金融博弈論第一章

--------“囚徒困境”兩個(gè)犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非至少一個(gè)人招人犯罪，警方并無(wú)充足證據(jù)將其按罪判刑.警方把他們關(guān)入不同的牢室，并對(duì)他們說(shuō)明不同行動(dòng)帶來(lái)的后果.如果兩個(gè)人都不坦白，將均被判為輕度犯罪，入獄一個(gè)月；如果兩人都坦白招認(rèn)，都將被判入獄6個(gè)月；最后，如果一人招認(rèn)而另一人拒不坦白，招認(rèn)的一方將馬上獲釋，而另一人將判入獄9個(gè)月.博弈論經(jīng)典例子第1章完全信息靜態(tài)博弈(StaticGamesofCompleteInformation)第1章完全信息靜態(tài)博弈一個(gè)博弈由三部分構(gòu)成:參與者

,參與者的戰(zhàn)略（空間），參與者的收益構(gòu)成.動(dòng))構(gòu)成的集合.參與者的收益是參與者在博弈中的參與者的戰(zhàn)略空間是參與者可選擇的戰(zhàn)略(行得益.參與者的“共同知識(shí)”.完全信息是指:所有參與者的收益函數(shù)是每個(gè)靜態(tài)博弈是指所有參與者同時(shí)選擇行動(dòng)或戰(zhàn)略.同時(shí):(彼此沒(méi)有信息交流).假設(shè)每個(gè)參與者選擇且僅選擇一次戰(zhàn)略（行動(dòng)）.參與者是理性的.參與者是理性的是指參與者總是追求收益最大（參與者唯一的目標(biāo)）.1.1·A

博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述

經(jīng)典例子；“囚徒困境”(prisoner,sdilemma)

囚徒1-6-60-9-90

-1-1

沉默招認(rèn)

囚徒2沉默招認(rèn)在此博弈中,每個(gè)囚徒有兩個(gè)可供選擇的戰(zhàn)略:

坦白,沉默.在一組特定的戰(zhàn)略被選定后，兩人的收益由上表中的數(shù)字給出，習(xí)慣上橫行代表的參與者1的收益

在兩個(gè)數(shù)字中放在前面，列代表的參與者2的收益放在后面.一般情況下，博弈的標(biāo)準(zhǔn)式包括：（1）博弈的參與者，（2）每一參與者的戰(zhàn)略集，（3）針對(duì)所有參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，每一個(gè)參與者獲得的收益.一般來(lái)講,我們只考慮n個(gè)參與者的博弈,其中參與者從1到n排序,設(shè)其中任一參與者的序號(hào)為i,令Si

代表參與者i

可以選擇的戰(zhàn)略集合(稱為i的戰(zhàn)略空間),其中任意一個(gè)特定的戰(zhàn)略用si表示

表示戰(zhàn)略si是戰(zhàn)略集Si中的要素）

(有時(shí)寫(xiě)成令后形成的戰(zhàn)略組合.間，表示為定義在一個(gè)n

人博弈的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中,參與者的戰(zhàn)略空間為我們用

表示此博弈.表示每個(gè)參與者選定一個(gè)戰(zhàn)略所有戰(zhàn)略組合構(gòu)成戰(zhàn)略組合空表示第i個(gè)參與者選擇戰(zhàn)略si

時(shí)，i的收益函數(shù)，即收益函數(shù)為注意:

參與者同時(shí)選擇戰(zhàn)略(行動(dòng))并不意味著各方行動(dòng)必須是同時(shí)的,只要每一個(gè)參與者在選擇行動(dòng)時(shí)沒(méi)有信息交流即可.參與者永遠(yuǎn)是理性的！博弈模型已經(jīng)構(gòu)建，我們的任務(wù)是如何預(yù)知博弈的結(jié)果(?),

換言之，如何尋找博弈的解.1·1·B重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略

定義在標(biāo)準(zhǔn)式的博弈中,令和代表參與者的兩個(gè)可行戰(zhàn)略,如果對(duì)其他參與者每一個(gè)可能的戰(zhàn)略組合,參與者i

