直徑，是弦，，點在上，點在上，且．（1）如圖1，當(dāng)時，求的長度；（2）如圖2，當(dāng)點在上移動時，求的最大值56．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，點，在以為直徑的半圓上，且四邊形是平行四邊形．（1）求CD的長；（2）求直線BC的解析式．57．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，圖1中，點表示簡車的一個盛水桶，圖2中，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長為，筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度（的中點到弦的距離）為．（1）連接，求；（2）求半徑．58．如圖，CD是的弦，AB是直徑，AB與CD交于點P．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB于P時，①若P為OB中點，求∠A的度數(shù)；②若AB=10，PD=4，求BP的長；（2）如圖2，分別過點A、B作CD的垂線，垂足分別為E、F，若AB=10，CD=8，求的值．59．請用無刻度尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）（1）如圖1，點E是?ABCD邊CD上一點，在AB邊上取一點F，使得DE＝BF；（2）如圖2，在3×3正方形網(wǎng)格中，點A、B、C在格點上，過C作CH⊥AB于H；（3）如圖3，AB是?O的直徑，弦DE⊥AB，點C在?O外，過C作CG∥DE交AB于G；（4）如圖4，點E是正方形ABCD邊BC上一點．連接AE，將△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，畫出△ADG．60．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，－1），以M（－1，0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點B，連結(jié)BM并延長交⊙M于點C，動點P在線段BC上運動，長為的線段PQ∥x軸（點Q在點P右側(cè)），連結(jié)AQ．（1）求⊙M的半徑長和點B的坐標(biāo)；（2）如圖2，連結(jié)AC，交線段PQ于點N，①求AC所在直線的解析式；②當(dāng)PN=QN時，求點Q的坐標(biāo)；（3）點P在線段BC上運動的過程中，請直接寫出AQ的最小值和最大值．

【答案與解析】一、單選題1．如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）．A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分A【分析】首先過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，由垂徑定理，即可求得OC的長，繼而求得CD的長，又由從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為10分鐘，即可求得“圖上”太陽升起的速度．【詳解】解：過⊙O的圓心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為16分鐘，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“圖上”太陽升起的速度為1.0厘米/分．故選：A．此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．2．如圖，AB為⊙O的直徑，弦于點F，于點E，若，，則CD的長度是（）A．9.6 B． C． D．19A【分析】先利用垂徑定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可【詳解】解：連接OC∵AB⊥CD,OE⊥AC

