第10講 函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題（解析版）

第10講函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題【高考地位】應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題，在近幾年全國(guó)各地高考中經(jīng)常出現(xiàn)。數(shù)學(xué)的高度抽象性決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，因而應(yīng)用題的非數(shù)學(xué)背景是多種多樣的，解應(yīng)用題往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的有關(guān)問(wèn)題，并舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的非本質(zhì)因素，通過(guò)抽象轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，或許正是這個(gè)原因讓學(xué)生比較懼怕數(shù)學(xué)應(yīng)用題。在高考中要處理好函數(shù)應(yīng)用題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模分析的步驟和掌握數(shù)學(xué)建模的具體方法是關(guān)鍵.方法解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解題模板第一步審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步建模——將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步解?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步反思——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.例1.已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且.⑴寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；⑵當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入年總成本）.【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)千件.【變式演練1】【山東省淄博市2021屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)（零模）】我們知道，人們對(duì)聲音有不同的感覺(jué)，這與聲音的強(qiáng)度有關(guān)系，聲音的強(qiáng)度常用（單位：瓦/米，即）表示，但在實(shí)際測(cè)量時(shí)，聲音的強(qiáng)度水平常用（單位：分貝）表示，它們滿(mǎn)足換算公式：（，其中是人平均能聽(tīng)到的聲音的最小強(qiáng)度），國(guó)家《城市區(qū)域噪聲標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定白天公共場(chǎng)所不超過(guò)分貝，則要求聲音的強(qiáng)度不超過(guò)（）A． B． C．D．【答案】B【分析】令，解此不等式即可得解.【詳解】令，可得，.故選：B.【變式演練2】“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿(mǎn)意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：天），增加總分?jǐn)?shù)（單位：分）的函數(shù)模型：，為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且．現(xiàn)有某學(xué)生在高考前天的最后一次?？伎偡譃榉郑罁?jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為（）（）A．分 B．分 C．分 D．分【來(lái)源】全國(guó)2021屆高三高考數(shù)學(xué)（理）演練試題（一）【答案】B【分析】由可求得，將，，代入中，可求得增加分?jǐn)?shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，；，該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為分.故選：B.【變式演練3】將名學(xué)生分成兩組參加城市綠化活動(dòng)，其中組布置盆盆景，組種植棵樹(shù)苗.根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)，每名學(xué)生每小時(shí)能夠布置盆盆景或者種植棵樹(shù)苗.設(shè)布置盆景的學(xué)生有人，布置完盆景所需要的時(shí)間為，其余學(xué)生種植樹(shù)苗所需要的時(shí)間為（單位：小時(shí)，可不為整數(shù)）.⑴寫(xiě)出、的解析式；⑵比較、的大小，并寫(xiě)出這名學(xué)生完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間的解析式；⑶應(yīng)怎樣分配學(xué)生，才能使得完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間最少？【答案】（1），，；（2）見(jiàn)解析；（3）布置盆景和種植樹(shù)苗的學(xué)生分別有人或人.【解析】試題分析：（1）設(shè)布置盆景的學(xué)生有x人，則B組人數(shù)為51-x，可求出A組所用時(shí)間，，，化簡(jiǎn)即可；

（2）通過(guò)作差比較g（x）、h（x）的大小，確定A組與B組的所需時(shí)間，寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式即可．

（3）通過(guò)兩組用時(shí)比較，計(jì)算x=20與x=21時(shí)，求出總用時(shí)最少者，即可得到結(jié)果．試題解析：⑴由題意布置盆景的學(xué)生有人，種植樹(shù)苗的學(xué)生有人，所以，.，；⑵，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以；⑶完成總?cè)蝿?wù)所用時(shí)間最少即求的最小值當(dāng)時(shí)，遞減，則.故的最小值為，此時(shí)人當(dāng)時(shí)，遞增，則故的最小值為，此時(shí)人所以布置盆景和種植樹(shù)苗的學(xué)生分別有人或人.【變式演練4】某企業(yè)共有20條生產(chǎn)線，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生一定量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)萬(wàn)件與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量萬(wàn)件之間滿(mǎn)足關(guān)系：.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的產(chǎn)品可以以盈利3萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.（Ⅰ）試將該企業(yè)每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)表示為的函數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)的利潤(rùn)最大，最大為多少？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,利潤(rùn)最大，最大為.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.【變式演練5】有一種新型的洗衣液，去污速度特別快.已知每投放（且）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用.（1）若投放個(gè)單位的洗衣液，3分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為4(克/升），求的值；（2）若投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？【答案】（1）；（2）14分鐘.