有限元課件第3章

第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介Ay1By2ynP

例2求簡支梁在P力作用下運動時的能量。

兩端簡支梁在力P作用下運動，其撓曲線y(x,t)可取不同的函數(shù)形式(y1,y2,…yn)，該系統(tǒng)的能量隨y(x,t)不同而不同，計算如下：總能量總勢能（彈性勢能和外力勢）動能

由上式可見，總能量與y(x,t)取什么樣的函數(shù)有關(guān)，而與梁在支座AB間x的取值沒有直接關(guān)系。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介Ay1By2ynP例2第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介二泛函的定義

對于某一族函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)yi(x)，Π有一個值與之對應(yīng)，亦即，如果變量Π對于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立，那么，變量Π叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為Π=Π[y(x)]，簡言之，泛函是函數(shù)的函數(shù)（但不是隱函數(shù)）。y(x)叫泛函Π的宗量。隱函數(shù)！泛函！第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介二泛函的定義對于某一第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3.2.2變分法中的一些概念和計算方法一變分問題ABy(x)yxO

例1最速降線問題（1696年約翰.伯努力）

如圖，A、B兩點不在同一鉛垂線上，求質(zhì)點從A滑到B用時間最少所沿的曲線。

該曲線是一條圓滾線，該問題是求泛函T[y(x)]的極小值。

例2等周問題（早已被古希臘人發(fā)現(xiàn)，但其變分特性18世紀(jì)才被察覺）SL

求長為一定的封閉曲線L，使其所圍的面積S最大。

該封閉曲線為一個圓。該問題是求泛函S(L)在L為定長條件下的極大值。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3.2.2變分法中的一些概念和計算方第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介

定義：凡有關(guān)求泛函極大值和極小值的問題，都叫變分問題。二變分法

求泛函極大值和極小值的方法叫做變分法。三泛函極值判定條件

設(shè)有一泛函Π[y(x)]，其一階變分為δΠ，二階變分為δ2Π，其取極值的條件與函數(shù)取極值的條件相似，即

當(dāng)δΠ=0時，Π取極值；同時若有：δ2Π>0時，Π取極小值；

δ2Π<0時，Π取極大值；四變分的計算方法

變分的計算方法與微分的計算方法相似，此處不做介紹。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介定義：凡有關(guān)求泛函極大第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介五變分的幾何意義1函數(shù)微分的幾何意義xx+dxdxdyΔyy(x)xyO

函數(shù)y(x)的微分dy是函數(shù)y(x)隨其自變量x的微小增量dx而產(chǎn)生的增量Δy的線性主部。它是一個值，對應(yīng)不同的x，dy有不同的值。2泛函宗量變分的幾何意義

宗量y(x)的變分δy是宗量y(x)在某一函數(shù)族中任意改變時，y(x)的增量，即

此時有y(x)在y0(x)近旁改變著，δy是一個函數(shù)，它不直接隨x而變化，而只隨y(x)的改變而變化，當(dāng)y(x)改變時，對于同一個x值，有不同的δy。ABy0(x)y(x)=y0(x)+δyδyxyO第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介五變分的幾何意義1函數(shù)微分的幾何意第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3泛函變分的幾何意義

與函數(shù)微分相似，泛函Π[y(x)]的變分δΠ是泛函Π[y(x)]隨宗量y(x)的微小增量δy而產(chǎn)生的增量△Π的線性主部，δΠ與δy是線性關(guān)系，這可由泛函Π的臺勞展開來理解?？梢?，δΠ為△Π的線性主部，且與δy呈線性關(guān)系。3.2.3變分法的基本預(yù)備定理

如果函數(shù)F(x)在線段[x0,x1]上連續(xù)且對于只滿足某些一般條件的任意函數(shù)η(x)

有則在線段上第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3泛函變分的幾何意義第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介

在后面的應(yīng)用中F(x)將對應(yīng)泛函中的某些項，而η(x)則對應(yīng)于宗量的變分，或是任給的虛位移。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介在后面的應(yīng)用中F(x)第三節(jié)能量原理3.3.1幾種常用的能量原理和運用條件3.3.2與能量原理有關(guān)的基本知識一功與能的計算1.對加載過程與作功過程的描述

在分析靜力學(xué)問題時，其加載過程永遠(yuǎn)是逐加、緩加過程，因此應(yīng)變和位移也是由零逐漸達(dá)到額定值。對于線彈性體，外力與其作用點的位移之間的關(guān)系以及其應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系都是線性的，這樣在加載過程中，彈性體將只有外力功（或外力勢能）與彈性勢能之間將遵循能量守恒定律而轉(zhuǎn)換，而沒有動能和熱量的耗散，此時，外力與彈性勢能之間將遵循能量守恒定律而轉(zhuǎn)換。第三節(jié)能量原理3.3.1幾種常用的能量原理和運用條件3.第三節(jié)能量原理2.實功與虛功1）實功由于Pk與vkk之間是線性關(guān)系，則有2)虛功力pk在別的原因（如pm）引起的位移vkm上所做的功叫虛功，其計算公式為3.應(yīng)變能應(yīng)變能是由內(nèi)力所做實功來計算的。ABVkkPkKPkVkkABVkkPkKVmmVkmPm第三節(jié)能量原理2.實功與虛功1）實功2)虛功3.應(yīng)變能第三節(jié)能量原理1）直梁彎曲的應(yīng)變能由材力可計算直梁彎曲的應(yīng)變能為（線彈性材料）。

