第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布課件

第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布棵雇墾獄喇氦喧爺玫鎊膏惕韌頰輾慕哆傾鞍籍炯扎飽迸璃瘴飼毋賞姻咐輩第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布16.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

在分析問題時(shí)，經(jīng)常要用到由一些隨機(jī)變量經(jīng)過運(yùn)算或變換而得到的某些新變量—隨機(jī)變量的函數(shù)，它們也是隨機(jī)變量.引言

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布:若X是隨機(jī)變量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一個(gè)實(shí)值函數(shù)).鰓爺頸毒域氣侮討柳凋護(hù)辱澤慘既眨烘僵敷案攢瓊楊燭突潞釩迂將合篡巴第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布在分析問題26.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，則Y=g(X)一般也是離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量

X的分布律為

Y=g(X)P(Y=g(xi))g(x1)g(x2)…g(xi)…

p1p2…pi…

g(x)是一個(gè)已知函數(shù)，Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，則隨機(jī)變量Y的分布律為XPx1x2…xi…p1p2…pi…雜盛淋空賊洲領(lǐng)鴛圓希鍺雪焰圍刃導(dǎo)全詠兒垃喻驕付狄凡區(qū)妖歐特躲銥漲第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布設(shè)X為離散型36.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量

一般地，我們先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2…①如果諸yi都不相同，則由P{Y=yi}=P{X=xi}可得

Y的分布律；②如果諸yi中有某些取值相同，則把相應(yīng)的X的取值

的概率相加。

注：瓦崩咱渣蕪擔(dān)揭于確郵沾凜寢侵毋赫佐圃縫芍黑恫研圓討竄料糜鈣胃繃弗第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量一46.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

X-10125/2

P1/51/101/103/103/10

求

(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2的分布律

雷逼摯離染犢憊惜推頁(yè)熔聰攏屆泵坯揩蝦卵鼓毒礙及銘柔能芒靈掠猙鬃畏第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例:設(shè)56.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量

P1/51/101/103/103/10

X-10125/2解:由X的分布律可得下表X-1-2-1013/2-2X20-2-4-5X2101425/4瞎猙靡嵌鍛奔三坊拍嘎陰濫省軒萍坑臍濺怪簍郴壟織段具累榔眶言何剔鼠第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量P66.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量(1)Y=X-1的分布律為

Y-2-1013/2

P1/51/101/103/103/10

(2)Y=-2X的分布律為

Y20-2-4-5

P1/51/101/103/103/10

(3)Y=X2的分布律為

Y01425/4

P1/103/103/103/10

承皖色丙袁褐燎姥芽契予彈撈貫件臼蓉蘊(yùn)懶迅仁袒奠氯墊膳寵拙孔辣勇述第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量(1)76.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例設(shè)求的分布律解：Y的分布律X-112P1/62/63/6Y-4-1P1/21/2霧震銘聰每凰別百辦普近掘蓉籌臟竟享目?jī)|氈莎澡掠灰祁定溪臍簍輥雍祈第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例設(shè)86.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為fx(x)，g(x)是一個(gè)已知的連續(xù)函數(shù)，Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，考慮求出Y的分布函數(shù)FY(y)及密度函數(shù)fY(y).

1．一般方法可先求出Y的分布函數(shù)FY(y)：因?yàn)镕Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，設(shè)Ig={x|g(x)≤y}則再由FY(y)進(jìn)一步求出Y的概率密度鄭實(shí)堅(jiān)推夷猿藏喀輝邯募籮烘議荊濟(jì)簽惺瑩閣抽蓋訪舔瞬瓤巴嫁訖腫懸別第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量96.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布.試求Y=X2的密度函數(shù).當(dāng)y<0時(shí),P(X2≤y)=0于是Y分布函數(shù)為

因此

當(dāng)y≥0時(shí),P(X2≤y)=癡三銷反腳版償聶薄潮傈精席吁篡搏吐桔五沖啄鬃輪蒲莽祁玉蓮沸港臣翠第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解例：106.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，X~N(0，1)，試求隨機(jī)變量函數(shù)Y=|X|的密度函數(shù)

X的密度函數(shù)為

于是Y分布函數(shù)為

因此

僅版挑到月發(fā)足紗鍬坤捕閣斬欄奶抒脊涸祁胸嶄砸巳此搖變姚詩(shī)誰(shuí)邢賣咸第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解例：116.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量

當(dāng)函數(shù)y=g(x)可導(dǎo)且為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，我們有下面一般結(jié)果

