新高考數(shù)學專題10 圓錐曲線中的最值的問題（學生版）

專題10圓錐曲線中的最值的問題一、題型選講題型一、與線段有關(guān)的最值問題與線段有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立關(guān)于線段的目標函數(shù)，然后運用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問題，運用基本不等式或者函數(shù)求解。線段的長度可以通過兩點間的距離或者利用相交弦長公式進行求解。例1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當時， D．的最小值為4（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知拋物線的焦點為F(4，0)，過F作直線l交拋物線于M，N兩點，則p=_______，的最小值為______．例3（2019南京、鹽城一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點M(x0，y0)是橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作兩條切線分別與橢圓C交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為k1，k2.(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；(2)若r＝eq\f(2\r(5),5).①求證：k1k2＝－eq\f(1,4)；②求OP·OQ的最大值．題型二、與向量有關(guān)的最值問題與向量有關(guān)的最值問題關(guān)鍵就是表示出點坐標，通過數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后運用基本不等式或者求導研究最值。例4、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點為短軸的一個端點，右焦點，線段中點為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.例5、(2018蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸的交點除外)，直線PC交橢圓于另一個點M.(1)當直線PM經(jīng)過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；(2)①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值；②求eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范圍．題型三、與坐標或參數(shù)有關(guān)的最值問題與坐標或參數(shù)有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立目標函數(shù)，然后運用基本不等式或者求導或者通過簡單的函數(shù)問題進行求解。例6、（2019·山東高三月考）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，延長交橢圓于點，的周長為8.（1）求的離心率及方程；（2）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.例7、(2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為A，點B是橢圓C上異于左、右頂點的任一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線OP交于點Q.已知橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，點A到右準線的距離為6.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)點Q的橫坐標為x0，求x0的取值范圍．例8、(2019揚州期末）在平面直角坐標系中，橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，左、右頂點分別為A，B，線段AB的長為4.P在橢圓M上且位于第一象限，過點A，B分別作l1⊥PA，l2⊥PB，直線l1，l2交于點C.(1)若點C的橫坐標為－1，求點P的坐標；(2)若直線l1與橢圓M的另一交點為Q，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范圍．二、達標訓練1、(2018無錫期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的焦點重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上任意一點，則eq\f(PFeq\o\al(2,1),PF2)的最小值為________．2、(2019南通、揚州、泰州、淮安三調(diào)）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，長軸長為4，過橢圓的左頂點A作直線l，分別交橢圓和圓x2＋y2＝a2于相異兩點P，Q.(1)若直線l的斜率為eq\f(1,2)，求eq\f(AP,AQ)的值；(2)若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的取值范圍．3、(2016蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，P為橢圓C1上任一點，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，在y軸上截