或者相對(duì)與是嚴(yán)選擇的收益都小于其選擇的收益,則稱戰(zhàn)略相對(duì)于是嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，格占優(yōu)戰(zhàn)略，即：(DS)每一組可能的戰(zhàn)略組合都成立.對(duì)其他參與者在其戰(zhàn)略空間中的理由：理性的參與者不可能選擇嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，“囚徒困境”(prisoner,sdilemma)

囚徒1-6-60-9-90

-1-1

沉默招認(rèn)

囚徒2沉默招認(rèn)用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略方法解決“囚徒困境”

不難驗(yàn)證，在囚徒困境中，對(duì)每一個(gè)參與者，沉默和招認(rèn)相比是嚴(yán)格劣戰(zhàn)略.因此每一個(gè)囚徒都會(huì)選擇招認(rèn).故“囚徒困境”博弈的重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略解是（招認(rèn)，招認(rèn)）.下面再看一個(gè)二人博弈的例子：參與人12，00，10，30，11，21，0左中右上下參與人2圖1.1.1參與人1有兩個(gè)可選戰(zhàn)略，參與人2有三個(gè)可選戰(zhàn)略S1=｛上,下}，S2=｛左,中，右}，如果2選擇左，上優(yōu)于下(1大于0)，但如果2選擇右，下就會(huì)優(yōu)于上(因?yàn)?>0).但對(duì)參與人2來(lái)講，右嚴(yán)格劣于中(2>1且1>0)，因此理性的參與者2不會(huì)選擇右的.那么如果參與人1知道參與人2是理性的，他就可以把右從參與人2的戰(zhàn)略空間中剔除掉，即如果參與人1知道參與人2是理性的，他就可以把圖1.1.1所示博弈視同為圖1·1·2所示的博弈:1，01，20，30，1

參與人2

左中參與人1上下圖1·1·2在圖1·1·2中,對(duì)于參與人1來(lái)講，下就成了上的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略,于是如果參與人1是理性的,(并且參與人1知道參與人2是理性的，這樣才能把原博弈化為圖1.1.2所示的博弈)，參與人1就可以把下從參與人1的戰(zhàn)略空間中剔除，余下圖1·1·3所示博弈.但這時(shí)對(duì)參與人2,左又成為中的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，參與人2可以剔除左，得博弈的解為(上，中).1，01，2

參與人2左中參與人1

上圖1·1·3上面的過(guò)程可稱為“重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略”.戰(zhàn)略的原則之上，但它仍有兩個(gè)缺陷：注意此過(guò)程建立在理性參與者不會(huì)選擇嚴(yán)格劣第一每一步剔除都需要參與者間相互了解的意多步就需要假定“參與者是理性”是共同知識(shí).的還要假定所有參與人都知道所有參與人是理性更進(jìn)一步假設(shè)，如果我們要把這一過(guò)程應(yīng)用到任這意味著，我們不僅需要假定所有參與人是理性的如此等等，以至無(wú)窮.第二對(duì)博弈預(yù)測(cè)的結(jié)果經(jīng)常是不精確的.或者此方法根本不能使用.例如：6，63，53，55，30，44，05，34，00，4左中右上中下此博弈就不能用以上方法求解.由此引出納什均衡的概念.納什均衡概念是博弈理論的基石!它為博弈理論提供了分析框架.它的思想是:設(shè)想在博弈論預(yù)測(cè)的博弈結(jié)果中,給每個(gè)參與者選定各自的戰(zhàn)略,為使該預(yù)測(cè)是正確的，必須使參與者自愿選擇理論給它推導(dǎo)出的戰(zhàn)略.這樣每一個(gè)參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對(duì)其他參與者選擇戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng),這種理論推測(cè)的結(jié)果可以叫做“戰(zhàn)略穩(wěn)定”或“自動(dòng)實(shí)施”的,因?yàn)闆](méi)有參與者愿意獨(dú)自離棄他所選定的戰(zhàn)略,這一狀態(tài)稱做納什均衡（NashEquilibrium）.定義:在n個(gè)參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中,如果戰(zhàn)略組合滿足對(duì)每一個(gè)參與者i