對于純彎曲梁，在彈性范圍內(nèi)，其彎矩M與兩端截面相對轉(zhuǎn)角θ成線性關(guān)系一般梁，θθMM第三節(jié)能量原理1）直梁彎曲的應(yīng)變能對于純彎曲第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的應(yīng)變能彈性能密度

以矩陣形式表示為

應(yīng)變能為3.3.3虛功原理

如果對載荷系作用下處于平衡的變形結(jié)構(gòu)給一微小虛位移，那么，外力（或載荷）所做的虛功等于內(nèi)力所做虛功，即第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的應(yīng)變能以矩陣形第三節(jié)能量原理說明如下：

1.變形結(jié)構(gòu)在外力和約束共同作用下必須處于平衡狀態(tài)，若去掉約束，約束反力按外力對待。

2.虛位移是指約束所允許的非常小的可能位移，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生這一虛位移時，原平衡的外力并不改變其方向，虛位移可理解為位移的變分，也可理解為由其它原因引起的位移。3.外力虛功的計算式中對應(yīng)的虛位移。第三節(jié)能量原理說明如下：2.虛位移是指約束所允第三節(jié)能量原理4.內(nèi)力虛功的計算

1）直梁彎曲MMdx第三節(jié)能量原理4.內(nèi)力虛功的計算MMdx第三節(jié)能量原理2）一般彈性體

－對應(yīng)虛位移的虛應(yīng)變

－原平衡力系引起的應(yīng)力

3.3.4最小勢能原理對于任何彈性結(jié)構(gòu)，若其總勢能表達(dá)為彈性位移的函數(shù)，則當(dāng)其處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，其總勢能必取極小值。說明：1.總勢能的計算總勢能包括彈性勢能（以應(yīng)變能形式表示）和外力勢能兩部分，對于不同的結(jié)構(gòu)有不同的表達(dá)形式。第三節(jié)能量原理2）一般彈性體－對應(yīng)虛位移的虛第三節(jié)能量原理1）直梁的總勢能外力勢的定義：從平衡位置到初始位置外力所做的功。ABVkkPkK第三節(jié)能量原理1）直梁的總勢能外力勢的定義：從平衡位置到初第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的總勢能qpB1B2B1—固定邊界；B2—自由邊界；q—體積力；p—面力設(shè)則外力勢總勢能為第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的總勢能qpB1B2B1—固定第三節(jié)能量原理2.最小勢能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式

由于Π是位移的函數(shù)或δ的泛函，而其平衡位置就是使Π取極小值的位置，因此最小勢能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為此式可由虛位移原理導(dǎo)出（大家可以自己推導(dǎo)）。第三節(jié)能量原理2.最小勢能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式有限元課件第3章第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介Ay1By2ynP

例2求簡支梁在P力作用下運動時的能量。

兩端簡支梁在力P作用下運動，其撓曲線y(x,t)可取不同的函數(shù)形式(y1,y2,…yn)，該系統(tǒng)的能量隨y(x,t)不同而不同，計算如下：總能量總勢能（彈性勢能和外力勢）動能

由上式可見，總能量與y(x,t)取什么樣的函數(shù)有關(guān)，而與梁在支座AB間x的取值沒有直接關(guān)系。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介Ay1By2ynP例2第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介二泛函的定義

對于某一族函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)yi(x)，Π有一個值與之對應(yīng)，亦即，如果變量Π對于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立，那么，變量Π叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為Π=Π[y(x)]，簡言之，泛函是函數(shù)的函數(shù)（但不是隱函數(shù)）。y(x)叫泛函Π的宗量。隱函數(shù)！泛函！第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介二泛函的定義對于某一第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3.2.2變分法中的一些概念和計算方法一變分問題ABy(x)yxO

例1最速降線問題（1696年約翰.伯努力）

如圖，A、B兩點不在同一鉛垂線上，求質(zhì)點從A滑到B用時間最少所沿的曲線。

該曲線是一條圓滾線，該問題是求泛函T[y(x)]的極小值。

例2等周問題（早已被古希臘人發(fā)現(xiàn)，但其變分特性18世紀(jì)才被察覺）SL

求長為一定的封閉曲線L，使其所圍的面積S最大。

該封閉曲線為一個圓。該問題是求泛函S(L)在L為定長條件下的極大值。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3.2.2變分法中的一些概念和計算方第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介

