統(tǒng)-計(jì)-學(xué)第五章(平均指標(biāo))

平均指標(biāo)按計(jì)算方法分類

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)

幾何平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)二、平均指標(biāo)的計(jì)算與應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)基本含義兩種算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式兩種算術(shù)平均數(shù)的適用條件加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的影響因素分析數(shù)學(xué)性質(zhì)基本形式：例：※它表明平均每一個(gè)單位所分擔(dān)的標(biāo)記值是多少。（一）算術(shù)平均數(shù)【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）1011121314計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800狀況1狀況2適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的狀況式中：為算術(shù)平均數(shù);為總體單位總數(shù)；為第個(gè)單位的標(biāo)志值。A.簡(jiǎn)潔算術(shù)平均數(shù)平均每人日銷售額為：簡(jiǎn)潔算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算實(shí)例某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算實(shí)例——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的狀況式中：為算術(shù)平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。B.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)解：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的實(shí)例分析若上述資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計(jì)算；此時(shí)求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明分析：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的影響因素分析各組權(quán)數(shù)各組變量值丙班乙班甲班203911002013960人數(shù)（人）f成績(jī)（分）x404040合計(jì)思索題:依據(jù)下例,分析說明算術(shù)平均數(shù)的影響因素809961平均成果（分）丙班乙班甲班203911002013960人數(shù)（人）f成績(jī)（分）x思索題:依據(jù)下例,分析說明算術(shù)平均數(shù)的影響因素表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法歸納變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)（頻率），反映了各組的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響程度。權(quán)數(shù)絕對(duì)權(quán)數(shù)相對(duì)權(quán)數(shù)比重權(quán)數(shù)丁班f甲班f1/401×239/4039×260思索題:依據(jù)下例,分析權(quán)數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響110039人數(shù)（人）成績(jī)（分）x100%40×240合計(jì)60算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)1即：或算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)記值個(gè)數(shù)的乘積等于?算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)記值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)記值的總和。算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)2變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和恒等于零。即：或算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)3變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小。即：或離差的概念12345678-1-1-213幾何平均數(shù)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)幾何平均數(shù)基本含義及公式適用條件是n項(xiàng)變量值連乘積的開n次方根幾何平均數(shù)用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：（三）幾何平均數(shù)A.簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)式中：為幾何平均數(shù);為變量值的個(gè)數(shù)；為第個(gè)變量值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某流水生產(chǎn)線有前后連接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)經(jīng)過第一道工序生產(chǎn)出A個(gè)單位，則第一道工序的合格品為A×0.95；其次道工序的合格品為（A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品為（A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需接受幾何平均法計(jì)算。求解平均合格率B.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于各變量值出現(xiàn)的次數(shù)不同的情況式中：為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率前4年為3﹪，下2年為5﹪，下2年為8﹪，下3年為10﹪，最終1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年的計(jì)息基礎(chǔ)則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)接受幾何平均法。解：思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需依據(jù)求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂所以，應(yīng)接受加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：解：（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為6.85﹪）指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)（四）眾數(shù)日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:眾數(shù)的確定（對(duì)品質(zhì)數(shù)列或單項(xiàng)數(shù)列）計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)的確定（等距數(shù)列）【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)的不唯一性無眾數(shù)

一個(gè)眾數(shù)

多于一個(gè)眾數(shù)

當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢(shì)，且有顯著的極端值時(shí)，適合運(yùn)用眾數(shù)；眾數(shù)的原理及應(yīng)用當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示中位數(shù)（五）中位數(shù)中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)記值的算術(shù)平均數(shù)，即【例B】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）【例C】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：中位數(shù)的確定（單項(xiàng)數(shù)列）中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例D】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的主要性質(zhì)1.具有惟一性。同均值一樣一組數(shù)據(jù)只有一個(gè)中位數(shù)。2.不受極端值影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)極端值時(shí)它適于作為集中趨勢(shì)的測(cè)度指標(biāo)。(六)算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系右偏(正偏)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受極大值的影響，有：左偏(負(fù)偏)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)受微小值的影響，有：對(duì)稱鐘型分布：非對(duì)稱鐘型分布：三者通常不等，其差別取決于偏斜的方向和程度。眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系

(圖示)左偏分布均值

<中位數(shù)<

眾數(shù)對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)眾數(shù)右偏分布

<中位數(shù)<均