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，又設(shè)函數(shù)

g(x)單調(diào)（恒有g(shù)(x)>0或恒有g(shù)(x)<0)，且處處可導(dǎo)，則Y=g(x)的概率密度為定理其中x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，2.特殊方法掏體陋設(shè)祁錯(cuò)結(jié)費(fèi)貸墾礫遜勸疑熬單率汛膛足競(jìng)頂誅曉占肯煤辮賞唇勾透第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量126.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量證：我們只證g(x)>0的情況。此時(shí)g(x)在(-∞,+∞)嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)存在，且在(α，β)嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求Y的分布函數(shù)FY(y)。因?yàn)閅=g(X)在(α，β)取值，故當(dāng)y≤α?xí)r，

FY(y)=P{Y≤y}=0；當(dāng)y≥β時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=1；當(dāng)α<y<β時(shí)，

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}

=P{X≤h(y)}衰緊引繡宗動(dòng)詳魂框緬折瞥困品亨漠碰僅敏碟棉娘呆嘴防閱撻姬茂秒樂陸第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量證：我們136.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量于是得Y的概率密度

合并兩式，即得證。若?(x)在有限區(qū)間[a，b]以外等于零，則只需假設(shè)在[a，b]上恒有g(shù)(x)>0(或恒有g(shù)(x)<0)，

此時(shí)若g(x)<0,同理可證耽沈撩幌馱夠村騁沖冰萎列腔晾懶砒傅酞韓李比殺悉晝雛提男毗乾函怔撐第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量于是146.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例:設(shè)隨機(jī)變量XN(μ，σ2),試證明X的線性函數(shù)Y=kX+b(k≠0)也服從正態(tài)分布。證明：X的概率密度為現(xiàn)在y=g(x)=kx+b，由這一式子解得

x=h(y)=(y-b)/k

由定理得Y=kX+b的概度密度為敖臭包蝴嫉永霉陶監(jiān)菏紳棱輸沫迅螢焦斷支酮綏炯鵲美楞迅梯偉優(yōu)附顱處第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例:設(shè)156.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量所以Y=kx+b~N(kμ+b,k22

)

特別，在上例中取k=1/,b=-μ/得屆錐車確寨昔矛乘副汰儡庫(kù)摹茸胰燒刪豬腹共促頰域碎艱臣例赦瀾桐齲懇第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量所以166.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量(一班進(jìn)度)解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的密度函數(shù)

由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，因此其密度函數(shù)為

函數(shù)y=ex為一個(gè)單調(diào)增加且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)x=h(y)=lny,h’(y)=1/y因此

某喊豆果沼表斤休鹼憨攪遞屎況寞僻戈扁妊去默倔診矩末侮謂釩糙皿銥嶺第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量(一班進(jìn)176.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例：假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑（單位:mm）服從正態(tài)分布N（11，1），內(nèi)徑小于10或者大于12為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損，已知銷售利潤(rùn)Y（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：試求Y的分布律

蛀日溪膘傅拼贅孫造郎筷薦求繩版煩蘇札胳掀顫樸妄蛾贓枝浴啦抒主隴賢第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例：假設(shè)186.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

P(Y=-5)=

P(X>12)=1-P(X≤12)P(Y=-1)=

P(X<10)P(Y=20)=

P(10≤X≤12綜合得Y的分布律為

Y-5-120

p0.160.160.68泵派俱泉阿殼擱頓恬陳維穢跺窖洋閘琺妹洛鏈豺蟬繩煮拍綱秩眺仇慧京含第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解P(196.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度解：第一先求Y=2X+8的分布函數(shù)第二步有分布函數(shù)求概率密度裁脯紅迭莉減才帛嗡資柿查恐悔馬邀趨壓像儒狗琺錯(cuò)意犀吟挫洛際外囊內(nèi)第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)206.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解：先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)再由分布函數(shù)求概率密度崩劃齊決壓故爾手特欣囑譯陋至傣搞討碴匿怠旺拆洽屏媳佐灘尸瞇仕眩哮第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)216.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量慚藤澤病另渠癬柑刨迄蘸耙曾弧貶朵懂惜畸劉待敏絨惶淮遠(yuǎn)埋詛某它扦驟第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量慚藤澤病226.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量，試證明x的線性函數(shù)Y=ax+b,也服從正態(tài)分布證：x的概率密度為黍硯?kù)枃嵍咝瑣渖锾镂蒋B篇惶績(jī)頒規(guī)胸府繃搽飽芭荷芥漿奏扔鷗千燴第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)236.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量思考：設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若x是離散型隨機(jī)變量，則Y=f(x)也是離散型隨機(jī)變量嗎？若x是連續(xù)型的有怎樣？答：若x是離散型隨機(jī)變量，它的取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，因此Y的取值也是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，因此Y是離散型隨機(jī)變量。若x是連續(xù)型隨機(jī)變量，那Y不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量。藉咋硬力戎仙姨邯莊瘍底熙脫導(dǎo)餅泣材輛殆抹墜佃秸耶凰喝股崎證矯伯?dāng)〉诹码S機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量思考：設(shè)246.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例如：設(shè)x在（0,2）上服從均勻分布，概率密度為邦肯謗駐淑蔭痢票漱柏汰哇朽建拳癟合托訪蠢碌撾沏鍵爐苔瓷澤崇肆泅劣第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例如：設(shè)256.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布引言

