材料力學(xué)第5章-剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

基礎(chǔ)篇之五材料力學(xué)下一章上一章返回總目錄桿件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲（bending）。主要承受彎曲的桿件稱為梁（beam）。

在外力作用下，梁的橫截面上將產(chǎn)生剪力和彎矩兩種內(nèi)力。第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

在很多情形下，剪力和彎矩沿梁長(zhǎng)度方向的分布不是均勻的。對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱為危險(xiǎn)面。彎矩和剪力最大的橫截面就是首先需要考慮的危險(xiǎn)面。研究梁的變形和剛度雖然沒有危險(xiǎn)面的問(wèn)題，但是也必須知道彎矩沿梁長(zhǎng)度方向是怎樣變化的。

彎曲時(shí)，由于橫截面上應(yīng)力非均勻分布，失效當(dāng)然最先從應(yīng)力最大點(diǎn)處發(fā)生。因此，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算不僅要考慮內(nèi)力最大的“危險(xiǎn)截面”，而且要考慮應(yīng)力最大的點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為“危險(xiǎn)點(diǎn)”。絕大多數(shù)細(xì)長(zhǎng)梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)力的影響是次要的。本章將主要確定梁橫截面上正應(yīng)力以及與正應(yīng)力有關(guān)的強(qiáng)度問(wèn)題。本章首先介紹如何建立剪力方程和彎矩方程；討論載荷、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系；怎樣根據(jù)載荷、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖；然后應(yīng)用平衡、變形協(xié)調(diào)以及物性關(guān)系，建立確定彎曲的應(yīng)力和變形公式；最后介紹彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)方法。

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖結(jié)論與討論(1)工程中的彎曲構(gòu)件第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

返回返回總目錄工程中可以看作梁的桿件是很多的:橋式吊車的大梁可以簡(jiǎn)化為兩端餃支的簡(jiǎn)支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布載荷q)的作用下,大梁將發(fā)生彎曲。

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中可以看作梁的桿件是很多的:石油、化工設(shè)備中各種直立式反應(yīng)塔，底部與地面固定成一體，因此，可以簡(jiǎn)化為一端固定的懸臂梁。在風(fēng)力載荷作用下，反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變形。

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中可以看作梁的桿件是很多的:火車輪軸支撐在鐵軌上，鐵軌對(duì)車輪的約束，可以看作鉸鏈支座，因此，火車輪軸可以簡(jiǎn)化為兩端外伸梁。由于軸自身重量與車廂以及車廂內(nèi)裝載的人與貨物的重量相比要小得多，可以忽略不計(jì)，因此，火車輪軸將發(fā)生彎曲變形。工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

屋頂大梁上的孔為什么開在中間？上、下兩邊各開一個(gè)半圓孔可以嗎？工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

梁為什么做成變截面的？

孔開在哪里最合理?梁為什么可以開孔？工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

架在空中的懸臂梁工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

架在空中的懸臂梁工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

架在空中的懸臂梁工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

架在空中的懸臂梁工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

“玻璃人行橋”從大峽谷南端的飛鷹峰延伸出來(lái)，長(zhǎng)約21米，距離谷底約1220米。橋道寬約3米，兩邊由強(qiáng)化玻璃包圍。這座橋是懸臂式設(shè)計(jì)，即U形一端用鋼樁固定在峽谷巖石中，另一端則懸在半空。為了避免“玻璃人行橋”延伸在外的部分發(fā)生傾斜下墜，在巖石中的固定端還安放了重達(dá)220噸左右的鋼管，以保證橋身平衡。整座“玻璃人行橋”重約485噸，相當(dāng)于4架波音757噴氣式飛機(jī)的總重量。盡管如此，由于人行橋底部是鋼梁，足以承載兩萬(wàn)人的重量，還能承受時(shí)速160公里的大風(fēng)。工程中的彎曲構(gòu)件

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

返回返回總目錄梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

應(yīng)用平衡的概念和截面法，不僅可以確定梁上任意橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩，而且可以確定剪力和彎矩沿梁長(zhǎng)度方向的變化規(guī)律。

平衡包括：整體平衡和局部平衡。剛體平衡概念的擴(kuò)展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必然是平衡的?？傮w平衡與局部平衡的概念梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剛體平衡概念的擴(kuò)展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必然是平衡的。總體平衡與局部平衡的概念梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

應(yīng)用截面法可以確定桿件任意橫截面上的內(nèi)力分量用假想截面從所要求的截面處將桿截為兩部分考察其中任意一部分的平衡由平衡方程求得橫截面的內(nèi)力分量梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FQM梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