∴AE=EC，CF=FD

∵OE=3，OB=5∴OB=OC=OA=5

∴在Rt△OAE中∴AE=EC=4

設(shè)OF=x，則有

x=1.4在Rt△OFC中，∴故選：A本題考查垂徑定理、勾股定理、方程思想是解題關(guān)鍵3．如圖，在中，弦，，，，，則的半徑為（）A．4 B． C． D．C【分析】連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得CN=6，AM=9，設(shè)的半徑為x，根據(jù)勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】解：連接OA，OC，∵，，∴，∵，，∴CN=6，AM=9，設(shè)的半徑為x，∵，∴，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗是方程的根，且符合題意，∴的半徑為．故選C．本題主要考查垂徑定理，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．4．如圖，矩形中，，，，分別是，邊上的動點，，以為直徑的與交于點，．則的最大值為（）．A．48 B．45 C．42 D．40A【分析】過A點作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，先利用勾股定理計算出BD=75，則利用面積法可計算出AH=36，再證明點O在AH上時，OH最短，此時HM有最大值，最大值為24，然后根據(jù)垂徑定理可判斷MN的最大值．【詳解】解：過A點作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，在Rt△ABD中，BD=，∵×AH×BD=×AD×AB，∴AH==36，∵⊙O的半徑為26，∴點O在AH上時，OH最短，∵HM=，∴此時HM有最大值，最大值為：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值為2×24=48．故選：A．本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理．5．如圖，的直徑為26，弦的長為24，且，垂足為，則的長為（）A．25 B．8 C．5 D．13B【分析】連接OA，由垂徑定理得到M為AB中點，求出AM的長，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的長，再由求出CM的長即可．【詳解】解：連接OA．∵直徑，，∴,在中，,,根據(jù)勾股定理得：．則故選：B．此題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，是的直徑，弦，垂足為．若，的半徑是5，則弦的長是（）A．8 B．4 C．10 D．A【分析】連接OC，利用垂徑定理和勾股定理計算即可．【詳解】如圖，連接OC，∵是的直徑，弦，垂足為，∴CH=DH，∵OH=3，OC=5，∴CH==4，∴CD=2CH=8，故選A．本題考查了圓的對稱性和勾股定理，準(zhǔn)確理解垂徑定理，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．上體育課時，老師在運動場上教同學(xué)們學(xué)習(xí)擲鉛球，訓(xùn)練時，李力同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出了一個坑口直徑約為10cm，深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（）A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cmC【分析】根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，小坑的直徑就是圓中的弦長，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，即可求出鉛球的直徑．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形如圖所示，由題意知，，，是半徑，且，，設(shè)鉛球的半徑為，則，在中，根據(jù)勾股定理，，即，解得：，所以鉛球的直徑為：cm，故選：C．本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為，弦長為，這條弦的弦心距為，則成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．8．如圖，已知的半徑為5，弦，則上到弦所在直線的距離為2的點有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個B【分析】作圓的直徑CE⊥AB于點D，連接OA，根據(jù)勾股定理求出OE的長，求得C、E到弦AB所在的直線距離，與2比較大小，即可判斷．【詳解】解：作圓的直徑CE⊥AB于點D，連接OA，∵AB=8，∴AD=4．∵OA=5，∴OD==3，∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直線距離為2，∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直線距離為2的點只有C點；∵DE=5+3=8＞2，∴在優(yōu)弧AEB上到弦AB所在的直線距離為2的點有2個，即圓上到弦AB所在的直線距離為2的點有3個．故選：B．本題考查了垂徑定理，轉(zhuǎn)化為C、E到弦AB所在的直線距離，與2比較大小是關(guān)鍵．9．“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)菱《九章算術(shù)》中的一個問題，“今在圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長六寸，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖，為的直徑，弦，垂足為，寸，寸，求直徑的長”．依題意，長為（）A．13寸 B．12寸 C．10寸 D．8寸C【分析】連接OA，則AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】如圖，連接OA，∵為的直徑，弦，寸，寸，∴AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理，得,∴,解得2OA=10．故選C．本題考查了垂徑定理，勾股定理，平方差公式，連接半徑，熟練運用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，為勾股定理的使用創(chuàng)造條件，這是解題的關(guān)鍵．10．如圖，長為定值的弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），點E是CD的中點，過點C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，則EF的最大值是（）A． B．4 C． D．6B【分析】如圖，延長CF交⊙O于T，連接DT．利用三角形的中位線定理證明EF＝DT，當(dāng)DT是直徑時，EF的值最大．【詳解】解：如圖，延長CF交⊙O于T，連接DT．∵AB是直徑，AB⊥CT，∴CF＝FT，∵點E是CD中點，∴EF＝DT，∴當(dāng)DT是直徑時，EF的值最大，最大值＝×8＝4，故選：B．本題考查三角形中位線定理，垂徑定理．正確作出輔助線并理解當(dāng)DT是直徑時，EF的值最大是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于點E．則OE的長為（）A．3 B．2 C．3 D．6A【分析】過O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三線合一可得CF=DF=，∠COF=∠DOF=，由OE⊥AB，OA=OB，由三線合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=，可得∠COF+∠AOE，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可證△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．【詳解】解：過O作OF⊥CD于F，∵OC=OD，∴CF=DF=，∠COF=∠DOF=∵OE⊥AB，OA=OB，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=，∴∠COF+∠AOE=+=，又∵∠AOE+∠EAO=90°，∴∠EAO=∠COF，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE=CF=3．故選擇：A．本題考查等腰三角形性質(zhì)，互余角性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)掌握等腰三角形性質(zhì)，互余角性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．已知，如圖，線段是的直徑，弦于點E．若，，則的長度為（）A． B． C． D．5B【分析】連接OD，設(shè)⊙O的半徑為R，由垂徑定理得DE=CE=CD=3，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：連接OD，如圖所示：

設(shè)⊙O的半徑為R，∵弦CD⊥AB于點E．CD=6，∴DE=CE=CD=3，∠OED=90°，∴在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即32+（R-2）2=R2，解得：R=，即OB的長為，故選：B．本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，AB是⊙O的直徑，點E是AB上一點，過點E作CD⊥AB，交⊙O于點C，D，以下結(jié)論正確的是（）A．若⊙O的半徑是2，點E是OB的中點，則CD＝B．若CD＝，則⊙O的半徑是1C．若∠CAB＝30°，則四邊形OCBD是菱形D．若四邊形OCBD是平行四邊形，則∠CAB＝60°C【分析】根據(jù)垂徑定理，解直角三角形知識，一一求解判斷即可．【詳解】解：A、∵OC＝OB＝2，∵點E是OB的中點，∴OE＝1，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，∴，∴，本選項錯誤不符合題意；B、根據(jù)，缺少條件，無法得出半徑是1，本選項錯誤，不符合題意；C、∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴BC＝OC，∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴BC＝BD，∴OC＝OD＝BC＝BD，∴四邊形OCBD是菱形；故本選項正確本選項符合題意．D、∵四邊形OCBD是平行四邊形，OC=OD，所以四邊形OCBD是菱形∴OC＝BC，∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴∠BOC＝60°，∴，故本選項錯誤不符合題意．．故選：C．本題考查了圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB=20，AE=2，則弦CD的長是（）A．6 B．8 C．10 D．12D【分析】連接OC，由AB=20，AE=2得出OE，根據(jù)勾股定理求出CE，再根據(jù)垂徑定理計算即可．【詳解】連接OC，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CD=2CE，∠OEC=90°，∵AB=20，AE=2，∴OC=10，OE=10-2=8，在Rt△CEO中，CE=，∴CD=2CE=12，故選：D．本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．15．如圖，AB是的直徑，點B是弧CD的中點，AB交弦CD于E，且，，則（）A．2 B．3 C．4 D．5C【分析】是的直徑，點是弧的中點，從而可知，然后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】解：設(shè)半徑為，連接，是的直徑，點是弧的中點，由垂徑定理可知：，且點是的中點，，，由勾股定理可知：，由勾股定理可知：，解得：，故選：C．本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確理解垂徑定理以及勾股定理，本題屬于中等題型16．已知半徑為，弦長，則這條弦的中點到弦所對優(yōu)弧中點的距離為（）A． B． C． D．B【分析】連接，根據(jù)垂徑定理得出過，cm，，根據(jù)勾股定理求出長，即可求出．【詳解】解：連接，為中點，過圓心，為的中點，由垂徑定理得：過，cm，，在中，cm，cm，由勾股定理得：cm，cm，故選：B．