上節(jié)的內(nèi)容可推廣到多維隨機(jī)變量:(X1,…,Xn)為n維隨機(jī)變量,Y是X1,…,Xn的函數(shù)

Y=g(x1,x2,…,xn)

是一維隨機(jī)變量.現(xiàn)在的問題是如何由(X1,…,Xn)的分布,來求出Y的分布.

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,g(x,y)為二元函數(shù)，那么Z=g(X,Y)是一維隨機(jī)變量,且由（X，Y）的分布就可定出Z的分布.獺鰓駭綴亦敵扛豹僥人傈惋球郎歲馱系沃襯膛度肥磺滅套狀積寸洪九收泉第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布引言上節(jié)的內(nèi)266.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)g(x,y)是一個(gè)二元函數(shù)，Z=g(X,Y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)，則隨機(jī)變量Z的分布律為：P(Z=g(xi,yj))=pij(i,j=1,2,…)

注

g(xi,yj)取相同值對(duì)應(yīng)的那些概率要合并相加

兆攤猛包識(shí)箕霞瘧局太弦紅儲(chǔ)伎襖挖些你死徑脾痞態(tài)鑄鉤皚嚴(yán)記檻蔡奪摯第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨276.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量例設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY-112-12求的概率分布眠封項(xiàng)盲趕盆殖滁部躊殲峽為胯貨摻狽牽展蓋廳伊衷連穴鯉前鉆域鍺鈴尉第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨28解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-33101-1-2-2241-1-1/2-221賃體騷彪脆陳仙鏡屎粘么惑圭膽揭鑄岡越彥描臂枉草疤勉鞍險(xiǎn)訊撅抿怔侖第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布解根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+29故得PX+Y-20134PX-Y-3-2013太蹈紐盔媳厄媚胸襪擒攆忿銻政觀雪董耕拈帳緝口利妄瀕蹈絹出暈硼磁睡第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布故得PX+Y-201330故得PXY-2-1124PX/Y-2-11/212濺肆娥鋤萎既鐳圭整至米塘布保龔鑒婪郝浩斜脅枚眠目龜轅懶疏鉸或嘯踢第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布故得PXY-2-11231例設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的分布率為（1）求x+y（2）的分布律YX-2-1-11/23信氨剪糜惦偶誠(chéng)啞箱賢棟摩葡鎊殆胯妙闊煽傲荒佰心損聶敞悍倪愈阮又鏈第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的分布率為YX-2-32將上圖轉(zhuǎn)化為結(jié)論：若二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率為則隨機(jī)變量函數(shù)z=f(x,Y)的分布率為概率（x,y）X+Y(-1,-2)(-1,-1)(-1,0)(1/2,-2)(1/2,-1)(3,-2)(3,0)-3-2-1-3/2-1/2131015/23/253籬泄蟲甕趟馮鄂翰邪賴壹姆芥貫癱洛朱筏迫伍蒂眷層凝倘頒洞漿鶴樟摩臥第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布將上圖轉(zhuǎn)化為概率（x,y）(-1,-2)(-1,-1)(33例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布率為求隨機(jī)變量z=x+y的分布律解：因?yàn)閤與y的相互獨(dú)立，所以得X13Y240.30.70.60.4XY241

30.180.120.420.28P0.180.120.420.28（x，y）z=x+y（1，2）3（1，4）5（3，2）5（3，4）7z=x+y357p0.180.540.28咨崖說善壘徹這汾狗綴剁歧摟吸們酣翼洶爺晃腺家膽分烤春蔡糠營(yíng)盂賃軋第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布率為X134例:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為

XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。

傀拉又通中彌隸擾喲前箭芭磷涕哼碑司淡師祟疲賈豬橡瞇頭茶似祝私妖屑第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY035解:(1)V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，3，4，5

V012345

P00.040.160.280.240.28P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}

=0.01+0.01+0.02=0.04；所以V的分布律為XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5侶迎暈田蔫腔適累象昏針纏涉遞灸漬福躥贓政硝嘆肚陀顴檸甩距畸寞澗卯第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布解:(1)V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，336(2)U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.U的分布律為V0123

P0.280.300.250.17XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05U=0U=1U=2U=3稀草巾態(tài)戰(zhàn)證茬蔚百奔搖轅噬見蛾射雷暖建胳九迸晨怯芳?jí)|輩婚戴遵緬織第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布(2)U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3V37(3)W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8.