,

是(至少不劣于)他針對(duì)其他(n-1)個(gè)參與者所選戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略，則稱戰(zhàn)略組合是該博弈的一個(gè)納什均衡(純戰(zhàn)略).即：對(duì)所有中的都成立，(NE)亦即是以下最優(yōu)化問(wèn)題

的解：關(guān)于納什均衡解求解方法的說(shuō)明：納什均衡(純戰(zhàn)略)的定義提供好了求解納什均衡的思路：1.假如最優(yōu)化問(wèn)題對(duì)每一個(gè)參與者i都有最大值點(diǎn)

則為其他參與者選定戰(zhàn)略的函數(shù)，即這樣就會(huì)得到n個(gè)等式或方程，2.解以上n個(gè)方程聯(lián)立的方程組，3.如果以上方程組有解，即得納什均衡解.反之，不是針對(duì)其他參與人戰(zhàn)略選不是博弈Si中存在另外一個(gè)戰(zhàn)略

使得如果戰(zhàn)略組合G的納什均衡，就意味著至少存在一個(gè)參與人

i，參與人

i的戰(zhàn)略選擇的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略,即在擇如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解不是納什均衡的解，離理論的預(yù)測(cè)，則至少有一個(gè)參與者有動(dòng)因偏使得博弈進(jìn)行和理論預(yù)測(cè)不一致.和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念：如果參與者之間要商定一個(gè)協(xié)議決定博弈如何進(jìn)行，那么一個(gè)有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須是納

議.什均衡的略組合，否則至少有一個(gè)參與者不遵守協(xié)看下面幾個(gè)例子：例一“囚徒困境”

-1，-1

-9，0

0，-9

-6，-6囚徒2

沉默招認(rèn)囚徒1沉默招認(rèn)對(duì)于囚徒1來(lái)講，如果囚徒2選擇戰(zhàn)略“沉默”,那么，囚徒1選擇“沉默”的收益為-1,選擇“招認(rèn)”

的收益為0,當(dāng)然選擇“招認(rèn)”.同理可得囚徒2的戰(zhàn)略選擇也是“招認(rèn)”.因此，此博弈的納什均衡解為

(招認(rèn)，招認(rèn)).此時(shí)雙方的收益為(-6,-6),很明顯(-1,-1)

的收益好于(-6,-6).但納什均衡

的結(jié)果是達(dá)不到的，此所謂的“囚徒困境”.這也正是博弈論的有趣之處,均衡的結(jié)果告訴我們一個(gè)很重要的結(jié)論:“囚徒困境”納什

個(gè)體理性和集體理性的矛盾,每個(gè)個(gè)體都追求個(gè)體收益最優(yōu),其結(jié)果可能是都達(dá)不到最優(yōu),相反,集體利益可能也受到損害.注:亞當(dāng).斯密:每個(gè)個(gè)體追求最優(yōu),結(jié)果集體最優(yōu).

影響.納什認(rèn)為亞當(dāng).斯密忽略了個(gè)體選擇時(shí)的相互

6

，63，53，55，30，44

，05，34

，00，4左中右上中下例2對(duì)于參與者1,如果參與者2選擇左,則參與者1選擇中(4＞3＞0),此時(shí)參與者1的收益為4,在4下面劃一橫線,同理可以求出參與者2選擇中、右時(shí),1的選擇和收益.對(duì)于參與者2可用同樣的方法求解.格子內(nèi)數(shù)字都劃線的對(duì)應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合(下，中)即為博弈的納什均衡解.1，2

0

,

0

0,02

,1

帕特歌劇拳擊克里斯歌劇拳擊例3—性別戰(zhàn)博弈易知此博弈有兩個(gè)納什均衡,(歌劇,歌劇);（拳擊,拳擊)結(jié)果到底是那一個(gè)呢?不得而知.此