本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形、靈活運用垂徑定理和勾股定理求出長．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點是以為直徑的半圓上兩點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．D【分析】作MN⊥CD于點N，連接MC，作CE⊥OA于點E，則四邊形MNCE是矩形．根據(jù)垂徑定理即可求得CE的長，即C的橫坐標(biāo)，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的長，則C的縱坐標(biāo)即可求解．【詳解】解：作MN⊥CD于點N，連接MC，作CE⊥OA于點E．則四邊形MNCE是矩形．∵點A的坐標(biāo)是（10，0），點B的坐標(biāo)是（8，0），∴OA＝10，OB＝8，∵四邊形OCDB是平行四邊形，∴CD＝OB＝8．∵MN⊥CD于點N，∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．∵四邊形MNCE是矩形，∴EM＝CN＝4，∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝＝3．∴CE＝MN＝3．∴C的坐標(biāo)是：（1，3）．故選：D．本題考查了垂徑定理以及平行四邊形的性質(zhì)，把求點的坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化成求線段的長的問題是常用的解題方法．18．如圖，有一圓弧形橋拱，拱形半徑，橋拱跨度，則拱高為（）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理得出OA2=AD2+OD2求解即可．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理可知AD=8，在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：OA2=AD2+OD2則102=82+（10CD）2解得：CD=16或4，根據(jù)題中OA=10m，可知CD=16不合題意，故舍去，所以取CD=4m．故選：A．本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識，得出關(guān)于CD的等式是解題關(guān)鍵．19．如圖，的半徑，弦于點，若，則的長為（）A．7.5 B．9 C．10 D．12D【分析】連接OD，由題意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC=3/5OB＝4.5，再由垂徑定理得CD＝CE=1/2DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．【詳解】解：連接OD，如圖所示：∵⊙O的半徑OA＝7.5，OC：BC＝3：2，∴OD＝OB＝OA＝7.5，OCOB＝4.5，∵DE⊥AB，∴CD＝CEDE，∴CD6，∴DE＝2CD＝12，故選：D．本題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）A．2 B．4 C．4 D．2C【分析】作⊙O的半徑OC⊥AB于D，連接OA、AC，如圖，利用折疊的性質(zhì)得AB垂直平分OC，則AC＝AO，于是可判斷△AOC為等邊三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AD，然后利用垂徑定理得到AD＝BD，從而得到AB的長．【詳解】解：作⊙O的半徑OC⊥AB于D，連接OA、AC，如圖，∵圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，∴AB垂直平分OC，∴AC＝AO，而OA＝OC，∴OA＝AC＝OC，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴OD＝OA＝2，∴AD＝OD＝2，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝2AD＝4（cm）．故選：C．本題考查了相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．也考查了折疊的性質(zhì)．21．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上的點，把AOC沿OC對折，點A的對應(yīng)點D恰好落在⊙O上，且C、D均在直徑AB上方，連接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，則AD的長度應(yīng)是（）A．12 B．10 C．8 D．6C【分析】AD交OC于E，如圖，利用折疊的性質(zhì)得，得到OC⊥AD，所以AE＝DE，再證明OE為△ADB的中位線得到OE＝2，利用勾股定理，在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，然后解方程組即可．【詳解】解：AD交OC于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，∵△AOC沿OC對折，點A的對應(yīng)點D恰好落在⊙O上，∴，∴OC⊥AD，∴AE＝DE，∵OA＝OB，∴OE為△ADB的中位線，∴OE＝BD＝2，在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，∴r2﹣22＝（4）2﹣（r﹣2）2，解得r1＝﹣4，r2＝6，∴AE＝＝4，∴AD＝2AE＝8．故選：C．本題考查了折疊的性質(zhì)和垂徑定理，解題關(guān)鍵是利用折疊和垂徑定理，設(shè)半徑根據(jù)勾股定理列方程．22．如圖，在中，直徑，弦，點是的中點，過點作于點，若點、在上運動（點、與點、不重合），則的最大值是（）A． B．4 C． D．6B【分析】延長CF交于T，連接DT，利用三角形的中位線定理證明，當(dāng)DT是直徑時，EF的值最大．【詳解】如圖所示，延長CF交于T，連接DT，∵AB是直徑，AB⊥CT，∴CF=FT，∵DE=EC，∴，當(dāng)DT是直徑時，EF的值最大，此時，EF最大值為，故選：B．本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理等，根據(jù)中點構(gòu)造中位線進行轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．23．如圖，的直徑交弦相于點，且若，則的長為（）A． B． C． D．D【分析】過點O作，連接OC，設(shè)，根據(jù)垂徑定理計算即可；【詳解】過點O作，連接OC，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選：D．本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，結(jié)合勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．24．如圖，已知的直徑弦于點則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)垂徑定理得出，由此可判斷A，再根據(jù)全等三角形的判定方法“AAS”即可證明，進而可判斷C、D，而AE與OE不一定相等，由此可判斷B．【詳解】∵的直徑于點，∴，故A選項結(jié)論成立；在和中，，∴，故D選項結(jié)論正確；∴，故C選項結(jié)論正確；而AE與OE不一定相等，故B選項結(jié)論不成立；故選：B．本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?5．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，連接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，則AD＝（）A．3 B． C． D．D【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后可以求得OG的長，再利用勾股定理即可得到AG的長，從而可以得到AD的長．【詳解】解：作AE⊥OC于點E，作OF⊥CA于點F，作OG⊥AD于點G，則EA∥OG，∵AD∥OC，∴四邊形OEAG是矩形，∴OG＝EA，∵OF⊥AC，OA＝OC＝，AC＝2，∴CF＝1，∴OF＝，∵，∴，解得，∴OG＝，∵OG⊥AD，∴AG＝，∴AD＝2AG＝，故選：D．本題考查圓的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積等積式，掌握圓的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積等積式是解題關(guān)鍵．26．如圖，⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，則半徑OB等于（）