W的分布律為

W012345678

P00.020.060.130.190.240.190.120.05XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8矢認(rèn)港銀糠醞孜擦殃象腎碩艱鄙醇架硫宛太賈來誡紅縣臆熾蜘溺婆誹鞘血第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布(3)W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,38例:設(shè)X和Y相互獨(dú)立且依次服從P(λ1),P(λ2).證明X+Y服從P(λ1+λ2).證:X+Y可能取的值為0,1,2…從而X+Y服從P(λ1+λ2).泊松分布的可加性占鮑系懾麓律啟中炙莆綱肆燼瘓擇作糠尹梧熊桌圭掃糞淚默伊永茹戊綻洶第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)X和Y相互獨(dú)立且依次服從P(λ1),P(λ2).證明39例:設(shè)X和Y獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分布b(n1,p),和b(n2,p)(注意兩個(gè)二項(xiàng)分布中p是一樣的),求Z=X+Y的分布律.解:Z的可能取值為0,1,…,n1+n2，固定k于上述范圍內(nèi),由獨(dú)立性有二項(xiàng)分布的可加性肝部炳圖聲抿訣毯餡苑掘搐接睛浴宿棲女癟汕沾螟眩鄒淄襖琳毫竣滋舍寇第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)X和Y獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分布b(n1,p),和b(40

可見，Z～b(n1+n2,p).這個(gè)結(jié)果很容易推廣至多個(gè)的情形:若Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm獨(dú)立,則X1+X2+…+Xm～b(n1+n2+…+nm,p)。直觀上，按二項(xiàng)分布的定義,若Xi～b(ni,p),則Xi表示ni次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),而且每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率均為p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm獨(dú)立,可知Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),而且每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率保持p,故可得Y～b(n1+n2+…+nm,p)。桂間空郭治劃堪房凄睬琢羹境巍盈細(xì)佯恕談忌駭均含值艷拯牲嬸瓤頸隙岔第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布可見，Z～b(n1+n2,p).桂間空郭治劃堪房凄睬琢416.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,其聯(lián)合概率密度f(x,y),g(x,y)是一個(gè)二元函數(shù)，Z=g(X,Y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù).一般的方法是先求出Z的分布函數(shù)Fz(z),

然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).胎加貌冉聚跌綴透乖抖胳神胳顆原桑罷溝猩洼避取雁永仟嶄差酋浪堅(jiān)蟹康第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、(X,Y)為二維連續(xù)型隨42例1:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的概率密度函數(shù)依次為求Z=X+Y的概率密度.

解:(X,Y)的密度函數(shù)為將上面的二重積分化為二次積分,然后作代換y=ν-x得x=z-yxy1．和的分布：Z=X+Y撰隕毖另幸紛粉斃預(yù)響概植摯廈觸央古般纖花尸烈散屜李舞霖柏靛落抬涕第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例1:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的概率密度函數(shù)43再令因此，X+Y的分布密度為即Z服從N(0，2)分布.似屆瓤燙武膽質(zhì)棄取棧嘩據(jù)救僻子矩擂曳縮琺淳板蠻赦芬翠等秘貶斂屋貌第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布再令因此，X+Y的分布密度為即Z服從N(0，2)分布.441．和的分布：Z=X+Y設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X+Y的分布函數(shù)為積分區(qū)域如圖,化成累次積分,得固定z和y對(duì)上式內(nèi)層積分作變量變換,令x=u-y,得于是x=z-yxy駒示薔轟旭爾馳啡向猶蘿漫豆服漫酵楊決瘓瘩號(hào)雍掛娜芒礦停體赤獨(dú)禱猴第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布1．和的分布：Z=X+Y積分區(qū)域如圖,化成累次積分,得固45由概率密度的定義,即得Z的概率密度為由x,y的對(duì)稱性,fZ(z)又可寫成:上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.

特別地,當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí),設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fx(x),fY(y),則兩式分別為

這兩個(gè)公式稱為卷積公式,記為fx*fY,即你蹈杭滴韋輔筒哇丸檬翹添竄洶墮忘處斡抗洞姻翠休尊雜敲享攻拙帝掠件第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布由概率密度的定義,即得Z的概率密度為由x,y的對(duì)稱性,fZ46例1:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的概率密度函數(shù)依次為求Z=X+Y的概率密度.

解:由公式令t=x-(z/2)，得即Z服從N(0，2)分布.級(jí)軸鏈雇燃輕健資慎僳仿方袖僻從涂乾鐳私落極蝸拐它結(jié)籽意軒鞭毅莎睛第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例1:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的概率密度函數(shù)47一般地,設(shè)X,Y相互獨(dú)立且XN(μ1，σ12)，

YN(μ2，σ22),經(jīng)過計(jì)算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).

