高中數學正方形與對稱、旋轉練習題（含答案）

幾何復習——正方形當我們學習完了全等、勾股、相似，平移、對稱、旋轉，如果還想再加點料的話，不妨看看正方形．正方形是一種既簡單又復雜的圖形，其圖形本身很基本、簡單，因而在此基礎上可以作很多復雜的變形與構造，我們所知的幾何內容，一個都不缺．本專題以近兩年中考題為例，簡單了解關于正方形在中考題中的應用．一、正方形與對稱正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，關于對稱可以考察對稱的基本性質，也可以有關于構造對稱，而涉及到計算的，無非就是勾股或者三角函數．（2019·蘭州）如圖，邊長為的正方形的對角線與交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則A． B． C． D．【分析】由題意可得：DF⊥EC，易證△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．故選D．【長度的計算——勾股定理】（2019·青島）如圖，在正方形紙片中，是的中點，將正方形紙片折疊，點落在線段上的點處，折痕為．若AD=4，則的長為．【分析】∵E點是CD中點，∴，∴，由折疊可知AG=AB=4，∴，設CF=x，則，，在Rt△EFG中，，在Rt△CEF中，，∴，解得：．∴CF的長為．【對稱性質——對稱點連線被對稱軸垂直且平分】（2019·天津）如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接、折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經過點，得到折痕，點在上，若，則的長為．【分析】易證△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，記AE與BF交點為H，，又，∴，，∴．故GE的長為．

（2019·上海）如圖，在正方形中，是邊的中點．將沿直線翻折，點落在點處，聯結，那么的正切值是．【分析】如圖，點F如圖所示，連接BF、DF、EF、AF，記AF與BE交點為H，由對稱可知AF⊥BE，點H是AF中點，又點E是AD中點，∴EH是△DF邊所對的中位線，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，∴tan∠EDF=tan∠AEB=2．【構造對稱——將軍飲馬問題】（2019·陜西）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且．為對角線上一點，則的最大值為．【分析】作點M關于BD的對稱點，根據對稱性可知在AB上且，連接，則，∴，當、N、P共線時，此時，取到最大值．∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，∴，故PM-PN的最大值為2．（2019·安徽）如圖，在正方形中，點，將對角線三等分，且，點在正方形的邊上，則滿足的點的個數是A．0 B．4 C．6 D．8【分析】可以先考慮一邊上點P的數量，再由對稱性得所有點P的個數．考慮在AD上任取一點P，所得PE+PF的最小值和最大值．先求PE+PF最小值：作點E關于直線AD的對稱點，連接、，則PE+PF=，當、P、F共線時，取到最小值，此時，顯然>9，∴在AD上存在兩個點P使得PE+PF=9，在正方形的邊上有8個這樣的點P，故本題選D．

二、正方形與旋轉關于旋轉，關注點在于①繞哪個點旋轉；②是否是特殊角度．對于正方形，可繞其中一頂點旋轉，可繞對角線交點旋轉，大致如下：（1）繞頂點旋轉的手拉手模型（2）繞O點的等腰直角共點旋轉（2017·南充）如圖，正方形和正方形邊長分別為和，正方形繞點旋轉，給出下列結論：①；②；③，其中正確結論是（填序號）【分析】①②顯然正確，下分析③：連接BD、EG，，記BE、DG交點為H點，，，，，∴，∴．故正確的結論有①②③．（2019·東營）如圖，在正方形中，點是對角線、的交點，過點作射線、分別交、于點、，且，、交于點．給出下列結論：①；②；③四邊形的面積為正方形面積的；④．其中正確的是A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④【分析】易證△COE≌△DOF，故結論①正確；∠EOF=∠ECF=90°，∴O、E、C、F四點共圓，∴∠COE=∠CFE，又∠OGE=∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故結論②正確；∵△OEC≌△OFD，∴，故結論③正確；易證△OGE∽△OEC，∴，∴，∵，∴，故結論④錯誤．綜上，選B．