【解析】試題分析：（1）已知分鐘時(shí)洗衣液的濃度為克/升，代入時(shí)的函數(shù)關(guān)系式可得,結(jié)合即可得到的值；(2)當(dāng)時(shí),根據(jù)題意可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，該函數(shù)分兩段；要有效去污,則,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式分別求解兩段內(nèi)有效去污時(shí)的范圍,綜合兩種情況即可得到有效去污的時(shí)間.試題解析：（1）由題意知，，解得；（2）當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，由解得，所以.當(dāng)時(shí)，由解得，所以綜上，.答：故若投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)14分鐘.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數(shù)的解析式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.理解本題題意的關(guān)鍵是理解分段函數(shù)數(shù)的解析式與性質(zhì)，分段函數(shù)的求范圍是各段的符合條件的范圍的并集.【高考再現(xiàn)】1.【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文理數(shù)4】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logisic模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（） （）A．B．C．D．【答案】C【思路導(dǎo)引】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解．【解析】，∴，則，∴，解得，故選C．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重函數(shù)模型的應(yīng)用，本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化．2.【2020年高考北京卷15】為滿(mǎn)足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【解析】∵用來(lái)評(píng)價(jià)治污能力，而是圖像上兩點(diǎn)連線的斜率，在上，甲的治污能力比乙強(qiáng)，故①對(duì)，時(shí)刻甲比乙強(qiáng)，時(shí)刻都低于達(dá)標(biāo)排放量，∴都達(dá)標(biāo)，甲企業(yè)在時(shí)刻治污能力不是最強(qiáng)．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重知識(shí)的靈活運(yùn)用，本題考查了函數(shù)圖象及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確接函數(shù)的圖像及其性質(zhì)解決問(wèn)題．3.【2020年高考山東卷6】基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿(mǎn)足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加倍需要的時(shí)間約為（） （）A．天B．天C．天 D．天【答案】B【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果．【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天，故選：B．【專(zhuān)家解讀】本題的特點(diǎn)是注重知識(shí)的應(yīng)用，本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．4.【2015高考新課標(biāo)2，理10】如圖，長(zhǎng)方形的邊，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊，與運(yùn)動(dòng)，記．將動(dòng)到、兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（）DPDPCBOAx【答案】B【考點(diǎn)定位】函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，表面看覺(jué)得很難，但是如果認(rèn)真審題，讀懂題意，通過(guò)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)判斷圖像的對(duì)稱(chēng)性以及特殊點(diǎn)函數(shù)值的比較，也可較容易找到答案，屬于中檔題．5.【2014?北京】加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（）A．3.50分鐘B．3.75分鐘C．4.00分鐘D．4.25分鐘【答案】B【解析】由圖形可知，三點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值，故此時(shí)的t=分鐘為最佳加工時(shí)間，故選B.考點(diǎn)：本小題以實(shí)際應(yīng)用為背景，主要考查二次函數(shù)的解析式的求解、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.【反饋練習(xí)】1．為了研究疫情有關(guān)指標(biāo)的變化，現(xiàn)有學(xué)者給出了如下的模型：假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每個(gè)病人可傳染給K個(gè)人，平均每個(gè)病人可以直接傳染給其他人的時(shí)間為L(zhǎng)天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間t(單位：天)的關(guān)系式為N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，則利用此模型預(yù)測(cè)第5天的病例數(shù)大約為（）(參考數(shù)據(jù)：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)A．260 B．580 C．910 D．1200【來(lái)源】全國(guó)2021屆高三高考數(shù)學(xué)（文）演練試卷（一）【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】，因?yàn)椋?，所?故選：C2．核酸檢測(cè)分析是用熒光定量法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿(mǎn)足，其中為擴(kuò)增效率，為的初始數(shù)量.已知某被測(cè)標(biāo)本擴(kuò)增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的倍，那么該樣本的擴(kuò)增效率約為（）(參考數(shù)據(jù)：，)A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631【來(lái)源】廣東2021屆高三5月衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】C【分析】由題意，代入，解方程即可.【詳解】由題意知，，即，所以，解得.故選：C.3．“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來(lái)，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污．某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進(jìn)出水量為立方米．已知污染源以每天個(gè)單位污染河水，某一時(shí)段（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿(mǎn)足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測(cè)算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的80倍．若從現(xiàn)在開(kāi)始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A．1個(gè)月 B．3個(gè)月 C．半年 D．1年【來(lái)源】千校聯(lián)盟2021屆高三新高考終極押題數(shù)學(xué)試題【答案】C【分析】由題可知：，化簡(jiǎn)得出結(jié)論.