chapter5.5-7二次型轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)二次型

第五節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線

的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換：

把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

(1)的左邊是一個二次齊次多項式,為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì)，我們通過坐標(biāo)變換，把方程化為只含平方項的標(biāo)準(zhǔn)方程（我們把它叫做標(biāo)準(zhǔn)型）。

把二次齊次多項式化為只含平方項的標(biāo)準(zhǔn)方程不僅在幾何問題中出現(xiàn)，而且在數(shù)學(xué)的其它分支及物理、力學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、網(wǎng)絡(luò)計算中有著廣泛的應(yīng)用。

現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題。一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型稱為二次型的規(guī)范形．平方項的系數(shù)只在1，-1,0中取值的標(biāo)準(zhǔn)型例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.為二次型的規(guī)范形.1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法2．用矩陣表示

標(biāo)準(zhǔn)型：只含有平方項的二次型三、二次型的矩陣及秩

在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．將二次型的標(biāo)準(zhǔn)型化成矩陣形式，易知，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣具有對角陣形式：二次型的秩等于中非零元素的個數(shù)解例１練習(xí)

1）寫出二次型所對應(yīng)的矩陣。

2）寫出矩陣所對應(yīng)的二次型。定義

設(shè)有兩組變量

；，其中一組變量可以寫成另外一組變量的線性組合，即有：補充：線性變換則稱上式為由到的一個線性變換

由系數(shù)組成的矩陣稱為線性變換的矩陣。本章主要問題之一：找一個恰當(dāng)?shù)木€性變換，使二次型形式更簡單（只含有平方項）。四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理

任意一個二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2例22．求特征向量3．將特征向量正交化4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為解例3五、小結(jié)

1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法．

2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．第六節(jié)用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形一、拉格朗日配方法的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是保持幾何形狀不變．

問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．解例1含有平方項去掉配方后多出來的項所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無平方項，所以再配方，得所用變換矩陣為

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過可逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.練習(xí)二、小結(jié)

將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問題的要求．如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給二次型的秩．第七節(jié)正定二次型一、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．為正定二次型為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如三、正(負(fù))定二次型的判別推論對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個定理稱為霍爾維茨定理．定理3對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即對稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階順序主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解2.