第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

第三章

流體動力學(xué)基礎(chǔ)3-1描述流體運動的兩種方法著眼點不同拉格朗日法（Lagrange）：流體質(zhì)點歐拉法（Euler）：空間跟蹤追跡法設(shè)立觀察站法一、拉格朗日描述法與質(zhì)點系

（a,b,c）為t=t0起始時刻質(zhì)點所在的空間位置坐標，稱為拉格朗日變數(shù)。任何質(zhì)點在空間的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時間t的函數(shù)：

或r＝r（a,b,c,t）（1）（a,b,c）=const,t為變數(shù),可以得出某個指定質(zhì)點在任意時刻所處的位置。

（2）（a,b,c）為變數(shù),

t=const,可以得出某一瞬間不同質(zhì)點在空間的分布情況。

流體質(zhì)點任一物理量B（如速度、壓力、密度等）表示為：

B＝B（a,b,c,t）

質(zhì)點系：

在t＝0時緊密毗鄰的具有不同起始坐標（a,b,c)的無數(shù)質(zhì)點組成一個有確定形狀、有確定流動參數(shù)的質(zhì)點系。經(jīng)過t時間之后，質(zhì)點系的位置和形狀發(fā)生變化。二、歐拉描述法與控制體

歐拉法不直接追究質(zhì)點的運動過程，而是以充滿運動流體質(zhì)點的空間——流場為對象。流體質(zhì)點的物理量B是時空（x,y,z,t）的連續(xù)函數(shù)：B＝B（x,y,z,t）（x,y,z,）——歐拉變量速度場：

u＝u(x,y,z,t),v＝v(x,y,z,t),w＝w(x,y,z,t).控制體：將孤立點上的觀察站擴大為一個有適當(dāng)規(guī)模的連續(xù)區(qū)域?？刂企w相對于坐標系固定位置，有任意確定的形狀，不隨時間變化。控制體的表面為控制面，控制面上有流體進出。

三、兩種描述方法之間的聯(lián)系

如果標號參數(shù)為(a,b,c)的流體質(zhì)點，在t時刻正好到達(x,y,z)這個空間點上，則有B＝B(x,y,z,t)＝B(x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t),t)＝B(a,b,c,t)3-2流體運動的幾個基本概念一、物理量的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù)定義：流體質(zhì)點的物理量隨時間的變化率。隨體導(dǎo)數(shù)如速度V和加速度a為21、拉格朗日描述中的隨體導(dǎo)數(shù)V和a在直角坐標系中展開：和以速度在直角坐標系為例：

流體質(zhì)點運動速度在歐拉法中，V＝V

(x,y,z,t),由于位置又是時間t的函數(shù)，所以流速是t的復(fù)合函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度：

寫成分量形式

2、歐拉描述中隨體導(dǎo)數(shù)用哈密頓算子表示：局部（當(dāng)?shù)兀┘铀俣龋和豢臻g點上流體速度隨時間的變化率。定常流動該項為0。遷移（位變）加速度：同一時刻由于不同空間點的流體速度差異而產(chǎn)生的速度變化率。均勻流場該項為0。對于任一物理量B：局部（當(dāng)?shù)兀?dǎo)數(shù)，表示流場的非定常性。遷移（位變）導(dǎo)數(shù)，表示流場的均勻性。質(zhì)點導(dǎo)數(shù)例題：解：二、定常流與非定常流（或恒定流與非恒定流）三、均勻流與非均勻流四、一元流、二元流與三元流按流體運動要素所含空間坐標變量的個數(shù)分：

（1）一元流

一元流(one-dimensionalflow):流體在一個方向流動最為顯著，其余兩個方向的流動可忽略不計，即流動流體的運動要素是一個空間坐標的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實際液體運動要素的斷面平均值，則運動要素只是曲線坐標s的函數(shù)，這種流動屬于一元流動。（2）二元流

二元流(two-dimensionalflow):流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向的流動可忽略不計，即流動流體的運動要素是二個空間坐標（不限于直角坐標）函數(shù)。（3）三元流

三元流（three-dimensionalflow):流動流體的運動要素是三個空間坐標函數(shù)。五、跡線與流線

跡線流體質(zhì)點在流場中的運動軌跡線。是拉格朗日法描述流體運動的基礎(chǔ)。1、跡線

流線是流場中這樣一條曲線，曲線上任一點的切線方向與該點的流速方向重合。流線是歐拉法描述流體運動的基礎(chǔ)。圖為流線譜中顯示的流線形狀。

2、流線

流線的作法：

在流場中任取一點，繪出某時刻通過該點的流體質(zhì)點的流速矢量u1，再畫出距1點很近的2點在同一時刻通過該處的流體質(zhì)點的流速矢量u2…，如此繼續(xù)下去，得一折線1234…，若各點無限接近，其極限就是某時刻的流線。流線方程:

設(shè)dr為流線上A處的一微元弧長矢量:

V為流體質(zhì)點在A點的流速:根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：

展開后得到：——流線微分方程

dr流線的性質(zhì)：在某一時刻，過某一空間點只有一條流線。流線不能相交，不能突然轉(zhuǎn)折。三種例外：

對于非定常流動，流線具有瞬時性。一般情況下，流線跡線不重合。定常流動中流線形狀不隨時間變化，而且流體質(zhì)點的跡線和流線重合駐點相切點奇點脈線在一段時間內(nèi)，會有不同的流體質(zhì)點相繼經(jīng)過同一空間固定點，在某一瞬時將這些質(zhì)點所處的位置點光滑連接而成的曲線。

流線、跡線和脈線是本質(zhì)不同的三種描述流體運動的線，定常時互相重合。六、流管與流束流面

在流場中作一條任意的空間曲線L（非流線），過此曲線的每一點作流線，這些無數(shù)密集的流線所構(gòu)成的曲面。性質(zhì)：（與流線相似）（1）在某一時刻，過一條曲線只有一個流面；（2）非定常時，流面形狀隨時間變化；（3）流體不能穿越流面。流管與流束流管定義

流管性質(zhì)：（1）不能相交；（2）形狀和位置在非定常時隨時間變化；（3）不能在流場內(nèi)部中斷，只能始于或終于流場的邊界。如物面，自由面等。流束除了有流管的性質(zhì)以外，還具有：（1）截面上的速度處處相等；（2）微小截面看成是平面。流束定義：截面面積很小的流管，微元流管。流束的極限是流線。流管截面：以L為周界可以作很多的面，可以是平面或曲面。有效截面（過流斷面）：截面上的流速方向處處與該面垂直緩變流動：如果微小流束（流線）間的夾角及流束的曲率都非常小，這種流動稱為緩變流動。反之急變流。緩變流的過流斷面可看作是平面。急變流的過流斷面是曲面緩變流七、流量、凈通量1、流量

單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體量。體積流量qv或Q表示，質(zhì)量流量qm。體積流量（m3/s）：

質(zhì)量流量（kg/s）：

如果dA不是過流斷面，而是與微元流束相交的任意斷面，則體積流量（m3/s）：

質(zhì)量流量（kg/s）：2、凈通量流過全部封閉控制面A的流量稱為凈流量，或凈通量。八、過流斷面上的平均速度與動能動量修正系數(shù)

1、斷面平均速度

過流斷面上各點的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流速，稱斷面平均流速。2、動能及動能修正系數(shù)動能（kineticenergy）：是指物體由于機械運動而具有的能量。單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體動能是：

動能修正系數(shù)——是實際動能與按斷面平均流速計算的動能的比值。

注意：動能修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植?，分布越均勻，α值越小，越接近?.0。層流流速分布湍流流速分布2、動量及動量修正系數(shù)動量（momentum)是物體運動的一種量度，是描述物體機械運動狀態(tài)的一個重要物理量。

單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體動量是：

動量修正系數(shù)——是實際動量與按斷面平均流速計算的動量的比值。動量修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝娴牧魉俜植?，分布越均勻，β值越小，越接近?.0。

斷面流速分布動能修正系數(shù)動量修正系數(shù)圓管層流旋轉(zhuǎn)拋物面

=2.0β=4/3圓管紊流對數(shù)規(guī)律=1.05~1.1β=1.02~1.05層流流速分布湍流流速分布§3-3連續(xù)方程式一、基本原理

特例

特例1定常流動則特例2不可壓縮流動為常數(shù)則流管流動的連續(xù)性方程的應(yīng)用：恒定流動時：對于不可壓縮流體，則連續(xù)性方程的積分形式：由奧－高公式根據(jù)控制體與時間的無關(guān)性直角坐標系下連續(xù)性方程的微分形式即想一想：恒定、不可壓情況下，連續(xù)性方程的微分形式。二、連續(xù)性方程的微分形式

§3-4流體微團的運動分析一、流體與剛體比較

剛體的運動是由平移和繞某瞬時軸的轉(zhuǎn)動兩部分組成。流體質(zhì)點的運動，一般除了平移、轉(zhuǎn)動外，還要發(fā)生變形（角變形和線變形）。二、流體微元的速度分解