應(yīng)用截面法和平衡的概念，不難證明：當(dāng)梁上的外力（包括載荷與約束力）沿桿的軸線方向發(fā)生突變時(shí)，剪力和彎矩的變化規(guī)律也將發(fā)生變化。

所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。

某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡；

在載荷無(wú)突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化；桿件內(nèi)力變化的一般規(guī)律梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

根據(jù)以上分析，不難得到結(jié)論：梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

桿件各截面上內(nèi)力變化規(guī)律隨著外力的變化而改變。梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

所謂剪力和彎矩變化規(guī)律是指表示剪力和彎矩變化的函數(shù)或變化的圖線。這表明，如果在兩個(gè)外力作用點(diǎn)之間的梁上沒有其他外力作用，則這一段梁所有橫截面上的剪力和彎矩可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)方程或者同一圖線描述。

梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

描述內(nèi)力變化規(guī)律有兩種方法：

1.數(shù)學(xué)方程——剪力方程與彎矩方程；

2.圖形——剪力圖與彎矩圖。兩種描述方法都要：

1.確定變化區(qū)間；

2.遵循正負(fù)號(hào)規(guī)則。根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個(gè)端截面稱為控制面（controlcross-section）。據(jù)此，下列截面均可為控制面：集中力作用點(diǎn)的兩側(cè)截面；集中力偶作用點(diǎn)的兩側(cè)截面；

均布載荷（集度相同）起點(diǎn)和終點(diǎn)處的截面。變化區(qū)間——控制面梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

外力規(guī)律發(fā)生變化截面——集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。變化區(qū)間——控制面梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則剪力FQ(FQy或FQz)的確定：使截開部分桿件產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為負(fù)。

FQFQ彎矩M(My或Mz)的確定：使梁產(chǎn)生上凹、下凸變形的彎矩為正；反之為負(fù)。

梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FNFNFQFQ梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力方程與彎矩方程第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

返回返回總目錄剪力方程與彎矩方程第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

指定橫截面上彎矩和剪力的確定

剪力方程和彎矩方程的建立剪力方程與彎矩方程第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

指定橫截面上彎矩和剪力的確定

剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

應(yīng)用截面法確定某一指定橫截面上的剪力和彎矩，首先，需要用假想橫截面從指定橫截面處將梁截為兩部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡條件，即可得到該截面上的剪力和彎矩。FPll例題1ABCD一端固定另一端自由的梁，稱為懸臂梁(cantileverbeam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。MO=2FPl

試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點(diǎn)無(wú)限接近。剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FPFPllABCDMO=2FPl

解：1.應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程確定固定端的約束力。

2.應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量用假想截面將梁C截面處截開，以左邊部分為平衡對(duì)象。因?yàn)橥饬εc梁軸線都在同一平面內(nèi)，而且沒有沿桿件軸線方向的外力作用，所以橫截面上沒有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。MA＝0AClFPMA＝0剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：

2.應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量CAFPlMA＝0假設(shè)截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開的局部平衡建立平衡方程：所得結(jié)果均為正值，這表明所假設(shè)的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的。剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：

3.應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量AFPMA＝0llMO=2FPlD用假想截面將梁D截面處截開，以左邊部分為平衡對(duì)象。剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：

3.應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量假設(shè)截開橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開的局部平衡建立平衡方程：因?yàn)镈截面無(wú)限接近B截面，所以式中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：

4.討論本例中所選擇的研究對(duì)象都是C、D截面以左部分梁，因而需要首先確定左端的約束力。如果以C、D截面以右部分梁作為平衡對(duì)象，則無(wú)需確定約束力，計(jì)算過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)單。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

例題1剪力方程與彎矩方程第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力方程和彎矩方程的建立剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

為了建立剪力方程和彎矩方程，必須首先建立Oxy坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x坐標(biāo)軸與梁的軸線一致，坐標(biāo)原點(diǎn)O一般取在梁的左端，x坐標(biāo)軸的正方向自左至右，y坐標(biāo)軸鉛垂向上。建立剪力方程和彎矩方程時(shí)，需要根據(jù)梁上的外力(包括載荷和約束力)作用狀況，確定控制面，從而確定要不要分段，以及分幾段建立剪力方程和彎矩方程。確定了分段之后，首先，在每一段中任意取一橫截面，假設(shè)這一橫截面的坐標(biāo)為x；然后從這一橫截面處將梁截開，并假設(shè)所截開的橫截面上的剪力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向；最后分別應(yīng)用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，這就是所要求的剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。

剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

建立剪力方程和彎矩方程的方法與過(guò)程，實(shí)際上與前面所介紹的確定指定橫截面上的剪力和彎矩的方法和過(guò)程是相似的，所不同的，現(xiàn)在的指定橫截面是坐標(biāo)為x的橫截面。