A． B． C．4 D．5B【分析】根據(jù)垂徑定理好圓周角定理計算即可；【詳解】∵半徑OC⊥弦AB，∴，∴，又∵∠E＝22.5°，∴，又∵半徑OC⊥弦AB，AB＝8，∴，△BOD是等腰直角三角形，∴；故答案選B．本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理，結(jié)合勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．27．點為半徑是6的上兩點，點B為弧的中點，以線段為鄰邊作菱形，使點D落在內(nèi)（不含圓周上），則下列結(jié)論：①直線必過圓心O；②菱形的邊長a的取值范圍是；③若點D與圓心O重合，則；④若，則菱形的邊長為或．其中正確的是（）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①②③④C【分析】①根據(jù)垂徑定理的推論即可解決問題；②當(dāng)是直徑時，邊長最大，最大值為，故②錯誤；③如圖2中，當(dāng)點與點重合時，易知，都是等邊三角形，由此即可解決問題；④分兩種情形分別求解即可判定；【詳解】解：如圖1中，連接、交于點．四邊形是菱形，垂直平分線段，直線經(jīng)過圓心，設(shè)直線交于．故①正確，當(dāng)是直徑時，邊長最大，最大值為，故②錯誤，如圖2中，當(dāng)點與點重合時，易知，都是等邊三角形，，．故③正確，如圖3中，當(dāng)點在的延長線上時，，，，，，，，當(dāng)點在線段上時，同法可得，或，故④錯誤；故選：C．本題考查點與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、解直角三角形、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．28．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點C作DFAB分別交三個半圓于點D，E，F(xiàn)．若，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（）A．16 B．20 C．25 D．30C【分析】連接AF，BD，先證明四邊形ABDF是矩形，然后由垂徑定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，表示出相應(yīng)的線段長度，結(jié)合AC+BC＝15，求出k的值，得到各個扇形的半徑，再利用間接法求出陰影部分的面積．【詳解】解：連接AF，BD，如圖，∵AC、BC是直徑，∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，∵DFAB，∴四邊形ABDF是矩形，∴AB=FD；取AB的中點O，作OG⊥FD，∵，則設(shè)，，由垂徑定理，則，∴，∴，，，由勾股定理，則，，∵AC+BC＝15，∴，∴；∴，，，∴陰影部分的面積為∴；故選：C．本題考查了垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而求出線段的長度，進而求出面積．29．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA+PB的最小值是（）．A．20 B． C．14 D．B【分析】連接OA、OB，根據(jù)AC⊥MN，BD⊥MN，經(jīng)勾股定理計算得到OC、OD；延長BD與⊙O相交于點G，推導(dǎo)得當(dāng)點P在直線AG上時，取最小值；過G作GH⊥AC于點H，經(jīng)證明四邊形是矩形，并經(jīng)勾股定理計算即可得到AG的值，即可完成求解．【詳解】如圖，連接OA、OB∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，∵MN＝20，A、B是⊙O上的兩點∴∴，∴，∴延長BD與⊙O相交于點G∵MN為⊙O的直徑，BD⊥MN∴，∴當(dāng)點P在直線AG上時，取最小值，且最小值過G作GH⊥AC于點H又∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，，∴四邊形是矩形∴，∴∴∴PA+PB的最小值是：故選：B．本題考查了勾股定理、圓的垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．30．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(點C、D與點A，B不重合)，M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD=4，AB=10，PM=m，則m的最大值是（）A．10 B．8 C．5 D．4C【分析】當(dāng)CD∥AB時，PM有最大值，連接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的長即可得到答案.【詳解】當(dāng)CD∥AB時，PM有最大值，連接OC、OM，∵直徑AB=10，∴OC=5，∵M是CD的中點，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CP⊥AB，∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，∴四邊形OPCM是矩形，∴PM=OC=5，即m=5，故選：C.此題考查圓的垂徑定理，矩形的判定定理及性質(zhì)定理，根據(jù)題意合理猜想并進行證明是解題的關(guān)鍵.二、填空題31．如圖，在半徑為1的扇形中，，點是弧上任意一點（不與點，重合），，，垂足分別為，，則的長為______．【分析】連接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂徑定理以及三角形的中位線定理解決問題即可．【詳解】解：連接AB，如下圖所示：∵∠AOB=90°，OA=OB=1，∴，∵，，