為納什均衡解的多重性，是納什均衡的缺陷之一,也是博弈論的一大難題.此博弈無(wú)納什均衡（純戰(zhàn)略）.例4—猜硬幣博弈-1，1

1

，-11

，-1

-1，1參與人2正面反面參與人1正面反面例5博弈雙方1和2就如何分100元錢進(jìn)行討價(jià)還價(jià).假設(shè)確定了以下規(guī)則：雙方同時(shí)提出自己的要求的數(shù)額和如果,則博弈雙方的要求都能得到滿足,即分別得到和但如果則該筆錢就被沒(méi)收.求該博弈的納什為什么？均衡,若你是其中一個(gè)博弈方,你會(huì)選擇什么數(shù)額,解根據(jù)題意，參與者1,2要求的份額分別為因此，參與者1,2的戰(zhàn)略空間都為參與者1的收益函數(shù)為因此,參與者1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是由對(duì)稱性2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為雙方的反應(yīng)函

方程有無(wú)數(shù)解，所以該博數(shù)完全相同，弈有無(wú)數(shù)個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡

其中解.為方程另外，當(dāng)參與者1均衡解是時(shí)，參與者2的一個(gè)均衡解為1，但是，依照題意，當(dāng)時(shí)，依照納什均衡解的定義，此時(shí)參與者也是納什均衡解.參與者2的收益所以，當(dāng)參與者1均衡時(shí)，2戰(zhàn)略于是，以及解是該博弈的所有的所有解如果我是其中的一個(gè)參與者,我會(huì)選擇得到50.因?yàn)樵谠摬┺牡臒o(wú)窮個(gè)納什均衡中,(50,50)是比較

稱為“聚點(diǎn)”均衡.公平容易被雙方接受的.納什均衡解為滿足方程例6

考慮一個(gè)有

N個(gè)人參加的游戲:每個(gè)人可以放最多100元錢到一部可以生錢的機(jī)器里,機(jī)器把所有人放進(jìn)去的錢的總和增加到原來(lái)的3倍，然后再平均分給這N

個(gè)人.求此博弈的納什均衡.解:容易得出當(dāng)N=1,2時(shí),此博弈有唯一的納什均衡.雙方都放進(jìn)100元錢,即(100,100)為納什均衡.當(dāng)N=3時(shí)的情況如何?參與者i的收益函數(shù)為其中m,n,p分別為三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，m為參與者i放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n,p分別為其他兩個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，由可以看出,i的最優(yōu)選擇是:中的任意一個(gè)數(shù).同理可分析另外兩個(gè)參與者的選擇.當(dāng)N=4時(shí)情況如何?

因此博弈有無(wú)數(shù)個(gè)納什均衡.參與者的收益函數(shù)為:其中m,n,p,Q分別為四個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，m為參與者i放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù)，n,p,Q分別其他三個(gè)參與者放進(jìn)機(jī)器里的錢數(shù).由于所以參與者i的最優(yōu)選擇是:所以任何一個(gè)參與者都不放錢到機(jī)器里.此時(shí)博弈m=0.有唯一的納什均衡:例7

“智豬博弈”豬圈里有兩頭豬.一頭大豬，一頭小豬，豬圈一頭有一個(gè)豬食槽，另一頭安裝一個(gè)按鈕控制著豬食的供應(yīng).按一下按鈕會(huì)有10個(gè)單位的豬食進(jìn)槽，但誰(shuí)按按鈕誰(shuí)需要付出2個(gè)單位的的成本.若大豬先到，大豬吃到9個(gè)單位，小豬只能吃到1個(gè)單位；若同時(shí)到，大豬吃7個(gè)單位,小豬吃3個(gè)單位；若小豬先到，大豬吃6個(gè)單位，小豬吃4個(gè)單位.求此博弈的納什均衡.解5，14，49，-10，0小豬按等待大豬按等待此博弈的收益矩陣：容易求出此博弈的納什均衡為:（按，等待）.此納什均衡顯然是不合理的.例如：股份公司中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從現(xiàn)實(shí)中類似的現(xiàn)象.監(jiān)督中得到的收益并不一樣，因監(jiān)督經(jīng)理是要有成本的.在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督中得到的收益顯然小于小股東.大股東類似于“大豬”，小股東類似于“小豬”.納什均衡是，大股東擔(dān)當(dāng)起監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任，小股東則搭大股東的便車.股票市場(chǎng)上炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場(chǎng)上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此.命題1

