解三角形2022最新版含答案

第一章解三角形一、選擇題1．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()．A．10km B．10km C．10km D．10km2．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是()．A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．三角形三邊長為a，b，c，且滿足關(guān)系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，則c邊的對角等于()．A．15° B．45° C．60° D．120°4．在△ABC中，三個內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，則sinA∶sinB∶sinC＝()．A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶25．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()．A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形6．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，則∠A為()．A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°7．在△ABC中，關(guān)于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有兩個不等的實根，則A為()．A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不存在8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則邊AC上的高為()．A． B． C． D．39．在△ABC中，＝c2，sinA·sinB＝，則△ABC一定是()．A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．根據(jù)下列條件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判斷正確的是()．A．①只有一解，②也只有一解． B．①有兩解，②也有兩解．C．①有兩解，②只有一解． D．①只有一解，②有兩解．二、填空題11．在△ABC中，a，b分別是∠A和∠B所對的邊，若a＝，b＝1，∠B＝30°，則∠A的值是 ．12．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，則此三角形是__________三角形．13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，S是△ABC的面積．若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長度．14．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一個根，求△ABC周長的最小值．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且滿足sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6．若△ABC的面積為，則△ABC的周長為________________．(第18題)16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三邊之比為(第18題)三、解答題17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分別為∠A，∠B的對邊，且a＝4＝b，解此三角形．18．如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100米后到達(dá)點B，又從點B測得斜度為45°，建筑物的高CD為50米．求此山對于地平面的傾斜角．19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積．20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，求證：＝．參考答案一、選擇題1．D解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋202－2×10×20cos120°＝700．AC＝10．2．B解析：由＝＝及正弦定理，得＝＝，由2倍角的正弦公式得＝＝，∠A＝∠B＝∠C．3．C解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab．∴cosC＝＝．故C＝60°．4．D解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2．5．D解析：△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形．若△A2B2C2不是鈍角三角形，由，得，那么，A2＋B2＋C2＝－(A1＋B1＋C1)＝，與A2＋B2＋C2＝π矛盾．所以△A2B2C2是鈍角三角形．6．C解析：由＝，得sinA＝＝＝，而b＜a，∴有兩解，即∠A＝60°或∠A＝120°．7．A解析：由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0．∵方程有兩個不等的實根，∴4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0．由正弦定理＝＝，代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，再由余弦定理，有2accosA＝b2＋c2－a2＞0．∴0＜∠A＜90°．8．B解析：由余弦定理得cosA＝，從而sinA＝，則AC邊上的高BD＝．9．A解析：由＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0．(1)由余弦定理(1)式可化為a2＋b2－(a2＋b2－2abcosC)－ab＝0，得cosC＝，∠C＝60°．由正弦定理＝＝，得sinA＝，sinB＝，∴sinA·sinB＝＝，∴＝1，ab＝c2．將ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．△ABC是等邊三角形．10．D解析：由正弦定理得sinA＝，①中sinA＝1，②中sinA＝．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有兩解，∠A可為銳角或鈍角．二、填空題11．60°或120°．解析：由正弦定理＝計算可得sinA＝，∠A＝60°或120°．12．等腰．解析：由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，∴cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，∴此三角形是等腰三角形．13．或．解：∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°．又c2＝a2＋b2－2abcosC，當(dāng)∠C＝60°時，c2＝a2＋b2－ab，c＝；當(dāng)∠C＝120°時，c2＝a2＋b2＋ab，c＝．∴c的長度為或．14．10＋5．解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，然后運用函數(shù)思想加以處理．∵2x2－3x－2＝0，∴x1＝2，x2＝－．又cosC是方程2x2－3x－2＝0的一個根，∴cosC＝－．由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－)＝(a＋b)2－ab，則c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，當(dāng)a＝5時，c最小，且c＝＝5，此時a＋b＋c＝5＋5＋5＝10＋5，∴△ABC周長的最小值為10＋5．15．13．解析：由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可設(shè)a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得cosB＝＝＝，∴sinB＝＝．由面積公式S△ABC＝acsinB，得·(2k)·(6k)·＝，∴k＝1，△ABC的周長為2k＋5k＋6k＝13k＝13．本題也可由三角形面積(海倫公式)得＝，即k2＝，∴k＝1．∴a＋b＋c＝13k＝13．(第18題)16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用．由正弦定理得＝＝＝2cosC，即cosC＝，由余弦定理cosC＝＝．∵a＋c＝2b，∴cosC＝＝，∴＝．整理得2a2－5ac＋3c2＝0．解得a＝c或a＝c．∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝c∴b＝＝＝， ∴a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4．故此三角形三邊之比為6∶5∶4．(第18題)三、解答題17．b＝4，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°．解：由正弦定理知＝＝sinB＝，b＝4．∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．18．分析：設(shè)山對于地平面的傾斜角∠EAD＝，這樣可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到關(guān)于的三角函數(shù)等式，進(jìn)而解出角．解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，∠ACB＝45°－15°＝30°．根據(jù)正弦定理有＝，∴BC＝．又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋，根據(jù)正弦定理有＝．解得cos＝－1，∴≈°．∴山對于地平面的傾斜角約為°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，B＝．(Ⅱ)∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，又(a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴S△ABC＝ac