2023年二項式定理知識點總結(jié)

二項式定理.一、二項式定理:（)等號右邊的多項式叫做的二項展開式,其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)。對二項式定理的理解：二項展開式有項字母按降冪排列,從第一項開始，次數(shù)由逐項減1到0；字母按升冪排列,從第一項開始,次數(shù)由0逐項加１到二項式定理表達(dá)一個恒等式，對于任意的實數(shù),等式都成立，通過對取不同的特殊值,可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)，則(）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式展開,得到一個多項式；另一方面,也可將展開式合并成二項式二、二項展開式的通項：v二項展開式的通項是二項展開式的第項,它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對通項的理解：字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同與的次數(shù)之和為在通項公式中共具有這5個元素,知道4個元素便可求第５個元素例1.等于(）Ａ．B。C。D．例2.(1)求的展開式的第四項的系數(shù)(２）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)三、二項展開式系數(shù)的性質(zhì)：①對稱性：在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等,即②增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減,且在中間取得最大值。假如二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大,即偶數(shù)：;假如二項式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，即③二項展開式的各項二項數(shù)的和等于,令,即;④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等,令,即例題:寫出的展開式中:二項式系數(shù)最大的項；項的系數(shù)絕對值最大的項；項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項;二項式系數(shù)的和;各項系數(shù)的和多項式的展開式及展開式中的特定項求多項式的展開式,可以把其中幾項結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項式，再運(yùn)用二項式定理展開。例題:求多項式的展開式求二項式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項,可以先寫出各個二項式的通項再分析。例題：求的展開式中的系數(shù)例題：(1)假如在的展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。（2）求的展開式的常數(shù)項。【思維點撥】求展開式中某一特定的項的問題時,常用通項公式,用待定系數(shù)法擬定五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值,賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特性來定例題：已知,求。:(1）；(2）;(3)．六、二項式定理的應(yīng)用:1、二項式定理還應(yīng)用與以下幾方面：（1)進(jìn)行近似計算(2)證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關(guān)的等式和不等式。如證明:取的展開式中的四項即可。２、各種問題的常用解決方法(1)近似計算的解決方法當(dāng)n不是很大，｜|比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。例題：的計算結(jié)果精確到０．0１的近似值是??(）A.1.２３ B.1．２４?C.１．3３ D.1.３4整除性問題或求余數(shù)的解決方法①解決這類問題,必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式②用二項式定理解決整除問題,通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)的和或差的形式,再運(yùn)用二項式定理展開,這里的通常為1,若為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)再次構(gòu)造和或差的形式再展開，只考慮后面(或者是某項)一、二項就可以了③要注意余數(shù)的范圍,對給定的整數(shù),有擬定的一對整數(shù)和,滿足,其中為除數(shù)，為余數(shù)，，運(yùn)用二項式定理展開變形后,若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題：求除以7所得的余數(shù)例題：若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是(）Ａ．0B。2Ｃ。7D．8例題:當(dāng)且＞１,求證【思維點撥】這類是二項式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分，共6０分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目規(guī)定的.1．在的展開式中,的系數(shù)為 ?()A.?B．?Ｃ．?D．2.已知，的展開式按a的降冪排列，其中第n項與第n+1項相等,那么正整數(shù)ｎ等于 ? （)?Ａ．4?B．9?Ｃ．1０ Ｄ．１１3.已知（的展開式的第三項與第二項的系數(shù)的比為11∶2，則ｎ是?（)A.１0 Ｂ．11?C．１2?D．134．5310被8除的余數(shù)是?? （)?A．1 B.2 C.3?Ｄ．75．(1.０５)6的計算結(jié)果精確到0．0１的近似值是 ?()A.1.23 Ｂ．１．２4 Ｃ.１．3３ D.1.346.二項式（nN)的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項的項數(shù)是 ??()A.1?Ｂ.2 C．3?D.47.設(shè)（3x+x）展開式的各項系數(shù)之和為ｔ,其二項式系數(shù)之和為h，若t+h=272,則展開式的x項的系數(shù)是 ?（)Ａ． B．1 C．2?Ｄ．38.在的展開式中的系數(shù)為 ?（）A．4?B.5?C．6?D．７９．展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024，則所有項的系數(shù)中最大的值是 ? ?(） A.330?Ｂ．462?C.68０?D．79０1０.的展開式中，的系數(shù)為? ()A．－４0?B.10?Ｃ.4０ D.4５1１.二項式(1+sinx)n的展開式中,末尾兩項的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項的值為，則x在[0，2π］內(nèi)的值為?? （）?A.或 B.或 C.或 D．或１2.在(１＋ｘ)５+(1+x)６＋(１＋x)７的展開式中，含ｘ４項的系數(shù)是等差數(shù)列an＝３ｎ-5的?()A.第2項 B．第1１項 Ｃ．第2０項 D．第24項二、填空題:本大題滿分１6分,每小題4分，各題只規(guī)定直接寫出結(jié)果.13.展開式中的系數(shù)是.14．若,則的值為_______＿＿_(dá).１5.若的展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是

.１6.對于二項式（１-x),有下列四個命題: ①展開式中Ｔ=－Cx; ②展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；?③展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第１001項; ④當(dāng)ｘ=2023時,(１-x)除以２023的余數(shù)是1． 其中對的命題的序號是＿_(dá)____＿_(dá)__．（把你認(rèn)為對的的命題序號都填上)三、解答題：本大題滿分74分.17.（12分)若展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．求n的值；(２)此展開式中是否有常數(shù)項,為什么?１8．(1２分)已知()ｎ的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37，求展式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù).19.(１２分)是否存在等差數(shù)列,使對任意都成立?若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由. 20.（１２分)某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃2023后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增長２2%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。假如人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝)?21.（12分）設(shè)f(x)=(1+x)ｍ+(１+x)n(m、n),若其展開式中，關(guān)于ｘ的一次項系數(shù)為11,試問:m、ｎ取何值時，f(ｘ)的展開式中含ｘ2項的系數(shù)取