【詳解】由題可知：∴∴∴（天）∴要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是半年.故選：C.4．?dāng)?shù)字通信的研究中，需要解決在惡劣環(huán)境（噪聲和干擾導(dǎo)致極低的信噪比）下的網(wǎng)絡(luò)信息正常傳輸問(wèn)題.根據(jù)香農(nóng)公式，式中是信道帶寬（赫茲），是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率（瓦），是數(shù)據(jù)傳送速率的極限值，單位是為信號(hào)與噪聲的功率之比，為無(wú)量綱單位（如：，即信號(hào)功率是噪聲功率的1000倍），討論信噪比時(shí)，常以分貝為單位即（信噪比，單位為）.在信息最大速率不變的情況下，要克服惡劣環(huán)境影響，可采用提高信號(hào)帶寬的方法來(lái)維持或提高通信的性能.現(xiàn)在從信噪比的環(huán)境轉(zhuǎn)到的環(huán)境，則信號(hào)帶寬大約要提高（）（附：）A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍【來(lái)源】湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前預(yù)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題【答案】B【分析】依題意，分別求出，，進(jìn)而可得.【詳解】，，所以，，所以，所以，即大約提高9倍.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求時(shí)，是解決本題的一個(gè)關(guān)鍵.5．“一騎紅塵妃子笑，無(wú)人知是荔枝來(lái)”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時(shí)也講述了古代資源流通的不便利．如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類(lèi)果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在24的保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在12時(shí)，該果蔬的保鮮時(shí)間為（）小時(shí)．A．72 B．36 C．24 D．16【來(lái)源】湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前預(yù)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題【答案】A【分析】根據(jù)題意列出時(shí)所滿(mǎn)足等式，利用指數(shù)冪的運(yùn)算分別可求解出的值，然后即可計(jì)算出時(shí)的值，則對(duì)應(yīng)保鮮時(shí)間可求.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，整理可得，于是，當(dāng)時(shí)，．故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于通過(guò)所給的兩組的取值計(jì)算得到所滿(mǎn)足的等式，然后通過(guò)化簡(jiǎn)指數(shù)冪的運(yùn)算求解出最終結(jié)果.6．基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天【來(lái)源】黑龍江省大慶中學(xué)2021屆高三第一次仿真考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】D【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【詳解】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得．故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題審題要注意認(rèn)真，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍，應(yīng)該得到，而不是.7．為了測(cè)量某種海魚(yú)死亡后新鮮度的變化.研究人員特意通過(guò)檢測(cè)該海魚(yú)死亡后體內(nèi)某微量元素的含量來(lái)決定魚(yú)的新鮮度.若海魚(yú)的新鮮度與其死亡后時(shí)間(小時(shí))滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為.若該種海魚(yú)死亡后2小時(shí)，海魚(yú)的新鮮度為，死亡后3小時(shí)，海魚(yú)的新鮮度為，那么若不及時(shí)處理，這種海魚(yú)從死亡后大約經(jīng)過(guò)（）小時(shí)后，海魚(yú)的新鮮度變?yōu)?(參考數(shù)據(jù)：，)A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3【來(lái)源】百師聯(lián)盟2021屆高三沖刺卷（二）新高考卷數(shù)學(xué)試題【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到關(guān)于m,a的方程組，求得m,a的值，進(jìn)而得到函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)要求得到關(guān)于t的指數(shù)方程，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化化為對(duì)數(shù)式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】由題思可得：，解得，，所以.令，可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，故小時(shí)，故選：B.8．【四川省瀘縣第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬】某品牌牛奶的保質(zhì)期（單位：天）與儲(chǔ)存溫度（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系.該品牌牛奶在的保質(zhì)期為270天，在的保質(zhì)期為180天，則該品牌牛奶在的保質(zhì)期是（）A．60天 B．70天 C．80天 D．90天【答案】C【分析】根據(jù)題意將或代入表達(dá)式即可求解.【詳解】由題意可知，，，可得，所以，故該品牌牛奶在的保質(zhì)期是80天.故選：C9．【2021屆全國(guó)著名重點(diǎn)中學(xué)新高考沖刺】復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車(chē)組的中文名稱(chēng)，是由中國(guó)鐵路總公司牽頭組織研制?具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)?達(dá)到世界先進(jìn)水平的動(dòng)車(chē)組列車(chē).2019年12月30日，智能復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組在京張高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車(chē)快，而且車(chē)內(nèi)噪聲更小.我們用聲強(qiáng)(單位：)表示聲音在傳播途徑中每平方米面積上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)(單位：)與聲強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式為，已知時(shí)，.若要將某列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)降低，則該列車(chē)的聲強(qiáng)應(yīng)變?yōu)樵晱?qiáng)的（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知函數(shù)模型和給出的數(shù)據(jù)求出的值，然后通過(guò)作差得到兩個(gè)聲強(qiáng)的倍數(shù)關(guān)系，即可得解.【詳解】由已知得，解得，故.設(shè)某列車(chē)原來(lái)的聲強(qiáng)級(jí)為，聲強(qiáng)為，該列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)降低后的聲強(qiáng)級(jí)為，聲強(qiáng)為，則，所以，解得.故選：C.10．