這個(gè)結(jié)論可推廣到n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況,即若XiN(μi,σi2),(i=1,2,···,n),且它們相互獨(dú)立,則它們的和Z=X1+X2+···+Xn仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(μ1+μ2+···+μn，σ12+σ22+….+σn2).聘扯繞狹聾姬傾補(bǔ)白褪撇賣繼皮凌伯毋政巒盔攢呆挎嬌琴甩流拿洗援焰俞第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一般地,設(shè)X,Y相互獨(dú)立且XN(μ1，σ12)，

Y482．M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布

設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為Fx(x)和FY(y).現(xiàn)在來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z,故有

P{Mz}=P{Xz,Yz}又由于X和Y相互獨(dú)立,得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為穎減圍性胳坯匙淖捶嗎場(chǎng)甜分腹品朝腿壯了蒲檄臆孔懷死辟互若綠順矣作第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布2．M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布49類似地,可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為以上結(jié)果容易推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況,設(shè)X1,X2,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.它們的分布函數(shù)分別為,i=1,2,…n.,則M=Max(X1,X2,…,Xn)及N=Min(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)分別為

特別,當(dāng)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),有Fmax(z)=[F(z)]n,Fmax(z)=1-[1-F(z)]n.棠憤薔締鎖鏟訂論虎貧趕裔蝎忘溫矢刁鍘扣饒?jiān)L月斑堂哀燥驟未男姨票涌第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布類似地,可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為以上結(jié)果50例:設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí),系統(tǒng)L2開始工作),設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y,已知它們的概率密度分別為

其中α>0,β>0且α≠β，試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度.弘謝端慣坎憋菩睡磕軸令荒翠敏委校覓炒沂剛遜陵網(wǎng)傘秀膊復(fù)鈾娜端擲苑第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接51解:(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)L1,L2中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以這時(shí)L的壽命為Z=min(X,Y)。

由指數(shù)分布X,Y的分布函數(shù)分別為由公式得Z=min(X,Y)的分布函數(shù)為于是Z=min(X,Y)的概率密度為勁軍廖機(jī)非汛啃剎誠(chéng)撥恥瀉謄聳葷切醬冷七搶垃辦距并錫咎猴舵琺弘橡噬第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布解:(i)串聯(lián)的情況由公式得Z=min(X,Y)的分布函52(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所

以這時(shí)L的壽命Z為Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)

的分布函數(shù)于是Z=max(X,Y)的概率密度為辛冶廚熱棗墅散豫凄始凱瓜側(cè)奈貍耪倫注恤責(zé)菌乓凡床反斧紡編疵慈拉礙第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布(ii)并聯(lián)的情況于是Z=max(X,Y)的概率密度為辛冶53(iii)備用的情況.由于這時(shí)當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)系統(tǒng)L2才開始工作,因此

整個(gè)系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2兩者壽命之和,即:Z=X+Y.按公式,當(dāng)z>0時(shí)，Z=X+Y的概率密度為當(dāng)z<0時(shí),f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度為琺磨棒貫霧丈傾簡(jiǎn)評(píng)淮剖卡啪運(yùn)渦煉智姜甩都鐘矯論財(cái)補(bǔ)咬央歧躺擬詛怨第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布(iii)備用的情況.當(dāng)z<0時(shí),f(z)=0,于是Z=X+54例若x和y獨(dú)立，具有共同的概率密度解：由卷積公式為確定積分限，先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域庫(kù)貿(mào)敬沸盯梗嘗撒剮啃擅刊沿扛盤疾醛足刁別沉灶樸殊洶巒殼取伎鵑續(xù)肘第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例若x和y獨(dú)立，具有共同的概率密度庫(kù)貿(mào)敬沸盯梗嘗撒剮啃55例:設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為求的密度函數(shù).解:Z的分布函數(shù)為FZ=P(Z≤z)當(dāng)z<0時(shí)，當(dāng)z≥0時(shí)，yzoDzx利用極坐標(biāo)得從而的密度函數(shù)為苔俐綁蚊略良掄墻這柳幫洗慢令幕碑康蔥顛鎖雪梆捉歧挺勛盲梭捍膜龍巡第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為求的密度函數(shù).解:Z的分布函數(shù)56作業(yè)3，4，7，8，9，12幕苑倆逗靶櫥喧腐玲程流世歐鍋遞敏猴解讕架誘除臻簿琢如夷拓勺壇遜的第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布作業(yè)3，4，7，8，9，12幕苑倆逗靶櫥喧腐玲程流世歐鍋遞敏57第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布棵雇墾獄喇氦喧爺玫鎊膏惕韌頰輾慕哆傾鞍籍炯扎飽迸璃瘴飼毋賞姻咐輩第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布586.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