在n個(gè)參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中,如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除外的所有戰(zhàn)略，那么這一戰(zhàn)略組合為該博弈的唯一納什均衡.兩個(gè)重要的命題：命題2

在n個(gè)參與者的標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，如果戰(zhàn)略組合那么它一定不會(huì)被重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略所剔除.是一個(gè)納什均衡，證明：首證命題2假設(shè)戰(zhàn)略組合(反證法).是標(biāo)準(zhǔn)式博弈的一個(gè)納什均衡,且假設(shè)被剔除掉了，該戰(zhàn)略組合中一定有由重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略過(guò)程，一個(gè)戰(zhàn)略首先被剔除，不妨假設(shè)第i個(gè)戰(zhàn)略首先被剔除，則在第i個(gè)參與者的戰(zhàn)略空間中一定存在另一個(gè)尚未被剔除的戰(zhàn)略嚴(yán)格優(yōu)于.代如(DS)公式，得到（1·1·1）對(duì)每一個(gè)其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可能形成的戰(zhàn)略組合都成立.是納什均衡戰(zhàn)略由于中第一個(gè)被剔除的戰(zhàn)略，以上納什均衡戰(zhàn)略組合中其它參與人的戰(zhàn)略尚未被剔除，于是上面不等式的特例，下式成立.但是（1·1·2）和公式（NE）顯然是矛盾的.（1·1·2）根據(jù)(NE),

必須是針對(duì)的最優(yōu)反應(yīng),這一矛盾證明了原命題成立.那么就不可能存在一個(gè)戰(zhàn)略嚴(yán)格優(yōu)于下證命題1,在證命題2的過(guò)程中,實(shí)際上已證明了1的一部分.所需證明的只是如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除了除之外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略組合是納什均衡.由命題2任何其它納什均衡必定同樣未被剔除，這已證明了在該博弈中均衡的唯一性.下面只需證明余下的戰(zhàn)略組合是納什均衡即可.為簡(jiǎn)單假設(shè)博弈G是有限博弈.用反證法假設(shè)通過(guò)重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除掉除外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略不是納什均衡，那么一定有某一參與者i,在他的戰(zhàn)略集中存在使公式（NE）不成立，但同時(shí)又必須是在剔除過(guò)程中某一階段的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略.上述兩點(diǎn)的正規(guī)表述為：中存在使得（1·1·3）并且在參與者i的戰(zhàn)略集中存在,在剔除過(guò)程中的某一階段有（1·1·4）對(duì)所有其他參與者在該階段剩余戰(zhàn)略可能的戰(zhàn)略組合由于其他參與都成立.始終未被剔除，于是下式作為(1·1·4)的一個(gè)特例成立:（1.1.5）如果(即是的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略),則(1·1·5)和(1·1·3)相互矛盾，此時(shí)證明結(jié)束.如果由于在最終被剔除掉了，則者的戰(zhàn)略一定有其他戰(zhàn)略在其后嚴(yán)格優(yōu)于

.等式（1·1·4）和(1·1·5)中，分別用這樣在不和后不等式仍然成立.換下和明結(jié)束，再一次，如果則證否則還可構(gòu)建兩個(gè)相似的不等式.是Si中唯一未被剔除的戰(zhàn)略，由于重復(fù)這一論證過(guò)程（在一個(gè)有限的博弈中）最終一定能完成證明.奧古斯汀?古諾(Augustin

Cournot)是19世紀(jì)著名的法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué).法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)以數(shù)理方法對(duì)經(jīng)濟(jì)事實(shí)進(jìn)行抽象，這與傳統(tǒng)的英國(guó)學(xué)派重視經(jīng)驗(yàn)事實(shí),主張從事實(shí)中進(jìn)行歸納的經(jīng)驗(yàn)論風(fēng)格迥然不同的.古諾可以說(shuō)是法果經(jīng)濟(jì)學(xué)派的開(kāi)山鼻祖.他在1838年發(fā)表的《對(duì)財(cái)富理論的數(shù)學(xué)原理的研究》(ResearchesintotheMatheMaticalPrinciplesoftheTheoryofwealth),給出了兩個(gè)企業(yè)的博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具生命力.（平新橋《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)18講》167頁(yè)）古諾均衡1·2