【湖南省長(zhǎng)沙市廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次新高考】一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)（）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.(附：，，答案采取四舍五入精確到)A．2.3小時(shí) B．3.5小時(shí) C．5.6小時(shí) D．8.8小時(shí)【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列出方程，解之可得．【詳解】設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.則，即，所以，，.故選：A11．【云南省文山州2021屆高三年級(jí)10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】2020年6月17日15時(shí)19分，星期三，酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，我國(guó)成功發(fā)射長(zhǎng)征二號(hào)丁運(yùn)載火箭，并成功將高分九號(hào)03星、皮星三號(hào)A星和德五號(hào)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，攜三星入軌，全程發(fā)射獲得圓滿(mǎn)成功，祖國(guó)威武.已知火箭的最大速度v（單位：）和燃料質(zhì)量M（單位：），火箭質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是：，若已知火箭的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，則此時(shí)v的值為多少（參考數(shù)值為；）（）A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380【答案】B【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)和函數(shù)關(guān)系式直接計(jì)算．【詳解】，故選：B.12．【北京市延慶區(qū)2021屆高三上學(xué)期統(tǒng)測(cè)】某企業(yè)生產(chǎn)兩種型號(hào)的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為萬(wàn)支和萬(wàn)支，為了擴(kuò)大再生產(chǎn)，決定對(duì)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，預(yù)計(jì)改造后的兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率分別為和，那么至少經(jīng)過(guò)多少年后，產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)產(chǎn)品的年產(chǎn)量（?。ǎ〢．年 B．年 C．年 D．年【答案】C【分析】直接計(jì)算出若干年后產(chǎn)品的產(chǎn)量，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】年后，產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支；產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支.年后，產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支；產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支.年后，產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支；產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支.年后，產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支；產(chǎn)品產(chǎn)量為萬(wàn)支.所以經(jīng)過(guò)年后產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.故選：C13．【四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2020屆高三強(qiáng)化訓(xùn)練】某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠面積增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.39萬(wàn)公頃和0.78萬(wàn)公頃，則沙漠面積增加數(shù)（萬(wàn)公頃）年數(shù)（年）的函數(shù)關(guān)系較為接近的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將，，分別代入選項(xiàng)中的函數(shù)，逐項(xiàng)驗(yàn)證比較，即可求解.【詳解】由題意，最近三年測(cè)得沙漠面積增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.39萬(wàn)公頃和0.78萬(wàn)公頃，即，，，對(duì)于A中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，和0.78相差較大；對(duì)于B中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，和0.39相差較大；對(duì)于C中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，和0.39相差較大；對(duì)于D中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與0.39相差0.01，當(dāng)時(shí)，和0.78相差0.02；綜合可得，選用函數(shù)關(guān)系較為近似．故選：D.14．【貴州省貴陽(yáng)為明教育集團(tuán)2021屆高三第一次調(diào)研】為研究A型病毒細(xì)胞的變化規(guī)律，將A型病毒細(xì)胞注入一只健康的小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)分析，小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與相應(yīng)天數(shù)序號(hào)n滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式.已知A型病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)時(shí)小白鼠將死亡.但如果注射某種藥物，可殺死小白鼠體內(nèi)的A型病毒細(xì)胞的98%.為使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次注射該種藥物，最遲應(yīng)在（）.參考數(shù)據(jù)：A．第25天 B．第26天 C．第27天 D．第28天【答案】C【分析】由題意，求出n的值取整即可.【詳解】病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與相應(yīng)天數(shù)序號(hào)n滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式.由題意得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，從而，又，所以，而，第一次注射該種藥物，最遲應(yīng)在第27天.故選：C.15．【湖南師大附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)(的單位：天)的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A．60 B．62 C．66 D．63【答案】D【分析】根據(jù)可解得的值，即可得答案；【詳解】，所以，所以，解得.故選：D.16．【江西省信豐中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期中模擬】某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定:每位職工每月用水不超過(guò)10立方米，按每立方米3元收費(fèi);用水超過(guò)10立方米，超過(guò)的部分按每立方米5元收費(fèi).某職工某月的水費(fèi)為55