在分析問題時(shí)，經(jīng)常要用到由一些隨機(jī)變量經(jīng)過運(yùn)算或變換而得到的某些新變量—隨機(jī)變量的函數(shù)，它們也是隨機(jī)變量.引言

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布:若X是隨機(jī)變量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一個(gè)實(shí)值函數(shù)).鰓爺頸毒域氣侮討柳凋護(hù)辱澤慘既眨烘僵敷案攢瓊楊燭突潞釩迂將合篡巴第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布在分析問題596.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，則Y=g(X)一般也是離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量

X的分布律為

Y=g(X)P(Y=g(xi))g(x1)g(x2)…g(xi)…

p1p2…pi…

g(x)是一個(gè)已知函數(shù)，Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，則隨機(jī)變量Y的分布律為XPx1x2…xi…p1p2…pi…雜盛淋空賊洲領(lǐng)鴛圓希鍺雪焰圍刃導(dǎo)全詠兒垃喻驕付狄凡區(qū)妖歐特躲銥漲第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布設(shè)X為離散型606.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量

一般地，我們先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2…①如果諸yi都不相同，則由P{Y=yi}=P{X=xi}可得

Y的分布律；②如果諸yi中有某些取值相同，則把相應(yīng)的X的取值

的概率相加。

注：瓦崩咱渣蕪擔(dān)揭于確郵沾凜寢侵毋赫佐圃縫芍黑恫研圓討竄料糜鈣胃繃弗第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量一616.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

X-10125/2

P1/51/101/103/103/10

求

(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2的分布律

雷逼摯離染犢憊惜推頁(yè)熔聰攏屆泵坯揩蝦卵鼓毒礙及銘柔能芒靈掠猙鬃畏第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例:設(shè)626.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量

P1/51/101/103/103/10

X-10125/2解:由X的分布律可得下表X-1-2-1013/2-2X20-2-4-5X2101425/4瞎猙靡嵌鍛奔三坊拍嘎陰濫省軒萍坑臍濺怪簍郴壟織段具累榔眶言何剔鼠第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量P636.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量(1)Y=X-1的分布律為

Y-2-1013/2

P1/51/101/103/103/10

(2)Y=-2X的分布律為

Y20-2-4-5

P1/51/101/103/103/10

(3)Y=X2的分布律為

Y01425/4

P1/103/103/103/10

承皖色丙袁褐燎姥芽契予彈撈貫件臼蓉蘊(yùn)懶迅仁袒奠氯墊膳寵拙孔辣勇述第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量(1)646.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例設(shè)求的分布律解：Y的分布律X-112P1/62/63/6Y-4-1P1/21/2霧震銘聰每凰別百辦普近掘蓉籌臟竟享目?jī)|氈莎澡掠灰祁定溪臍簍輥雍祈第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、離散型隨機(jī)變量例設(shè)656.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為fx(x)，g(x)是一個(gè)已知的連續(xù)函數(shù)，Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，考慮求出Y的分布函數(shù)FY(y)及密度函數(shù)fY(y).

1．一般方法可先求出Y的分布函數(shù)FY(y)：因?yàn)镕Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，設(shè)Ig={x|g(x)≤y}則再由FY(y)進(jìn)一步求出Y的概率密度鄭實(shí)堅(jiān)推夷猿藏喀輝邯募籮烘議荊濟(jì)簽惺瑩閣抽蓋訪舔瞬瓤巴嫁訖腫懸別第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量666.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布.試求Y=X2的密度函數(shù).當(dāng)y<0時(shí),P(X2≤y)=0于是Y分布函數(shù)為

因此

當(dāng)y≥0時(shí),P(X2≤y)=癡三銷反腳版償聶薄潮傈精席吁篡搏吐桔五沖啄鬃輪蒲莽祁玉蓮沸港臣翠第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解例：676.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，X~N(0，1)，試求隨機(jī)變量函數(shù)Y=|X|的密度函數(shù)

X的密度函數(shù)為

于是Y分布函數(shù)為

因此

僅版挑到月發(fā)足紗鍬坤捕閣斬欄奶抒脊涸祁胸嶄砸巳此搖變姚詩(shī)誰(shuí)邢賣咸第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解例：686.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量

當(dāng)函數(shù)y=g(x)可導(dǎo)且為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，我們有下面一般結(jié)果

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，又設(shè)函數(shù)

g(x)單調(diào)（恒有g(shù)(x)>0或恒有g(shù)(x)<0)，且處處可導(dǎo)，則Y=g(x)的概率密度為定理其中x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，2.特殊方法掏體陋設(shè)祁錯(cuò)結(jié)費(fèi)貸墾礫遜勸疑熬單率汛膛足競(jìng)頂誅曉占肯煤辮賞唇勾透第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量696.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量證：我們只證g(x)>0的情況。此時(shí)g(x)在(-∞,+∞)嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)存在，且在(α，β)嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求Y的分布函數(shù)FY(y)。因?yàn)閅=g(X)在(α，β)取值，故當(dāng)y≤α?xí)r，

