優(yōu)化設計試卷練習及答案

一、填空題組成優(yōu)化設計數學模型的三要素是設計變量、目標函數 、約束條件 。

它是取得正確結果的前提。二、名詞解釋fx

x2x24x

5X

2 12 點處的梯度為 ，海賽矩陣

1．凸規(guī)劃1 2 1 2 1

0 4

02 4

對于約束優(yōu)化問題minfX為4 2 s.t.

gX0

(j1,2,3,,m)目標函數是一項設計所追求的指標的數學反映，因此對它最基本的要求是能來評價設計的優(yōu)劣，同時必須是設計變量的可計算函數 。建立優(yōu)化設計數學模型的基本原則是確切反映 工程實際問題，的基礎上力求

jfXgj2．可行搜索方向

Xj1,2,3,m簡潔 。隨機方向法所用的步長一般按 加速步長法來確定，此法是指依次迭代的長按一定的比例遞增的方法。最速下降法以 負梯度方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其收斂速度較慢 。二元函數在某點處取得極值的充分條件是fX0必要條件是該點處的海賽矩

是指當設計點沿該方向作微量移動時，目標函數值下降，且不會越出可行域。3．設計空間：n個設計變量為坐標所組成的實空間，它是所有設計方案的組合4．.可靠度收斂性是指某種迭代程序產生的序列k0,1,收斂于limXkXk非劣解：是指若有mfXm，當要求m-1i陣正定

0X，fi

Xfi

X，則將此X為非劣解。9.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束 優(yōu)化問題變成約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為升維法。改變復合形形狀的搜索方法主要有反射，擴張，收縮，壓縮在選擇約束條件時應特別注意避免出現 相互矛盾的約束，，另外應當量減少不必要的約束 。目標函數是n維變量的函數，它的函數圖像只能在n+1, 空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值面 的方法

較長段與較短段長度的比值。可行域：滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的活動范圍稱作可行域。維修度 略三、簡答題1．什么是內點懲罰函數法？什么是外點懲罰函數法？他們適用的優(yōu)化問題是什不同？14.數學規(guī)劃法的迭代公式是 XkXkdkk和 計算最佳步長

，其核心是建立搜索方向，

內點懲罰函數法是將新目標函數定義于可行域內，序列迭代點在可行域內逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。內15協調曲線法是用來解決設計目標互相矛盾 的多目標優(yōu)化設計問題的。16.機械優(yōu)化設計的一般過程中，建立優(yōu)化設計數學模型是首要和關鍵的一步，

點懲罰函數法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數列。相鄰兩次迭代的懲罰因子的關系為rkcrk1(k1,2,)c為懲罰因子的縮減系數，其為小于1的正數，通常取值范圍在0.1~0.7等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于rkcrk(k1,2,c為懲罰因子的遞增系數，通常取c5~10

產生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數值下降最快的隨機方向作為可X值，X過程，經過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。三、計算題1．試用牛頓法求fX8x25x2的最優(yōu)解，設X010 10T。共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關系是怎樣的？試畫圖說明。 1 2.fX1XTGXbTXc,XkG的某一共軛方向dk2 初始點為 X010 10T，則初始點處的函數值和梯度分別為Xk1Xk1dj應滿足djT

k

g0，k

f X

1700XkXkg

g與dk的共軛方向dj正交。

4x

200，沿梯度方向進行一維搜索，有kk

f X0

4

2 x10x1 2

140 200 00X1X0f

X0

0

0140

101400 為一維搜索最佳步長，應滿足極值必要條件0 fX1 minfX0fX0 min8102410105102為什么說共軛梯度法實質上是對最速下降法進行的一種改進？.

0min

0 0 0答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個共軛向量都依賴于迭代點處的負梯度構造出來的。共軛梯度法的第一個搜索方向取負梯度方向，

0

0

596000，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉一個角度，也就是對負

從而算出一維搜索最佳步長0

596001060000

0.0562264梯度進行修正。所以共軛梯度法的實質是對最速下降法的一種改進。

1.24528300X11014000

2.1283019寫出故障樹的基本符號及表示的因果關系。

略 f X1

24.4528302，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進行下去，便可求略優(yōu)化設計的數學模型一般有哪幾部分組成？簡單說明。

得最優(yōu)解。2、

20的極小點和極小值，設搜索區(qū)間略 簡述隨機方向法的基本思路

a,

（迭代一次即可）解：顯然此時，搜索區(qū)間a,b，首先插入兩點和1 2

，由式

12

064

0

X1X02fX01fX0

b a) 1 0.6181 0.2 0.5056

2 1100 01a(ba)0.20.6180.20.69442

f X1

0 505，從而經過一次迭代即求得極小點X0 0T，

X5f1

40.0626,f2

29.4962。

4.下表是用黃金分割法求目標函數f11

的極小值的計算過程，請完成下f1

f2

。所以消去區(qū)間a,1

，得到新的搜索區(qū)間

,b， 表。即

,ba,b0.5056,1。1

迭代序號 a b y1 2 1

比較 y2插入點1

0.6944，2

0.50560.618(10.5056)0.8111

0 0.2 11f1

29.4962,f2

25.4690，由于f1

f2

，故消去所以消去區(qū)間a,1

，得到新的搜索區(qū)間

迭代序號 a b y1 2 1

比較 y2,b1

,b。至此完成第一次迭代，1

0 0.2 0.50560.694410.6944140.0626〉29.49620.8111129.4962〉25.4690繼續(xù)重復迭代過程，最終可得到極小點。3．用牛頓法求目標函數fX16x225x2+5的極小點，設X02 2T。1 2f

x

32x

642解：由X02 2

，則f

X0

1

1 2f 2f