應(yīng)用舉例古諾(1838)提出了納什所定義的均衡(但只是在特定的雙頭壟斷模型中)，但是他并沒(méi)有從理論上系統(tǒng)的定義均衡的意義.古諾的研究被為是最早的博弈論的經(jīng)典文獻(xiàn)之一.此模型告訴我們；（1）如何對(duì)一個(gè)問(wèn)題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一個(gè)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述；（2）如何通過(guò)計(jì)算解出博弈的納什均衡；（3）重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的步驟.古諾的雙頭壟斷模型.令和分別表示企業(yè)1,2生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn)品的產(chǎn)量，市場(chǎng)中該產(chǎn)品的總供給為令表示市場(chǎng)的出清時(shí)的價(jià)格.更為精確一點(diǎn)的表述為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，為,

產(chǎn)每單位品的邊際成本為常數(shù)c，這里假設(shè)設(shè)企業(yè)i生產(chǎn)qi

的總成本即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)根據(jù)古諾的假定，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)進(jìn)行產(chǎn)量決策.下面將此問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)式博弈：三個(gè)要素

（1）參與人（企業(yè)1和企業(yè)2）；（2）參與人可以選擇的戰(zhàn)略（3）針對(duì)每一個(gè)可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組合，每一個(gè)參與人的收益.企業(yè)的收益是自己所選戰(zhàn)略與其它企業(yè)所選戰(zhàn)略的函數(shù),假定企業(yè)的收益就是其利潤(rùn)為一對(duì)戰(zhàn)略如是納什均衡,則對(duì)每個(gè)參與者，應(yīng)滿足:（NE）上式對(duì)中每一個(gè)可選戰(zhàn)略都成立，這一條件等價(jià)于:對(duì)每個(gè)參與者,

必須是下面最優(yōu)化問(wèn)題的解最優(yōu)化問(wèn)題的一階條件是對(duì)收益函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，并令其等于零，其解為（1·2·1）那么,如果產(chǎn)量組合要成為納什均衡，企業(yè)產(chǎn)量選擇必須滿足：解這一對(duì)方程組得均衡解小于

,滿足上面的假設(shè).且兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為另外，每家企業(yè)當(dāng)然都希望成為市場(chǎng)的壟斷者.于