定義：凡有關(guān)求泛函極大值和極小值的問題，都叫變分問題。二變分法

求泛函極大值和極小值的方法叫做變分法。三泛函極值判定條件

設(shè)有一泛函Π[y(x)]，其一階變分為δΠ，二階變分為δ2Π，其取極值的條件與函數(shù)取極值的條件相似，即

當(dāng)δΠ=0時，Π取極值；同時若有：δ2Π>0時，Π取極小值；

δ2Π<0時，Π取極大值；四變分的計算方法

變分的計算方法與微分的計算方法相似，此處不做介紹。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介定義：凡有關(guān)求泛函極大第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介五變分的幾何意義1函數(shù)微分的幾何意義xx+dxdxdyΔyy(x)xyO

函數(shù)y(x)的微分dy是函數(shù)y(x)隨其自變量x的微小增量dx而產(chǎn)生的增量Δy的線性主部。它是一個值，對應(yīng)不同的x，dy有不同的值。2泛函宗量變分的幾何意義

宗量y(x)的變分δy是宗量y(x)在某一函數(shù)族中任意改變時，y(x)的增量，即

此時有y(x)在y0(x)近旁改變著，δy是一個函數(shù)，它不直接隨x而變化，而只隨y(x)的改變而變化，當(dāng)y(x)改變時，對于同一個x值，有不同的δy。ABy0(x)y(x)=y0(x)+δyδyxyO第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介五變分的幾何意義1函數(shù)微分的幾何意第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3泛函變分的幾何意義

與函數(shù)微分相似，泛函Π[y(x)]的變分δΠ是泛函Π[y(x)]隨宗量y(x)的微小增量δy而產(chǎn)生的增量△Π的線性主部，δΠ與δy是線性關(guān)系，這可由泛函Π的臺勞展開來理解?？梢姡摩盀椤鳓暗木€性主部，且與δy呈線性關(guān)系。3.2.3變分法的基本預(yù)備定理

如果函數(shù)F(x)在線段[x0,x1]上連續(xù)且對于只滿足某些一般條件的任意函數(shù)η(x)

有則在線段上第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介3泛函變分的幾何意義第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介

在后面的應(yīng)用中F(x)將對應(yīng)泛函中的某些項，而η(x)則對應(yīng)于宗量的變分，或是任給的虛位移。第二節(jié)數(shù)學(xué)變分法簡介在后面的應(yīng)用中F(x)第三節(jié)能量原理3.3.1幾種常用的能量原理和運用條件3.3.2與能量原理有關(guān)的基本知識一功與能的計算1.對加載過程與作功過程的描述

在分析靜力學(xué)問題時，其加載過程永遠(yuǎn)是逐加、緩加過程，因此應(yīng)變和位移也是由零逐漸達(dá)到額定值。對于線彈性體，外力與其作用點的位移之間的關(guān)系以及其應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系都是線性的，這樣在加載過程中，彈性體將只有外力功（或外力勢能）與彈性勢能之間將遵循能量守恒定律而轉(zhuǎn)換，而沒有動能和熱量的耗散，此時，外力與彈性勢能之間將遵循能量守恒定律而轉(zhuǎn)換。第三節(jié)能量原理3.3.1幾種常用的能量原理和運用條件3.第三節(jié)能量原理2.實功與虛功1）實功由于Pk與vkk之間是線性關(guān)系，則有2)虛功力pk在別的原因（如pm）引起的位移vkm上所做的功叫虛功，其計算公式為3.應(yīng)變能應(yīng)變能是由內(nèi)力所做實功來計算的。ABVkkPkKPkVkkABVkkPkKVmmVkmPm第三節(jié)能量原理2.實功與虛功1）實功2)虛功3.應(yīng)變能第三節(jié)能量原理1）直梁彎曲的應(yīng)變能由材力可計算直梁彎曲的應(yīng)變能為（線彈性材料）。

對于純彎曲梁，在彈性范圍內(nèi)，其彎矩M與兩端截面相對轉(zhuǎn)角θ成線性關(guān)系一般梁，θθMM第三節(jié)能量原理1）直梁彎曲的應(yīng)變能對于純彎曲第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的應(yīng)變能彈性能密度

以矩陣形式表示為

應(yīng)變能為3.3.3虛功原理

如果對載荷系作用下處于平衡的變形結(jié)構(gòu)給一微小虛位移，那么，外力（或載荷）所做的虛功等于內(nèi)力所做虛功，即第三節(jié)能量原理2）一般彈性體的應(yīng)變能以矩陣形第三節(jié)能量原理說明如下：

1.變形結(jié)構(gòu)在外力和約束共同作用下必須處于平衡狀態(tài)，若去掉約束，約束反力按外力對待。

2.虛位移是指約束所允許的非常小的可能位移，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生這一虛位移時，原平衡的外力并不改變其方向，虛位移可理解為位移的變分，也可理解為由其它原因引起的位移。3.外