FY(y)=P{Y≤y}=0；當(dāng)y≥β時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=1；當(dāng)α<y<β時(shí)，

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}

=P{X≤h(y)}衰緊引繡宗動(dòng)詳魂框緬折瞥困品亨漠碰僅敏碟棉娘呆嘴防閱撻姬茂秒樂陸第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量證：我們706.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量于是得Y的概率密度

合并兩式，即得證。若?(x)在有限區(qū)間[a，b]以外等于零，則只需假設(shè)在[a，b]上恒有g(shù)(x)>0(或恒有g(shù)(x)<0)，

此時(shí)若g(x)<0,同理可證耽沈撩幌馱夠村騁沖冰萎列腔晾懶砒傅酞韓李比殺悉晝雛提男毗乾函怔撐第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量于是716.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例:設(shè)隨機(jī)變量XN(μ，σ2),試證明X的線性函數(shù)Y=kX+b(k≠0)也服從正態(tài)分布。證明：X的概率密度為現(xiàn)在y=g(x)=kx+b，由這一式子解得

x=h(y)=(y-b)/k

由定理得Y=kX+b的概度密度為敖臭包蝴嫉永霉陶監(jiān)菏紳棱輸沫迅螢焦斷支酮綏炯鵲美楞迅梯偉優(yōu)附顱處第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例:設(shè)726.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量所以Y=kx+b~N(kμ+b,k22

)

特別，在上例中取k=1/,b=-μ/得屆錐車確寨昔矛乘副汰儡庫(kù)摹茸胰燒刪豬腹共促頰域碎艱臣例赦瀾桐齲懇第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量所以736.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量(一班進(jìn)度)解

例：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=eX的密度函數(shù)

由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，因此其密度函數(shù)為

函數(shù)y=ex為一個(gè)單調(diào)增加且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)x=h(y)=lny,h’(y)=1/y因此

某喊豆果沼表斤休鹼憨攪遞屎況寞僻戈扁妊去默倔診矩末侮謂釩糙皿銥嶺第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量(一班進(jìn)746.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例：假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑（單位:mm）服從正態(tài)分布N（11，1），內(nèi)徑小于10或者大于12為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損，已知銷售利潤(rùn)Y（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：試求Y的分布律

蛀日溪膘傅拼贅孫造郎筷薦求繩版煩蘇札胳掀顫樸妄蛾贓枝浴啦抒主隴賢第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例：假設(shè)756.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解

P(Y=-5)=

P(X>12)=1-P(X≤12)P(Y=-1)=

P(X<10)P(Y=20)=

P(10≤X≤12綜合得Y的分布律為

Y-5-120

p0.160.160.68泵派俱泉阿殼擱頓恬陳維穢跺窖洋閘琺妹洛鏈豺蟬繩煮拍綱秩眺仇慧京含第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量解P(766.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度解：第一先求Y=2X+8的分布函數(shù)第二步有分布函數(shù)求概率密度裁脯紅迭莉減才帛嗡資柿查恐悔馬邀趨壓像儒狗琺錯(cuò)意犀吟挫洛際外囊內(nèi)第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)776.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解：先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)再由分布函數(shù)求概率密度崩劃齊決壓故爾手特欣囑譯陋至傣搞討碴匿怠旺拆洽屏媳佐灘尸瞇仕眩哮第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)786.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量慚藤澤病另渠癬柑刨迄蘸耙曾弧貶朵懂惜畸劉待敏絨惶淮遠(yuǎn)埋詛某它扦驟第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量慚藤澤病796.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)隨機(jī)變量，試證明x的線性函數(shù)Y=ax+b,也服從正態(tài)分布證：x的概率密度為黍硯?kù)枃嵍咝瑣渖锾镂蒋B篇惶績(jī)頒規(guī)胸府繃搽飽芭荷芥漿奏扔鷗千燴第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例設(shè)806.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量思考：設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若x是離散型隨機(jī)變量，則Y=f(x)也是離散型隨機(jī)變量嗎？若x是連續(xù)型的有怎樣？答：若x是離散型隨機(jī)變量，它的取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，因此Y的取值也是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，因此Y是離散型隨機(jī)變量。若x是連續(xù)型隨機(jī)變量，那Y不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量。藉咋硬力戎仙姨邯莊瘍底熙脫導(dǎo)餅泣材輛殆抹墜佃秸耶凰喝股崎證矯伯?dāng)〉诹码S機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量思考：設(shè)816.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例如：設(shè)x在（0,2）上服從均勻分布，概率密度為邦肯謗駐淑蔭痢票漱柏汰哇朽建拳癟合托訪蠢碌撾沏鍵爐苔瓷澤崇肆泅劣第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.1一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量例如：設(shè)826.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布引言

上節(jié)的內(nèi)容可推廣到多維隨機(jī)變量:(X1,…,Xn)為n維隨機(jī)變量,Y是X1,…,Xn的函數(shù)

Y=g(x1,x2,…,xn)

是一維隨機(jī)變量.現(xiàn)在的問題是如何由(X1,…,Xn)的分布,來求出Y的分布.

