《兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（2）》示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

第七章計(jì)數(shù)原理7.1.2兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，能正確使用兩個(gè)原理解決簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題；2.掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系．教學(xué)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正確選擇加法原理或乘法原理解決問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：綜合使用加法原理和乘法原理解決問(wèn)題.教學(xué)教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，知道了他們回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于分類計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事．事實(shí)上，面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，人們往往通過(guò)分類或分步將它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的計(jì)數(shù)問(wèn)題，在解決這些簡(jiǎn)單問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來(lái)從而得到原問(wèn)題的答案．下面我們就通過(guò)一些具體問(wèn)題來(lái)示例．二、應(yīng)用舉例例1.要給如圖所示的五個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色不相同，則不同的涂色方案一共有多少種？問(wèn)題1：本題中要完成的一件事是什么？答案：用四種顏色給如圖所示的五個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色．問(wèn)題2：你會(huì)如何完成這件事情？答案：因?yàn)閳D中的區(qū)域有相鄰，不相鄰，所以選定一個(gè)區(qū)域開始涂色，根據(jù)其他區(qū)域與開始區(qū)域的相鄰關(guān)系進(jìn)行分類，然后按區(qū)域依次分析求解．解：從區(qū)域A開始考慮，因?yàn)閰^(qū)域A與B、D、E均相鄰，與C不相鄰，所以按A與C顏色的相同和相異分類求解：第一類，A、C同色：第一步，給區(qū)域A涂色，有4種選擇；第二步，給區(qū)域C涂色，有1中選擇；第三步，給區(qū)域B涂色，有3種選擇；第四步，給區(qū)域E涂色，有2種選擇；第五步，給區(qū)域D涂色，有2種選擇．則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有為4×1×3×2×2=48種不同的選擇；第二類，A、C異色：第一步，給區(qū)域A涂色，有4種選擇；第二步，給區(qū)域C涂色，有3種選擇；第三步，給區(qū)域B涂色，有2種選擇；第四步，給區(qū)域E涂色，只有1種選擇；第五步，給區(qū)域D涂色，只有1種選擇．則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有為4×3×2×1×1=24種不同的選擇；綜合以上，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，該圖形的不同涂色方案共有48+24=72種．問(wèn)題3：你還有其他解決這個(gè)問(wèn)題的方法嗎？答案：觀察圖形中的位置，A、C對(duì)角，可以同色，B、D對(duì)角，也可以同色，因?yàn)榭偣仓挥?種顏色，所以A、C和B、D中至少會(huì)有一對(duì)同色，從而可以將這個(gè)問(wèn)題的解決方案分三類：第一類：A、C同色，B、D不同色，此時(shí)先確定A、C的顏色，有4種可能，再依次確定B、E、D的顏色，分別有3，2，1種可能，所以共有4×3×2×1=24種不同的可能；第二類：A、C不同色，B、D同色，方法同第一類，也共有24種不同的可能；第三類：A、C同色，B、D同色，此時(shí)先確定A、C的顏色，有4種可能，再確定B、D的顏色，有3種可能，再確定E的顏色，有2種可能，所以共有4×3×2=24種不同的可能．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，該圖形不同的涂色方案共有24+24+24=72種．例2.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成．（1）1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？問(wèn)題1：說(shuō)一說(shuō)本題目?jī)蓚€(gè)問(wèn)題中分別要完成的一件事是什么？如何完成？答案：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”．由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可．解：（1）用下圖表示1個(gè)字節(jié)．1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.（2）由（1）知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是256×256=65536.這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.例3.通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖所示．其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？問(wèn)題1：該題目中要完成的“一件事情”是什么？答案：“最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌”，意為“滿足上面編碼規(guī)則的不同號(hào)碼牌一共有多少個(gè)”，所以本問(wèn)題要解決的“一件事情”就是：“從10個(gè)數(shù)字和除O，I外的24個(gè)英文字母中選5個(gè)，其中字母至多2個(gè)，再將5個(gè)符號(hào)排序編碼成一個(gè)汽車牌照序號(hào)”，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是“按照規(guī)則生成一個(gè)汽車牌照序號(hào)”．問(wèn)題2：說(shuō)一說(shuō)你會(huì)如何完成這“一件事情”？答案：因?yàn)榫幋a規(guī)則要求字母至多2個(gè)，所以這個(gè)事情可以分三大類來(lái)考慮：①?zèng)]有字母，②有1個(gè)字母，③有2個(gè)字母．在有字母的類中，可以以字母所在的位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，將有1個(gè)字母的序號(hào)分為5類，將有2個(gè)字母的序號(hào)分為10類，依次進(jìn)行分析解決．總的來(lái)說(shuō)就是，先分大類，再分小類，小類中再分步．解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù)．根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母．（1）當(dāng)沒(méi)有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字，確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類．當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24×10×10×10×10=240000.同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1，2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000.同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張．于是，這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000×10=5760000．綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000．三、課堂練習(xí)1.設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?，3，3，4條路，只從一面上山，而從其他任意一面下山，不同的走法可能有多少？解：只從一面上山，而從其他任意一面下山，一共有四類可能：若從東面上山，走法數(shù)量為：2（3+3+4）=20；若從西面上山，走法數(shù)量為：3（2+3+4）=27；若從南面上山，走法數(shù)量為：3（2+3+4）=27；若從北面上山，走法數(shù)量為：4（2+3+3）=32．故只從一面上山，而從其他任意一面下山總的可能走法數(shù)量為20+27+27+32=106．2.用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰面不同色，共有多少種涂法？解：先給底面涂色，有4種涂法，設(shè)4個(gè)側(cè)面為A、B、C、D，然后給A面涂色，有3種；給B面涂色，有2種；給C面，若C與A相同色，則D面可以涂2種；若C與A不同色，則D面可以涂1種，所以總的涂色方法有4×3×2×（2+1）=72種．四、梳理小結(jié)問(wèn)題：回顧用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的過(guò)程，嘗試說(shuō)一說(shuō)其中的要點(diǎn)都有哪些？答案：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