2013年陜西高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(陜西卷)文科數(shù)學(xué)\I■■i[i*—r-*-.rf注意事項(xiàng):本試卷分為兩部分,第一部分為選擇題,第二部分為非選擇題.考生領(lǐng)到試卷后,須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并在答題卡上填涂對應(yīng)的試卷類型信息.所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內(nèi).考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(共50分)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求(本大題共10小題每小題5分，共50分)1.設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)八:匚X的定義域?yàn)镸則crm為(A)(—叫1)(B)(1,+切(C)(-：1](D)[1,+Q2.已知向量a=(1,m),b=(m,2)，若a〃〃，則實(shí)數(shù)m等于—屯_(B)<2(C)-、込或巨(D)03.設(shè)a,b,c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是(A)(C)logb?(A)(C)logb?logb=logaacclog(bc)=logb#ogcaaa(B)logb?loga=logbaaa(D)log(b+c)=logb+logcaaa輸入X；fxW50Theny=0.5*x；Else\y輸入X；fxW50Theny=0.5*x；Else\y=25+0.6*(x-50)EndIf\輸出yTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2530\o"CurrentDocument"31614.對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進(jìn)行抽樣檢測,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品,在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35)上為三等品.用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件,則其為二等品的概率為(A)0.09(B)0.20(C)0.25(D)0.45設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是(A)若z2>0,則Z是實(shí)數(shù)(B)若z2<0,則z是虛數(shù)(C)若Z是虛數(shù)，則z2>0(D)若Z是純虛數(shù)，則z2<0若點(diǎn)(x,y)位于曲線y=1x1與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x—y的最小值為(A)—6(B)—2(C)0(D)2

8.已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是(A)相切(B)相交(C)相離(D)不確定9設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)不確定10.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x,有(A)[-x]=-[x](B)[x+丄]=[x]2(C)[2x]=2[x](D)[x]+[x+-]=[2x]2二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上(本大題共5小題，每小題5分，共25分)TOC\o"1-5"\h\z雙曲線蘭-蘭=1的離心率為.169某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為，觀察下列等式：(1+1)=2x1(2+1)(2+2)=22x1x3(3+1)(3+2)(3+3)=23x1x3x5…TOC\o"1-5"\h\z照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為(m).(考生請注意:請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評分)A.(不等式選做題)設(shè)a,beR,la-bl>2,則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-aI+1x-b1>2的解集是.B.(幾何證明選做題)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E,過E作BC的\o"CurrentDocument"平行線與AD的延長線相交于點(diǎn)P.已知ZA=ZC,PD=2DA=2,則PE=.c.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)圓錐曲線r=12(t為參數(shù))的焦點(diǎn)[y=2t坐標(biāo)是.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟(本大題共6小題，共75分)16.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ab.已知向量a=(cosx,-丄),設(shè)函數(shù)f(x)=ab.2(I)求f(x)的最小正周期.(II)求f(x)在0,色上的最大值和最小值.217.(本小題滿分12分)設(shè)Sn表示數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和.若｛a｝為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；n若a=1,q豐0,且對所有正整數(shù)n,有S=皿.判斷｛a｝是否為等比數(shù)列.1n1—qn18.(本小題滿分12分)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A0丄平面ABCD,AB=AA]=\2.CiCiB(I)證明:A1BD//平面CD1B1；(II)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.19.(本小題滿分12分)有7位歌手(1至7號(hào))參加一場歌唱比賽,由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次,根據(jù)年齡將大眾評委分為5組,各組的人數(shù)如下:組別ABCDE人51015155數(shù)00000(I)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持狀況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,其中從B組中抽取了6人?請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5101515500000抽取人數(shù)6(II)在(I)中，若A,B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號(hào)歌手的概率.20.(本小題滿分13分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,O)的距離的2倍.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn).若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率.21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)二ex,xeR.(I)求fx)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；證明：曲線y=f(x)與曲線y=丄x2+X+1有唯一公共點(diǎn).2設(shè)a<b,比較ffa+b］與f(b)-f(a)的大小，并說明理由.V2丿b—a答案：B2.C3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A10.D5TOC\o"1-5"\h\z412.3冗13.14.15.(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2nx1x3x-(2n-1)13.14.15.20\o"CurrentDocument"(一OO,+8)?…?…B<6.C(1,0)_i<3i兀16【解】f(x)=ab=cosx*3sinx-2cos2xsin2x-2cos2x二sin(2x-—)。最小正周期t=2=兀。兀所以f(x)=sin(2x-),最小正周期為冗。6(II)當(dāng)xe[0,殳]時(shí),2x--)e[--，竺]，由標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)y=sinx在卜-,竺]上的圖像知，66666TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".兀兀兀1f(x)=sin(2x-)e[f(-),f()]=[-,1].6622「冗]1所以，f(x)在0,-上的最大值和最小值分別為1,-2?17【解】(17【解】(I)設(shè)公差為d,則a=a+(n-1)dn1rS=a+a+…+a+a[s=a+a++a+annn-121n12n-1n2S=(a+a)[s=a+a++a+annn-121n1n2n-1n-11n1n-1—=n(a+d)12n(a+a)n-1—=n(a+d)121n(II)a=1，q豐0,由題知q豐1。VneN*，1VneN*，1-qna=