∴，，∴為的中位線，∴,故．本題考查垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線即可解決問題．32．如圖，為⊙的直徑，弦，垂足為點，連結(jié)，若，，則____．8【分析】先根據(jù)AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB可知CD=2CE，再根據(jù)OC=5，AE=2可求出OE的長，利用勾股定理可求出CE的長，進而可求出答案．【詳解】解：∵AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，∴CD=2CE，∵OC=5，AE=2，∴OA=5，∴OE=OA-AE=5-2=3，∴CE===4．∴CD=2CE=8本題主要考查了圓的有關(guān)知識，運用垂徑定理解決問題，屬于?？碱}型．33．如圖，內(nèi)接于圓O，連結(jié)，D，E分別是的中點，且，若等于，則等于______．50°【分析】連接OB，OC，利用垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：連接OB，OC，∵點D為BC中點，OB=OC，∴OD⊥BC，∵E為OA的中點，∴OE=OA=OB，∵OD=OE，∴OD=OB，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∵∠ODE=10°，∴∠DOE=180°-10°-10°=160°，∴∠AOB=360°-∠DOE-∠BOD=140°，∵OA=OB，∴∠OBA=（180°-140°）=20°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBD=20°+30°=50°，故50°．本題考查了垂徑定理，三角形內(nèi)角和等知識，是重要考點，難度交易，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．34．如圖，已知⊙O的半徑為5，P是直徑AB的延長線上一點，BP=1，CD是⊙O的一條弦，CD=6，以PC，PD為相鄰兩邊作平行四邊形PCED，當(dāng)C，D點在圓周上運動時，線段PE長的最小值是_______________．4【分析】連接OC，設(shè)CD與PE交于點K，連接OK，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合垂徑定理求出OK的長，在三角形O中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到線段的取值范圍，再由，得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接OC，設(shè)CD與PE交于點K，連接OK，∵四邊形PCED是平行四邊形，∴，，∴根據(jù)垂徑定理在中，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴線段PE的最小值是4．故答案是：4．本題考查線段最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和圓的垂徑定理，再利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系求出線段的取值范圍從而得到最小值．35．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值時，點E的位置，再利用折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理求解即可得．【詳解】由題意，有以下兩個臨界位置：（1）如圖，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB相切時，折痕CD的長度最短，此時點與圓心O重合，連接OD，由折疊的性質(zhì)得：，，在中，，由垂徑定理得：；（2）當(dāng)CD和直徑AB重合時，折痕CD的長度最長，此時，又要使被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點，；綜上，折痕CD的長度取值范圍是，故．本題考查了折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，正確找出兩個臨界位置是解題關(guān)鍵．三、解答題36．已知：如圖，M，N分別是∠BAC兩邊AB，AC上的點，連接MN．求作：⊙O，使⊙O滿足以線段MN為弦，且圓心O到∠BAC兩邊的距離相等．見解析【分析】作線段MN的垂直平分線DE，作∠BAC的角平分線AP，AP交DE于點O，以O(shè)為圓心OM為半徑作⊙O即可．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求．本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．37．如圖，是的直徑，E為上一點，于點F，連接，，于點D．若，求線段長．6【分析】設(shè)OE=x，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理得到AD=OF=3，根據(jù)垂徑定理得到答案．【詳解】解：設(shè)OE=x，則OF=x-2，由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，解得，x=5，∴OF=3，∵AC∥OE，OD⊥AC，∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，∵OA=OE，EF⊥AB，∴△ADO≌△OFE，∴AD=OF=3，∵OD⊥AC，∴AC=2AD=6．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．38．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長．（1）；（2）【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵?AF?BC＝?AC?AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．39．如圖，為圓直徑，為圓上一點，連接，．（1）尺規(guī)作圖：作的中點；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，，在（1）的條件下，求的長．（1）答案見解析；（2）【分析】（1）作BC的垂直平分線，與圓O的交點即為的中點；（2）在中根據(jù)勾股定理分別求出OE的長度，再在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖，作BC的垂直平分線，與圓O的交點即為的中點：（2）連接BD，如圖：∵，，為圓直徑，∴，，∴，∴，∴．本題考查垂徑定理、勾股定理、尺規(guī)作圖—垂直平分線，掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．40．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D．過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；見解析．【分析】根據(jù)垂徑定理得OE垂直平分AC，只需作出線段AC的垂直平分線即可．【詳解】解：過點O作線段AC的垂線OE，如圖所示：