（2019·葫蘆島）如圖，點是正方形的對角線延長線上的一點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于點，則下列結論中：①；②；③；④．正確的是（填寫所有正確結論的序號）【分析】（1）過點P分別作PM⊥BA、PN⊥BE，交BA延長線于點M，交BE邊于點N，易證△PMA≌△PNE，∴PA=PE．故結論①正確．（2）過點P作PG⊥BP交AD延長線于點G，易證△PDG是等腰直角三角形，PD=PG，連接GE，易證△PDA≌△PGE，∴∠PGE=∠PDA=135°，∴∠DGE=90°，∴四邊形CDGE是矩形，∴CF=DG，∵，∴．（3）考慮到BF與PD無法直接相減，可轉化線段．∵，，，∴，∴．故結論③正確．（4）易證△PDA≌△PGE，顯然，∴，故結論④錯誤．綜上所述，正確的結論有①②③．若已知旋轉，尋找其中的全等或相似即可，而構造旋轉，往往更考驗對圖形構造及旋轉的理解．關于正方形的共點旋轉，有如下結論：在正方形ABCD中，點P是正方形內一點，若滿足∠APD=135°，則有．反之，若，則∠APD=135°．（在旋轉章節(jié)中有過介紹）（2018·煙臺）【問題解決】一節(jié)數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點是正方形內一點，，，．你能求出的度數嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點逆時針旋轉，得到△，連接，求出的度數；思路二：將△APB繞點順時針旋轉，得到△，連接，求出的度數．請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．【類比探究】如圖2，若點是正方形外一點，，，，求的度數．【分析】（1）思路1：如圖，是等腰直角三角形，∴，，又AP=1，，∴是直角三角形，∴=90°，∴，思路2：類似．（2）過點B作⊥BP，且滿足，連接、，易證≌，即相當于將△CBP繞點B逆時針旋轉90°，，，又AB=3，故是直角三角形，∴，在等腰直角中，，∴∠APB=45°．

（2018·襄陽）如圖（1），已知點在正方形的對角線上，，垂足為點，，垂足為點．（1）證明與推斷：①求證：四邊形是正方形；②推斷：的值為（2）探究與證明：將正方形繞點順時針方向旋轉角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由；（3）拓展與運用：正方形在旋轉過程中，當，，三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長交于點．若，，則．

【分析】（1）①∵∠GFC=∠GEC=∠ECF=90°，∴四邊形CEGF是矩形，又CG平分∠ECF，∴GF=GE，∴矩形ECFG是正方形．②過點G作GH⊥AB交AB于點H，則GH=EB，，∴．（2）連接CG，易證△CEB∽△CGA，∴．（3）過點H分別作HM、HN垂直AG、AC，M、N是垂足，∵，∴，又AG=6，∴AM=4，，∴tan∠AHM=2，∵∠AHN=45°，∴，∴∠CHN=∠AHM，∴tan∠CHN=2，∴，，∴．

三、反相似手拉手模型在上一個例題中不難得出這樣一個圖形：若連接兩個正方形的對角線，則會有一組旋轉型相似，這里其實利用的是等腰直角三角形直角邊與斜邊的比例關系，可將圖形簡化如下：連接起對角線，轉化成等腰直角三角形，則還另有結論．如圖，正方形ABCD與正方形CEFG共頂點C，連接CA、CF，取AF中點M．連接ME、MD，則有：MD=ME，ME⊥ME．連接MB、MG，則有：MB=MG，MB⊥MG．

在說這個證明之前，我們要說說一個模型：反相似手拉手模型（蘇州學而思徐杰老師取名）手拉手模型：四線共點、兩兩相等、夾角相等，即可構成一組旋轉型全等，稱之為手拉手模型．如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，即可得：△ABD≌△ACE．手拉手相似：改變全等的條件，即線段由相等變?yōu)槌杀壤?，AB:AC=AD:AE，∠BAC=∠DAE，即可構成手拉手相似．當△ABC和△ADE為直角三角形，且∠BAC=∠DAE，可得△ABE∽△ACE．反相似手拉手：將其中一個三角形“反”過來，故稱反相似手拉手．特別地，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，則有FC=FE，FC⊥FE．