A(x,y,z)點速度為vx,vy,vz，則C點的速度為：三、有旋流和無旋流

根據(jù)流體微團是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)，可分為有旋流和無旋流。1.定義：有旋流（vortex）：亦稱“渦流”。流體質(zhì)點（微團）在運動中不僅發(fā)生平動（或形變），而且繞著自身的瞬時軸線作旋轉(zhuǎn)運動。如旋風(fēng)即為空氣的渦流。當(dāng)流體速度變化較大，由于流體粘滯阻力、壓強不均勻等因素的影響，就容易形成渦流。

無旋流（potentialflow）亦稱“勢流”、“有勢流”。流體在運動中，它的微小單元只有平動或變形，但不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動，即流體質(zhì)點不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)動。注意：無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點本身是否旋轉(zhuǎn)，而與運動軌跡無關(guān)。

2.有旋流和無旋流的特性

（1）若wx=wy=wz=0，即

則流動為無旋流，否則，為有旋流。有旋流（渦流）——wx、wy、wz中任一個或全部不等于零的流體運動，繞自身軸有旋轉(zhuǎn)的運動。（與通常的旋轉(zhuǎn)不同）流場內(nèi)流體質(zhì)點具有繞質(zhì)點自身任意軸的角速度。（2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一個矢量，所以可如同用流線描述流動一樣，可用渦線描述流動的旋轉(zhuǎn)變化。

渦線——在同一瞬時線上各質(zhì)點的轉(zhuǎn)速矢量都與該曲線相切。

無旋流一般存在于無粘性理想流體中。

有旋流一般存在于有粘性實際流體中。例題

已知流體流動的流速場為，判斷該流動是無旋流還是有旋流？解：

故液體流動是無旋流。§3-5實際流體的運動微分方程式一、作用在流體微元上的應(yīng)力

應(yīng)力矩陣二、本構(gòu)方程

確定應(yīng)力與應(yīng)變的方程式叫本構(gòu)方程。其中p：在平衡流體，代表一點上的流體靜壓強；在理想流體，代表一點上的流體動壓強；在不可壓實際流體，代表一點上的流體動壓強的算術(shù)平均值。三、納維－斯托克斯方程式

不可壓實際流體的運動方程式——N-S方程想一想理想流體、靜止情況下的方程?！?-6伯努利方程式及其應(yīng)用一、流線上的伯努利方程式

假設(shè)單位質(zhì)量的流體質(zhì)點某瞬時的速度為v＝vxi+vyj+vzk，經(jīng)dt時間，質(zhì)點沿流線移動一段微小距離ds＝dxi+dyj+dzk＝vxdti+vydtj+vzdt

k，為求出單位質(zhì)量流體移動ds距離與外力作功的能量關(guān)系，將ds的三個投影分別與N-S方程的三個式子相乘，然后相加，得下面分別對式中的四類項進行簡化質(zhì)量力項，假設(shè)質(zhì)量力有勢

壓強項

粘性摩擦力項

導(dǎo)數(shù)項將結(jié)果代回原式，則可得則——適用范圍：非定常、質(zhì)量力有勢?！m用范圍：定常、質(zhì)量力有勢?！m用范圍：定常、重力場、不可壓流體?！m用范圍：理想、定常、重力場、不可壓流體。那么，實際流體在定常、重力場、不可壓條件下，在流線上任意兩點間可列出伯努利方程為：理想流體在相同條件下，在流線上任意兩點間的伯努利方程為：二、粘性總流的伯努利方程式

粘性流體在定常、重力場、不可壓條件下，在流線上任意兩點間可列出伯努利方程為其中用代替，則在實際工程中，我們遇到的往往是過流斷面具有有限大小的流動，我們稱它們?yōu)榭偭?。因此我們?yīng)將沿流線的伯努利方程推廣到沿總流上去。將上式乘以gdqv，然后對整個總流斷面積分，這樣就獲得總流的能量關(guān)系式1)為單位時間內(nèi)通過斷面A的勢能總和。

假設(shè)兩個過流斷面上的流動為緩變流動,在緩變流動情況下，過流斷面可以近似地認為是一個平面。由于過流斷面是與流線上的速度方向成正交的斷面，故而在過流斷面上沒有任何速度分量。如果令x軸與過流斷面相垂直,如圖，則