需要特別注意的是，在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x的函數(shù)。例題2懸臂梁在B、C兩處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全長(zhǎng)為2l。

試寫出：梁的剪力方程和彎矩方程。

FPllABCMO=2FPl剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：1．確定控制面和分段本例將通過(guò)考察截開截面的右邊部分平衡建立剪力方程和彎矩方程，因此可以不必確定左端的約束力。

2．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系。由于梁在固定端A處作用有約束力、自由端B處作用有集中力、中點(diǎn)C處作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均為控制面。因此，需要分為AC和CB兩段建立剪力和彎矩方程。

FPllABMO=2FPlCOyx剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：3．建立剪力方程和彎矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB兩段分別以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將梁截開，并在截開的橫截面上，假設(shè)剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截開的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：3．建立剪力方程和彎矩方程FQ(x)M(x)

對(duì)于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根據(jù)平衡方程x1剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CB剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B上述結(jié)果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；彎矩方程不同，但都是x的線性函數(shù)。

對(duì)于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開后，考察右邊部分的平衡。根據(jù)平衡方程x2剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱為簡(jiǎn)支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長(zhǎng)度為2l。

試寫出：該梁的剪力方程和彎矩方程。

qllBAC例題3剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：1．確定約束力llBACqFRBFRA因?yàn)橹挥秀U垂方向的外力，所以支座A的水平約束力等于零。又因?yàn)榱旱慕Y(jié)構(gòu)及受力都是對(duì)稱的，故支座A與支座B處鉛垂方向的約束力相同。于是，根據(jù)平衡條件不難求得：

剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

Oyx解：2．確定控制面和分段因?yàn)榱荷现蛔饔糜羞B續(xù)分布載荷(載荷集度沒有突變)，沒有集中力和集中力偶的作用，所以，從A到B梁的橫截面上的剪力和彎矩可以分別用一個(gè)方程描述，因而無(wú)需分段建立剪力方程和彎矩方程。llBACqFRBFRA

3．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，

剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA

解：4．確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件

以A、B之間坐標(biāo)為x的任意截面為假想截面，將梁截開，取左段為研究對(duì)象，在截開的截面上標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)的正方向。剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

OyxllBACqFRBFRA

解：4．確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件

得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為

這一結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。

xFQ(x)M(x)FRA剪力方程與彎矩方程

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

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繪制剪力圖和彎矩圖有兩種方法：第一種方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程，在FQ-x和M-x坐標(biāo)系中首先標(biāo)出剪力方程和彎矩方程定義域兩個(gè)端點(diǎn)的剪力值和彎矩值，得到相應(yīng)的點(diǎn)；然后按照剪力和彎矩方程的類型，繪制出相應(yīng)的圖線，便得到所需要的剪力圖與彎矩圖。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

繪制剪力圖和彎矩圖的第二種方法是：先在FQ-x和M-x坐標(biāo)系中標(biāo)出控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值，然后應(yīng)用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，確定控制面之間的剪力和彎矩圖線的形狀，因而無(wú)需首先建立剪力方程和彎矩方程。

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

根據(jù)相距dx的兩個(gè)橫截面截取微段的平衡，可以得到載荷集度、剪力、彎矩之間存在下列的微分關(guān)系：

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

將FQ(x)對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)，將M(x)對(duì)x求一次和二次導(dǎo)數(shù)，得到OyxllBACqFRBFRA載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

式中等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)，是由于作用在梁上的均布載荷是向下的。因此規(guī)定：對(duì)于向上的均布載荷，微分關(guān)系式中的載荷集度q為正值；對(duì)于向下的均布載荷，載荷集度q為負(fù)值。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

上述微分關(guān)系，也說(shuō)明剪力圖和彎矩圖圖線的幾何形狀與作用在梁上的載荷集度有關(guān)。載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力圖的斜率等于作用在梁上的均布載荷集度；彎矩圖在某一點(diǎn)處的斜率等于對(duì)應(yīng)截面處剪力的數(shù)值。

如果一段梁上沒有分布載荷作用，即q＝0，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于零，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為平行于x軸的水平直線；彎矩圖為斜直線。

如果一段梁上作用有均布載荷，即q＝常數(shù)，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)為x的線性函數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線。

彎矩圖二次拋物線的凸凹性與載荷集度q的正負(fù)有關(guān)：當(dāng)q為正(向上)時(shí)，拋物線為凹曲線，凹的方向與M坐標(biāo)正方向一致，：當(dāng)q為負(fù)(向下)時(shí)，拋物線為凸曲線，凸的方向與M坐標(biāo)正方向一致。

載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力圖與彎矩圖第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