本題考查基本尺規(guī)作圖-作垂線、垂徑定理，能得出OE為線段AC的垂直平分線是解答的關(guān)鍵．41．石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑為，求水面寬的長度．8m【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的長，進而可得出AB的長，此題得解．【詳解】解：連接OA，如圖所示．∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB，在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°，∴AD==4m，∴AB=2AD=8m．本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的長度是解題的關(guān)鍵．42．如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過圓心O的線段于點F，與交于點E，已知半徑為5．（1）若，，求的長；（2）若，且，求弦的長；（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得，再由勾股定理求出OF的長，同理求出OE的長，即可求出EF的長；（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長，設(shè)，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的長，即可求出AB的長．【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵，且EF過圓心，∴，∵，∴，∵，∴，同理，，∴；（2）如圖，連接BO和DO，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，，解得，（舍去），∴，∴．本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進行運用求解．43．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．（1）用尺規(guī)作出該輪的圓心O，并保留作圖痕跡；（2）若是等腰三角形，設(shè)底邊，腰，求圓片的半徑R．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；

（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．【詳解】（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線，交于點O，點O即為所求的圓心（2）連接AO，OB，BC

∵BC=8cm，

∴BD=4cm，

∵AB=5cm，

∴AD==3cm，

設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，

∴R2=42+（R-3）2，

解得：R=，

∴圓片的半徑R為．本題考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣?。趹?yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．44．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是半圓上一點(不與點A，B重合)（1）用尺規(guī)過點C作AB的垂線交⊙O于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的長．（1）作圖見解析；（2）【分析】（1）利用基本作圖，過點C作AB的垂線得到弦CD；（2）利用勾股定理求出AB，再根據(jù)三角形面積求法算出CE，繼而得到CD．【詳解】解：（1）如圖，CD為所作，且CD與AB交于E；