nqn-11—qn+11—qnqn—qn+1=qnna=S1-qn+1n+1n1-q1-q1-qn=1na=qn-1，neN*.n>2n-S所以，數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)a1=1,公比q主1的等比數(shù)列。18【解】(I)設(shè)BD線段的中點(diǎn)為O.111BD和BD是ABCD-ABCD的對應(yīng)棱/.BD//BD.同理,??AO和AO是棱柱ABcD-ABCD的對應(yīng)線段111111AO//AO且AO//OCnAO//OC且AO=OCn四邊形AOCO為平行四邊形11111111nAO//OC.且AOABD=O,OCABD=On面ABD//面CDB(證畢)1111111111(I)?/AO丄面ABCDAO是三棱柱ABD-ABD的高11111在正方形ABCD中,AO=1.在RTAAOA中，AO=1.11三棱柱ABD—ABD的體積V二S?AO二1?(邁)2?1二1.111A1B1D1-ABDAABD12所以，三棱柱ABD—ABD的體積V=1.111A1B1D1—ABD19【解】(I)按相同的比例從不同的組中抽取人數(shù)。從B組100人中抽取6人，即從50人中抽取3人，從100人中抽取6人，從100人中抽取9人。(II)A組抽取的3人中有2人支持1號(hào)歌手，則從3人中任選1人，支持支持1號(hào)歌手的概率為2?B組抽取的6人中有2人支持1號(hào)歌手，則從6人中任選1人，支持支持1號(hào)歌手的概率為匸?6222現(xiàn)從抽樣評委A組3人,B組6人中各自任選一人，則這2人都支持1號(hào)歌手的概率P=?=.69所以，從A,B兩組抽樣評委中，各自任選一人，則這2人都支持1號(hào)歌手的概率為|.20.【解】(I)點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離，是到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍，貝VIx—41=2j(x—1)2+y2nXL+斗=1.x2y2所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為〒+牛=143(II)P(0,3),設(shè)A(x,y),B(x,y)，由題知：x=0+x,2y=3+y1122__1212橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0八③和(0,-打),經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過這2點(diǎn)，即直線m斜率k存在。設(shè)直線m方程為：y=kx+3.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：TOC\o"1-5"\h\z—24k243+4k2)x2+24kx+24=0nx+x=,x?x=123+4k2123+4k2xx1^(x+x)2—2x?x5(—24k)29.3xx2x?x2(3+4k2)?242221123所以，直線m的斜率k=±-厶21.【答案】(I)y=x+1.e2e2e2當(dāng)me(0,)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m=，有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)mw(〒，+2)有2個(gè)公共點(diǎn);44([[[)f(a)+f(b)>f(b)-f(a)2b—a(II)(I)f(x)的反函數(shù)g(x)=Inx，則y=g(x)過點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=g'(1).g'(x)=nk=g'(1)=1.過點(diǎn)(1,0)的切線方程為：y=x+1x1(II)證明曲線y=f(x)與曲線y=2x2+x+1有唯一公共點(diǎn)，過程如下?！?,xeR,貝」令方(x)=—1,xeR,貝」h'(x)=ex—x—1,h'(x)的導(dǎo)數(shù)h''(x)=ex—1,且h(0)=0,h'(0)=0,h''(0)=0因此，當(dāng)x<0時(shí)h''(x)<0ny=h'(x)單調(diào)遞減當(dāng)x〉0時(shí)h''(x)〉0ny=h'(x)單調(diào)遞增ny=h'(x)>h'(0)=0,所以y=h(x)在R上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)x=0

所以，曲線y=f(x)與曲線y二2x2+x+1只有唯一公共點(diǎn)(0,1).(證畢)an)設(shè)f(an)設(shè)f(gb)-f(□凹_(b一a+2)?f(a)+(