返回返回總目錄作用在梁上的平面載荷如果不包含縱向力，這時(shí)梁的橫截面上只有剪力FQ和彎矩M兩種內(nèi)力分量。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向變化的圖形，分別稱為剪力圖（diagramofshearingforces）和彎矩圖（diagramofbendingmoment）。

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力圖與彎矩圖的繪制方法與軸力圖和扭矩圖大體相似，但略有差異。主要步驟如下：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面。應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值(假定剪力和彎矩都為正方向)。建立FQ-x和M–x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫出剪力圖與彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FA簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖所示。例題41kN.m2kN1.5m1.5m1.5m

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1．確定約束力求得A、B

兩處的約束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kN

FRAFRF根據(jù)力矩平衡方程

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：2．確定控制面在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FQ-x和M-x坐標(biāo)系。

xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEFA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFFRA剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線因?yàn)榱荷蠠o(wú)分布載荷作用，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸的直線。xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA彎矩M圖形均為斜直線。于是，順序連接FQ－x和M－x坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。

5．確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為

(發(fā)生在EF段)

(發(fā)生在D、E截面上)

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA從所得到的剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎矩圖具有相同的斜率。此外，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是維持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建議大家自行驗(yàn)證。

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA例題5qBADa4aqaFAyFBy梁由一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。

解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、F

兩處的約束力剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

qBADa4aqaFAyFByCOxFQOxM解：2．確定控制面由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

剪力圖與彎矩圖

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qaqBADa4aFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2解：4．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

qaqBADa4aFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于剪力圖：在AB段上，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點(diǎn)，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無(wú)分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點(diǎn)而得，或者由其中任一點(diǎn)作平行于x軸的直線而得到。

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于彎矩圖：在AB段上，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因?yàn)閝向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個(gè)控制面上彎矩?cái)?shù)值外，還需要確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒有極值點(diǎn)，以及極值點(diǎn)的位置和極值點(diǎn)的彎矩?cái)?shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點(diǎn)剪力為零。

9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeE剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

qAExE

6．確定彎矩圖極值點(diǎn)的位置qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeE81qa2/32剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為

剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

注意到在右邊支座處，由于有約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等），彎矩圖在該處出現(xiàn)折點(diǎn)（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。

剪力圖與彎矩圖

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xQFQxqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq例題6剪力圖與彎矩圖

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qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例題7剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

qqFQ例題8剪力圖與彎矩圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力圖與彎矩圖的繪制方法小結(jié)：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面。應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值(假定剪力和彎矩都為正方向)。建立FQ一x和M一x坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進(jìn)而畫出剪力圖與彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖

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剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

返回返回總目錄B剛架的組成——橫梁、立柱與剛節(jié)點(diǎn)。立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

面內(nèi)載荷作用下，剛架各桿橫截面上的內(nèi)力分量——軸力、剪力和彎矩。特點(diǎn)內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)與觀察者位置的關(guān)系：軸力的正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)；剪力的正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)；彎矩的正負(fù)號(hào)與觀察者位置有關(guān)。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

軸力的正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剪力的正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

彎矩的正負(fù)號(hào)與觀察者位置有關(guān)剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

剛架內(nèi)力圖的畫法(1)無(wú)需建立坐標(biāo)系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)彎矩的數(shù)值標(biāo)在受拉邊;(4)軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號(hào)；(5)注意節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系FNFQFNFQMMFNFQFNFQBMM剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

例題9已知平面剛架上的均布載荷集度q,長(zhǎng)度l。B

試：畫出剛架的內(nèi)力圖。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

B

解：1.確定約束力ql剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

Bql

解：2.確定控制面B'B"AC剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

B'ABA

解：3.確定控制面上的內(nèi)力FQ(B')FN(B')M(B')考察豎桿AB的平衡剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

B"BC解：3.確定控制面上的內(nèi)力FN(B")FQ(B")M(B")考察橫桿BC的平衡剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：4.畫剪力圖和彎矩圖qlab'ab'cb"

將控制面上的剪力和彎矩分別標(biāo)在FQ-x和M-x坐標(biāo)中。

根據(jù)微分關(guān)系連圖線。

剪力圖標(biāo)上正負(fù)號(hào)。

彎矩圖畫在受拉的一側(cè)。＋－b"c剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

解：4.畫軸力圖

將控制面上的軸力標(biāo)在FN-x坐標(biāo)中。

連圖線。b'ab"c

根據(jù)軸力的拉、壓性質(zhì)，在圖上標(biāo)上正負(fù)號(hào)。＋剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章梁的強(qiáng)度問(wèn)題

FNFQqa2/2qa2/2例題9剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第5章