【例題】在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊分別向外側作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F為BC邊中點，連接DF、EF，求證：DF=EF，DF⊥EF．法1（構造斜邊中線與中位線）：分別取AB、AC邊中點M、N，連接MD、MF、NF、NE，∵M點為AB中點，∴，∵N、F分別為AC和BC中點，∴，∴MD=NF．同理可證：MF=NE，∵MF∥AC，NF∥AB，∴∠BMF=∠BAC=∠CNF，∴∠DMF=90°+∠BMF=90°+∠CNF=∠FNE，在△DMF和△FNE中，∴△DMF≌△FNE（SAS）∴DF=EF．∵∠MDF+∠BMF+∠DFM=90°，∴∠DFM+∠MFN+∠NFE=90°，即∠DFE=90°．∴DF=EF且DF⊥EF．

法2（將反相似手拉手補充成手拉手全等模型）：作AM⊥AB交BD的延長線于M點，作AN⊥AC交CE的延長線于N點，連接CM、BN，由題意得：△ABM和△CAN均為等腰直角三角形，AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN=90°，∴∠MAC=∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC=∠BAN在△AMC和△ABN中，∴△AMC≌△ABN（SAS）∴MC=BN∴，即DF=EF．又MC⊥BN，∴DF⊥EF．

法3（倍長中線）：延長DF至點G使得FG=FD，連接CG、EG．易證△DFB≌△GFC，易證△EAD≌△ECG（SAS），∴DE=GE，DE⊥GE，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DF=EF，DF⊥EF．法4（構造三垂直模型）：分別過點A、B、C向線段DE作垂線，垂足分別記為H、M、N，作DE中點G，連接FG．易證：△AHD≌△DMB，△AHE≌△ENC，可得DM=AH=EN，BM=DH，CN=EH，∴G是MN中點，又F是BC中點∴FG是梯形BCNM的中位線，∴FG∥BM∥CN，∴FG⊥MN，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=EF，DF⊥EF．

（2019·朝陽）如圖，四邊形是正方形，連接，將繞點逆時針旋轉得，連接，為的中點，連接，．（1）如圖1，當時，請直接寫出與的關系（不用證明）．（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．（3）當時，若，請直接寫出點經過的路徑長．

【分析】（1）OE=OD，OE⊥OD．∵點O為CF中點，∴，，∴OE=OD．又∵AC=AF，∠CAF=45°，∴∠ACF=∠AFC=67.5°，∴∠COE=45°，∠DOF=45°，∴∠DOE=90°，∴OE⊥OD．（2）分別取AC、CF中點M、N，連接OM、DM、ON、EN，易證△OMD≌△ENO（SAS），∴OE=OD，∠DOE=∠DOM+∠EOM=∠OEN+∠EOM=90°，∴OE⊥OD．（3）瓜豆原理可解：F點軌跡是以A為圓心，AC為半徑的圓，O點始終為CF中點，取AC中點Q，以點Q為圓心，QC為半徑作圓，即為點O的軌跡．故點O經過的路徑長為．

（2018·十堰）已知正方形與正方形，是的中點，連接，．（1）如圖1，點在上，點在的延長線上，請判斷，的數量關系與位置關系，并直接寫出結論；（2）如圖2，點在的延長線上，點在上，（1）中結論是否仍然成立？請證明你的結論；（3）將圖1中的正方形繞點旋轉，使，，三點在一條直線上，若，，請畫出圖形，并直接寫出的長．

【分析】（1）延長EM交AD于點N，易證△ANM≌△FEM，∴AN=FE，∴DN=DE，∴△DEN是等腰直角三角形，又M點是EN中點，∴MD=ME，MD⊥ME．（2）延長EM交DA延長線于點P，易證△AMP≌△FME，∴AP=EF=CE，∴DP=DE，∴△DPE是等腰直角三角形，又M點是PE中點，∴DE=ME，DM⊥ME．（3）法1