（2）由勾股定理可得：，∴由三角形面積求法可得：，

∴CD=2CE=．本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握與直徑垂直的弦的作法、勾股定理及垂徑定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．45．如圖，的半徑為，弦的長．（Ⅰ）求的度數(shù)；（Ⅱ）求點O到的距離．（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）連接OB，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；（Ⅱ）過點O作于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理計算，得到答案；【詳解】解：（Ⅰ）連接，，，，為等邊三角形，；（Ⅱ）過點O作于C，則，由勾股定理得，，答：點O到的距離為．本題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；46．（1）解方程：；（2）已知：如圖，的直徑與弦（不是直徑）交于點F，若FB=2，CF=FD=4，設(shè)的半徑為r，求的長．（1）；（2）．【分析】（1）先去括號，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案；（2）連接OC，由垂徑定理的推論，得到，然后利用勾股定理，求出半徑，然后求出AC的長度．【詳解】（1）解：，∴，∴，解得：；（2）解：連接，如圖：∵是直徑，，∴，∴，即，∴，∴由勾股定理得．本題考查了解一元二次方程，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，從而進行解題．47．如圖1，點表示我國古代水車的一個盛水筒．如圖2，當(dāng)水車工作時，盛水筒的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓．若被水面截得的弦長為，求水車工作時，盛水筒在水面以下的最大深度．水車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為．【分析】如圖：過點作半徑于，則，由垂徑定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．【詳解】如圖：過點作半徑于在中，水車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為本題考查了垂徑定理的，解題關(guān)鍵在于作輔助線利用勾股定理計算．48．如圖，已知MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，，點C在線段AB上，，，求⊙O的半徑．【分析】連接AO，MN與AB相交于點D；結(jié)合題意，計算得AB的值，再根據(jù)垂徑定理，得AD及CD，通過勾股定理計算，得OD以及AO，從而得到答案．【詳解】如圖，連接AO，MN與AB相交于點D∵，∴∵MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，∴，∴∴∴，即⊙O的半徑為．本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、垂徑定理、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．49．如圖，是的直徑，，是延長線上一點，且，過點作一直線，分別交于C，D兩點，已知．（1）求CD與PC的長；（2）連結(jié)BC，AD，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．（1）；；（2）【分析】（1）過點作于點，連接OD，OC，求出OP的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OH，再根據(jù)勾股定理求出CH，從而可求出CD，求出PH，根據(jù)PC=PH-CH可得解；（2）過B作于G，過D作于K，連接AD，分別求出△PBC和△PAD的面積，兩者相減即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）過點作于點，連接OD，OC，∴∵∴∴在中，∠∴，∴在中，∴∴（2）過B作于G，過D作于K，連接AD，BC，∴∠在中，∠∴∴由（1）中∴在中，∠∴∵∴∴．此題主要考查了利用垂徑定理求解，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是求出OH的長．50．如圖，已知正方形的邊長為1，正方形中，點在的延長線上，點在上，點在線段上，且．以為半徑的與直線交于點、．（1）如圖1，若點為中點，且點，點都在上，求正方形的邊長．（2）如圖2，若點在上，求證：以線段和為鄰邊的矩形的面積為定值，并求出這個定值．（3）如圖3，若點在上，求證：．（1）；（2）見解析；；（3）證明見解析【分析】（1）連接OC，設(shè)BE=EF=x，則OE=x+，得出(x+)2+x2＝()2+12，解得：x=，則答案求出；（2）連接OC，設(shè)OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=，則結(jié)論可得證；（3）連接OD，設(shè)OA=a，BE=EF=b，則OB=1-a，則OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，則OA=EF，證明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），則得出∠FOE=∠ODA，結(jié)論得出．【詳解】解：（1）連接∵四邊形ABCD和四邊形BEFG為正方形，∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，∵點O為AB中點，∴OB=AB=，設(shè)BE=EF=x，則OE=x+，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，∴(x+)2+x2＝OF2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴()2+12=OC2，∵OC，OF為⊙O的半徑，∴OC=OF，∴(x+)2+x2＝()2+12，解得：x=，∴正方形BEFG的邊長為；（2）證明：如圖2，連接OC，設(shè)OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12∵OC，OF為⊙O的半徑，∴OC=OF，∴x2+（x+y）2=y2+12，∴2x2+2xy=1，∴x2+xy=，即x（x+y）=，∴EF×OE=，∴以線段OE和EF為鄰邊的矩形的面積為定值，這個定值為．（3）證明：連接OD，設(shè)OA=a，BE=EF=b，則OB=1-a，則OE=1-a+b，∵∠DAO=∠OEF=90°，∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2，∵OD=OF，∴12+a2=（1-a+b）2+b2，∴（b+1）（a-b）=0，∵b+1≠0，∴a-b=0，∴a=b，∴OA=EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，，∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），∴∠FOE=∠ODA，∵∠DAO=90°，∴∠ODA+∠AOD=90°，∴∠FOE+∠AOD=90°，∴∠DOF=90°，∴DO⊥FO．本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的面積等知識，熟練運用方程的思想是解題的關(guān)鍵．51．如圖，是的弦，是直徑，與交于點．（1）如圖1，當(dāng)于時①若為中點，求的度數(shù)；②若，，求的長；（2）如圖2，分別過點、作的垂線，垂足分別為，，若，，求的值．（1）①30°②2；（2）6．【分析】（1）①連接OC，先求出∠POC的度數(shù)，即可求出∠A的度數(shù)；②利用垂徑定理求出CP的長，然后在Rt△OCP中用勾股定理求出PO的長，即可求出PB；（2）連接FO并延長交AE于M點，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠B，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=AM，OF=OM，過點O作OH⊥CD于H點，連接OD，由勾股定理求出OH，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【詳解】（1）①如圖1，連接OC，∵P為OB中點∴PO=OB，∴PO=OC，∵∴∠OCP=30°∴∠POC=60°∴∠A=30°②如圖1，連接OC∵∴CP=PD=4∴OP=∴PB=OB-OP=2；（2）如圖2，連接FO并延長交AE于M點，過點O作OH⊥CD于H點，連接OD∵BF⊥CD，AE⊥CD∴BFAE∴∠A=∠B在△OBF和△OAM中∴△OBF≌△OAM∴BF=AM，OF=OM∵CD=8，OH⊥CD∴CH=4∴OH=∵OH⊥CD∴OHAE∵OF=OM∴FH=EH∴EM=2OH=6∵ME=AE-AM=AE-BF∴AE-BF=6．