N-S方程的第2及第3式與流體靜力學(xué)地平衡方程相同，這說明在緩變流時，yz斷面上各點保持流體靜力學(xué)地規(guī)律，即

2)為單位時間內(nèi)通過斷面A的動能總和。

斷面上速度v是變量，如果用平均流速代替，則

3）為單位時間內(nèi)流體克服摩擦阻力作功而消耗的機械能。該項不易通過積分確定，可令

hf表示總流中單位重量流體從斷面1-1到2-2平均消耗的能量。則1-1到2-2的伯努利方程為即總流能量方程（即伯努利方程）在推導(dǎo)過程中的限制條件（1）恒定流；

（2）不可壓縮流體；（3）質(zhì)量力只有重力；（4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過流斷面間可以是急變流。

（5）總流的流量沿程不變。

（6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。

（7）式中各項均為單位重量流體的平均能（比能），對流體總重的能量方程應(yīng)各項乘以ρgqv，三、伯努利方程式的應(yīng)用

1.皮托管速度滯止圖皮托管因為z1=z2，v2=0，這里流場為均勻，點1至2hf

0，所以靜壓強動壓強滯止壓強皮托管與測壓管聯(lián)合使用

由于皮托管結(jié)構(gòu)會引起液流擾亂和微小阻力，故精確計算還要對速度公式加以修正Cv為流速系數(shù)，一般條件下為0.97~0.99皮托－靜壓管2.節(jié)流式流量計工作原理：在管道中安裝一個過流斷面略小的節(jié)流元件，使流體流過時，速度增大、壓強降低。利用節(jié)流元件前后的壓強差來測定流量的儀器稱作節(jié)流式流量計。節(jié)流式流量計有孔板、噴嘴和圓錐式（又叫文丘利）三種類型。因為z1=z2，如果暫不計能量損失ghf，且1與2均接近于1，所以設(shè)孔板的斷面為A，該處的速度為v，由連續(xù)性方程可得代入伯努利方程：于是理論流量為：流量系數(shù)Cq可達0.98。實際流量qv小于理論流量qT，我們用下列通用形式來表示流量

——Cq為流量系數(shù)，對銳緣的孔板流量計約為0.6~0.62補充、沿程有能量輸入或輸出的伯努利方程

沿總流兩斷面間裝有水泵、風(fēng)機或水輪機等裝置，流體流經(jīng)水泵或風(fēng)機時將獲得能量，而流經(jīng)水輪機時將失去能量。設(shè)單位重量液體所增加或減少的能量用H來表示，則總流的伯努利方程為

上式中，H前面的正負號，獲得能量為正，失去能量為負。對于水泵，H為揚程。

水池通過泵將水送至水塔。列出水池液面（1-1斷面）至水塔液面（2-2斷面）的伯努利方程，因為液面敞開在大氣中，液面上流速v1和v2近似于0，所以泵在單位時間內(nèi)對通過的液體所作的功叫做泵的有效功率或輸出功率，用NT表示，公式為因為泵內(nèi)的能量損失，泵的輸入功率N要大于輸出功率NT，輸出功率與輸入功率之比為泵的效率§3-7動量方程式及其應(yīng)用一、用歐拉法表示的方程式

關(guān)于質(zhì)點系動量定理：IIIIIItt＋tt時刻：質(zhì)點系的動量[Msys]t，控制體的動量[Mcv]t經(jīng)t時間，在t＋t時刻：質(zhì)點系的動量[Msys]t＋t

，控制體的動量[Mcv]t＋t

經(jīng)t時間，質(zhì)點系的動量變化：

Msys＝[Msys]t＋t

－[Msys]t其中，[Msys]t＋t

＝II+III＝(I+II)-I＋III＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]i＋[Mcv]o經(jīng)t時間流入控制體的流體動量經(jīng)t時間流出控制體的流體動量所以，Msys＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]t－[Mcv]i＋[Mcv]o

＝Mcv－[Mcv]i＋[Mcv]o

Mcv=－[Mcv]i＋[Mcv]o=即——歐拉方法表示的動量方程式作用在控制體內(nèi)質(zhì)點系上的所有外力的矢量和。是控制體內(nèi)流體動量對時間的變化率，定常流動時為0。單位時間內(nèi)控制體流出動量與流入動量之差。定常、不可壓、一元流的情況：虛線所圍的區(qū)域為控制體，過流斷面上的平均速度為v1，v2，由動量方程為：在三個坐標軸上的投影式為注意：方程式的受力對象；外力與速度的方向；控制體流出、流入動量的符號。二、動量方程式的應(yīng)用

1.流體對管道的作用力已知1、2、A1、A2、p1、p2、v1、v2求密度為、流量為qv的流體對彎管的作用力FRx和FRy第一步：取控制體第二步：分析流體質(zhì)點系受到的外力，忽略重力－FRx、－FRy、p1A1、