是雙方有可能結(jié)成聯(lián)盟！事實(shí)上，該博弈的納什均衡未必立刻形成！那么，雙方的聯(lián)盟(雙頭壟斷)能否結(jié)成呢？設(shè)想兩者達(dá)成共同利潤(rùn)最大化和平分市場(chǎng)的協(xié)議.容易求出利潤(rùn)最大化時(shí)的產(chǎn)量為：設(shè)Q為兩者的產(chǎn)量和.總利潤(rùn)為此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量都為：此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)都為：已經(jīng)求出古諾模型時(shí)利潤(rùn)為顯然，壟斷狀態(tài)時(shí)的產(chǎn)量低于古諾模型時(shí)的產(chǎn)量，而利潤(rùn)高于古諾模型時(shí)的利潤(rùn).但這種安排存在一個(gè)問(wèn)題，有動(dòng)機(jī)偏離它,就是每家企業(yè)都因?yàn)閴艛喈a(chǎn)量較低,相應(yīng)的產(chǎn)品的市場(chǎng)出清價(jià)格就比較高.在這一價(jià)格下,的增加會(huì)降低市場(chǎng)出清價(jià)格.每家企業(yè)都會(huì)傾向于提高產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量也就是說(shuō)，這種結(jié)盟不能形成！前提是：雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品.因?yàn)殡p方聯(lián)盟(雙頭壟斷)能結(jié)成的雙方是否都會(huì)按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品呢？或者說(shuō)雙方是否都會(huì)遵守協(xié)議呢？下面分析兩者是否會(huì)遵守協(xié)議決策,兩者有兩種戰(zhàn)略選擇：遵守協(xié)議和不遵守協(xié)議.此時(shí)，雙方又要進(jìn)行博弈.若企業(yè)1遵守協(xié)議,選擇產(chǎn)量2不遵守協(xié)議.而企業(yè)根據(jù)利潤(rùn)最大化的一階條件：企業(yè)2的產(chǎn)量選擇為則企業(yè)1和企業(yè)2的利潤(rùn)分別為和;同理可得企業(yè)2遵守協(xié)議而企業(yè)1不遵守協(xié)議時(shí)的利潤(rùn)于是可建立下列博弈模型：博弈模型：遵守不遵守遵守不遵守容易求出此博弈的納什均衡為：(不遵守,不遵守).協(xié)議無(wú)效.下面介紹推廣的古諾模型.將古諾模型推廣到n個(gè)企業(yè)的情形.存在n個(gè)企業(yè)條件下的古諾均衡.如果一個(gè)行業(yè)中存在n個(gè)相同的企業(yè)，并且第(n+1)個(gè)企業(yè)會(huì)被行業(yè)有效地排斥在外，每一個(gè)現(xiàn)存企業(yè)的成本函數(shù)相同，即成本為(1)設(shè)市場(chǎng)需求（函數(shù)）為(2)當(dāng)然（否則會(huì)有問(wèn)題，后面可以看到）由(1)與(2)兩式易知企業(yè)j的利潤(rùn)為所謂古諾均衡,便是存在一個(gè)產(chǎn)量使得每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)都達(dá)到最優(yōu).（3）必須使(3)式最即當(dāng)所有別的企業(yè)的產(chǎn)量時(shí)，于是有(4)即(5)大化.于是令將這n個(gè)式子相加得行業(yè)的總產(chǎn)量為注意到(5)式在均衡時(shí)每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量相等，于是在均衡時(shí)每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量為價(jià)格為每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為注意:古諾均衡時(shí)價(jià)格和邊際成本的差為：每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為零.也就是說(shuō)，當(dāng)企業(yè)個(gè)數(shù)很大時(shí),所以說(shuō)明當(dāng)企業(yè)個(gè)數(shù)無(wú)窮多時(shí)，即價(jià)格會(huì)接近邊際

成本，也即，當(dāng)企業(yè)個(gè)數(shù)無(wú)窮多時(shí),市場(chǎng)結(jié)構(gòu)會(huì)趨于完全競(jìng)爭(zhēng).1·2B

貝特蘭德的雙頭壟斷模型貝特蘭德(1883)提出企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)選擇的是產(chǎn)品價(jià)格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量.貝特蘭德的雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個(gè)不同的模型.體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)不同，并且兩個(gè)模型中企業(yè)的行為不同.考慮兩種同類但不同質(zhì)的產(chǎn)品（古諾模型中兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）.如果企業(yè)1和企業(yè)2分別選擇價(jià)格p1和p2,消費(fèi)者對(duì)企業(yè)i的產(chǎn)品的需求為其中即只限于求函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中并不存在，因?yàn)橹灰髽I(yè)j的產(chǎn)品企業(yè)i的產(chǎn)品為企業(yè)j產(chǎn)品的替代品的情況(這個(gè)需品的需求都是正的).下面將會(huì)看到只有在價(jià)格足夠高，無(wú)論企業(yè)i要多高的價(jià)格，對(duì)其產(chǎn)時(shí)問(wèn)題才有意義).假定企業(yè)生產(chǎn)沒(méi)有固定成本，

行動(dòng)（選擇各自的價(jià)格）.并且邊際成本為常數(shù)c，兩個(gè)企業(yè)是同時(shí)每個(gè)企業(yè)的戰(zhàn)略空間其中企業(yè)i的一個(gè)典型戰(zhàn)略si是所選擇的價(jià)格pi.每個(gè)企業(yè)的收益函數(shù)等于其利潤(rùn)額，當(dāng)企業(yè)

i選擇價(jià)格pi