此題主要考查垂徑定理的性質(zhì)與運用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、含30°的直角三角形的性質(zhì)、中位線及垂徑定理的性質(zhì)．52．如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長．8【分析】連接OB，先根據(jù)垂徑定理求出BM=AB，再根據(jù)勾股定理求出BM的值，從而求出AB的長度．【詳解】解：連接OB，則OB＝×10＝5，∵OM⊥AB，OM過O，∴AB＝2AM＝2BM，在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝，∴AB＝2BM＝8．本題考查了垂徑定理和勾股定理，通過連接OA構(gòu)造直角三角形進而利用勾股定理求解．53．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖①，求⊙O的半徑；（2）如圖②，∠ABC的平分線交半徑OA于點E，交⊙O于點D．求OE的長．（1）⊙O的半徑為；（2）OE【分析】(1)過A點作AH⊥BC于H，如圖①，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH=3，根據(jù)垂徑定理的推論可判斷點O在AH上，則利用勾股定理可計算出AH=4，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；(2)作EF⊥AB于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EH=EF，利用面積法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,從而計算EH-OH得到OE的長．【詳解】解：（1）過A點作AH⊥BC于H，如圖①，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CHBC＝3，即AH垂直平分BC，∴點O在AH上，在Rt△ABH中，AH4，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，即⊙O的半徑為；（2）作EF⊥AB于F，如圖②∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABEBH?AEAB?EF，∴，∴EHAH4，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，∴OE=EH-OH．本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．54．如圖，半圓O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，求AD的長．【分析】連接BC、OD、BD，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，再根據(jù)勾股定理求得BC=8，根據(jù)角平分線定義和垂徑定理證得OD垂直平分BC，可求得OE＝AC＝3，BE＝BC＝4，利用勾股定理分別求得BD和AD即可．【詳解】解：連接BC、OD、BD，如圖，∵AB為半圓O的直徑，AB=10,∴∠ACB＝∠ADB＝90°，OD=OB=5,在Rt△ACB中，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴，∴OD垂直平分BC，∴OE＝AC＝3，BE＝BC＝4，∴DE＝OD－OE＝2，在Rt△BDE中，BD＝＝2cm，在Rt△ADB中，AD＝＝4cm．本題考查了圓周角定理、垂徑定理、角平分線的定義、三角形的中位線、勾股定理，屬于基礎(chǔ)題型，難度適中，作輔助線運用垂徑定理解決問題是解答的關(guān)鍵．55．在中，直徑，是弦，，點在上，點在上，且．（1）如圖1，當(dāng)時，求的長度；（2）如圖2，當(dāng)點在上移動時，求的最大值（1）；（2）的最大值為【分析】（1）連接OQ，由題意易得OQ=OB=6，則有OP=3，然后根據(jù)勾股定理可求解；（2）連接OQ，由題意得OQ=6，當(dāng)OP的長最小時，PQ的長為最大，根據(jù)垂線段最短可得OP⊥BC，則有，進而問題可求解．【詳解】（1）連接OQ，如圖所示：∵AB=12，∴OQ=OB=6，∵OP⊥PQ，∴∠QPO=90°，∵PQ∥AB，∴∠POB=∠QPO=90°，在Rt△POB中，∠POB=90°，∴PB2=OB2+OP2，又∵，∴BP=2OP，∴（2OP）2=62+OP2，∴OP=，在Rt△QPO中，；（2）連接OQ，如圖所示：由（1）得：OQ=OB=6，∴在Rt△QPO中，，∴當(dāng)OP的長最小時，PQ的長為最大，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OP⊥BC時最短，∵∠ABC=30°，∴，∴，∴PQ的最大值為．本題主要考查圓的基本性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．56．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，點，在以為直徑的半圓上，且四邊形是平行四邊形．（1）求CD的長；（2）求直線BC的解析式．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得答案；（2）添加輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、線段的和差即可求得，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線解析式．【詳解】解：（1）∵點的坐標(biāo)是∴∵四邊形是平行四邊形∴．（2）過點作，連接，過點作，如圖：∵，∴∵∴∴∴在中，∵四邊形是平行四邊形∴∵∴四邊形是平行四邊形∴，∴∴∴設(shè)直線的解析式為：∴∴∴直線的解析式為：．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、垂徑定理、勾股定理、線段的和差、待定系數(shù)法等，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．57．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，圖1中，點表示簡車的一個盛水桶，圖2中，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長為，筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度（的中點到弦的距離）為．（1）連接，求；（2）求半徑．（1）見解析；（2）【分析】（1）先由同弧所對的弦相等，得到，再由，可得點和點O都在在的中垂線上，即可得證；（2）由垂徑定理得到，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：連接，交于點．∵點為的中點，∴，∴．∴點在的中垂線上．∵，∴點在的中垂線上．∴是的垂直平分線．∴；（2）如圖，由（1）得，，．∴，在中，，∴，∴．答：半徑．本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，能熟練應(yīng)用垂徑定理是解決問題的關(guān)鍵．58．如圖，CD是的弦，AB是直徑，AB與CD交于點P．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB于P時，①若P為OB中點，求∠A的度數(shù)；②若AB=10，PD=4，求BP的長；（2）如圖2，分別過點A、B作CD的垂線，垂足分別為E、F，若AB=10，CD=8，求的值．（1）①；②2；（2）6．【分析】（1）①連接OC，先求出∠POC的度數(shù)，即可求出∠A的度數(shù)；②利用垂徑定理求出CP的長，然后在中用勾股定理求OP的長，即可求出PB；（2）連接FO并延長交AE于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到