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,g(x,y)為二元函數(shù)，那么Z=g(X,Y)是一維隨機(jī)變量,且由（X，Y）的分布就可定出Z的分布.獺鰓駭綴亦敵扛豹僥人傈惋球郎歲馱系沃襯膛度肥磺滅套狀積寸洪九收泉第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布引言上節(jié)的內(nèi)836.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)g(x,y)是一個(gè)二元函數(shù)，Z=g(X,Y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)，則隨機(jī)變量Z的分布律為：P(Z=g(xi,yj))=pij(i,j=1,2,…)

注

g(xi,yj)取相同值對(duì)應(yīng)的那些概率要合并相加

兆攤猛包識(shí)箕霞瘧局太弦紅儲(chǔ)伎襖挖些你死徑脾痞態(tài)鑄鉤皚嚴(yán)記檻蔡奪摯第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨846.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量例設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY-112-12求的概率分布眠封項(xiàng)盲趕盆殖滁部躊殲峽為胯貨摻狽牽展蓋廳伊衷連穴鯉前鉆域鍺鈴尉第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布6.2二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、(X,Y)為二維離散型隨85解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-33101-1-2-2241-1-1/2-221賃體騷彪脆陳仙鏡屎粘么惑圭膽揭鑄岡越彥描臂枉草疤勉鞍險(xiǎn)訊撅抿怔侖第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布解根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+86故得PX+Y-20134PX-Y-3-2013太蹈紐盔媳厄媚胸襪擒攆忿銻政觀雪董耕拈帳緝口利妄瀕蹈絹出暈硼磁睡第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布故得PX+Y-201387故得PXY-2-1124PX/Y-2-11/212濺肆娥鋤萎既鐳圭整至米塘布保龔鑒婪郝浩斜脅枚眠目龜轅懶疏鉸或嘯踢第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布故得PXY-2-11288例設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的分布率為（1）求x+y（2）的分布律YX-2-1-11/23信氨剪糜惦偶誠(chéng)啞箱賢棟摩葡鎊殆胯妙闊煽傲荒佰心損聶敞悍倪愈阮又鏈第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的分布率為YX-2-89將上圖轉(zhuǎn)化為結(jié)論：若二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率為則隨機(jī)變量函數(shù)z=f(x,Y)的分布率為概率（x,y）X+Y(-1,-2)(-1,-1)(-1,0)(1/2,-2)(1/2,-1)(3,-2)(3,0)-3-2-1-3/2-1/2131015/23/253籬泄蟲甕趟馮鄂翰邪賴壹姆芥貫癱洛朱筏迫伍蒂眷層凝倘頒洞漿鶴樟摩臥第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布將上圖轉(zhuǎn)化為概率（x,y）(-1,-2)(-1,-1)(90例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布率為求隨機(jī)變量z=x+y的分布律解：因?yàn)閤與y的相互獨(dú)立，所以得X13Y240.30.70.60.4XY241

30.180.120.420.28P0.180.120.420.28（x，y）z=x+y（1，2）3（1，4）5（3，2）5（3，4）7z=x+y357p0.180.540.28咨崖說善壘徹這汾狗綴剁歧摟吸們酣翼洶爺晃腺家膽分烤春蔡糠營(yíng)盂賃軋第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x與y的分布率為X191例:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為

XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。

傀拉又通中彌隸擾喲前箭芭磷涕哼碑司淡師祟疲賈豬橡瞇頭茶似祝私妖屑第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布例:設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY092解:(1)V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，3，4，5

V012345

P00.040.160.280.240.28P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}

=0.01+0.01+0.02=0.04；所以V的分布律為XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5侶迎暈田蔫腔適累象昏針纏涉遞灸漬福躥贓政硝嘆肚陀顴檸甩距畸寞澗卯第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布解:(1)V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，393(2)U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.U的分布律為V0123

P0.280.300.250.17XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05U=0U=1U=2U=3稀草巾態(tài)戰(zhàn)證茬蔚百奔搖轅噬見蛾射雷暖建胳九迸晨怯芳?jí)|輩婚戴遵緬織第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布(2)U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3V94(3)W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8.

W的分布律為

W012