小學(xué)奧數(shù)講義5年級(jí)-整除問(wèn)題-難版

第8整除問(wèn)題知梳1.整除一般地，如a、、為整數(shù)，≠，且÷b=c即整數(shù)a除以除b（不于0），除得的商正好整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說(shuō)余數(shù)是0，我們就說(shuō)a能被b整（或者說(shuō)b能除a），記作b｜2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都被c整，那么它們的和與差也能被c整除。性質(zhì)2：如果b與c的能整除a，那么bc都能整除a.性質(zhì)3：如果b、c都整除a，和互質(zhì)那么與積能整除a。性質(zhì)4：如果c能除b，能除，那么整除。3.數(shù)的整除特征①能被2整的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是、、4、6、整.“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括）的整數(shù)，必能被除；另一方面，能被2整的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括）下面“特征”含義相似。②能被5整的數(shù)的特征：個(gè)位是0或。③能被3（或9）整除的數(shù)的特：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3或9）整除。④能被4（或25）整除的數(shù)的特：末兩位數(shù)能被4或25）除⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125整除。⑥能被11整除數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的數(shù)。⑦能被7（11或）除的數(shù)特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?11或13整除。

典例【1★斷123456789九數(shù)否11整除？【解析個(gè)奇數(shù)位上的數(shù)字和是＋＋531=25偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋＋＋＝因25—20＝5，又因115，所以11123456789?！驹嚨杜?3574是是11的倍？【解析】這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是＋＋（＋）0.因?yàn)?是何整數(shù)的倍數(shù)，所以｜0.此13574的倍。【2★老師學(xué)一買28支價(jià)相的筆共人幣eq\o\ac(□,9)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,.2)元已eq\o\ac(□,知)數(shù)相，問(wèn)支筆少？【解析】∵eq\o\ac(□,9)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,.2)元=eq\o\ac(□,9)□28＝4×，∴根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知4和7均整除9□eq\o\ac(□,2)4｜□可知□處能填0或4或8因?yàn)?9020，9424，所以處不能填0和4因?yàn)?｜9828，叫□處應(yīng)該填8。又∵分98.28元98.28÷28＝（）【試刀一馬的購(gòu)買72只，衣將貨票爛了只依看：只，□67eq\o\ac(□,9)元□的數(shù)洗了請(qǐng)幫算算他共了多錢【解析】將eq\o\ac(□,67)eq\o\ac(□,)．eq\o\ac(□,9)看做□□分，這是72只的總價(jià)，因?yàn)閱蝺r(jià)72=□679□所以□679□能被整除?！?，所以679□應(yīng)該能被8和9整除如果□679□被8整，那么的末三位一定能被除，即8|79□，容易算eq\o\ac(□,出)是2。因?yàn)?792能9整，以其各數(shù)之和能被9整除+6+7+9+2=□+24，然eq\o\ac(□,，)eq\o\ac(□,)中的數(shù)只能是3。所以這筆賬是36792元?！?★（國(guó)望數(shù)學(xué)請(qǐng)）四數(shù)是．

9a8a

能15整除則a代表的字

xxxx【解析】因?yàn)?5是和5的數(shù)，所以

既能被3整，也能被5整除．被5整的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，能被除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的數(shù)．當(dāng)a=0時(shí)9＋a＋＋a=17，不是3倍數(shù)；當(dāng)a=5時(shí)9＋a＋＋a=27，是的倍數(shù)．所以，代的數(shù)字是5．【試刀若位

能11整除那a代的字.【解析】若四位數(shù)能被11整除那么9+8-2a就是11的倍，那么時(shí)使該四位數(shù)符合條件【例4】★知45整除

x

，所滿條的位?！窘馕觥恳?yàn)?5=5×，以根據(jù)整除性質(zhì)5一數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除，可知5除

x1993

且9整。所以y可取0或5。當(dāng)y=0時(shí)，根據(jù)9整

x

及數(shù)的整除特征可知x=5。y=5時(shí)，根據(jù)9除

x

及數(shù)的整除特征可知x=9。綜上所述，滿足條件的六位數(shù)是或919935?！驹嚨兑?位A2008B能被72整除，么A的為少【解析】72=7×，所以，如果

2008B

能被8整除，那么B的為0或8而各位數(shù)數(shù)字之和為的數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的A的值或90排除.【5★某七數(shù)1993口口口夠時(shí)23，，56789整，么的最三數(shù)依是少【】為這個(gè)數(shù)能被5整所末位只能是或又能被2除所以其末位為偶數(shù)，所以只能是0．在滿足以上條件情況下，還能被4整除，那么末兩位只能是20、40、60或80．又因?yàn)檫€能同時(shí)被9整除，所以這個(gè)數(shù)的數(shù)字和也應(yīng)該是9的倍，1993A20，1993B40，1993C60，的字和分別為24+A26+B28+C30+D，對(duì)應(yīng)的AB、C、只能3，，，．末位可能是，140860680．而只有320，是8的倍，驗(yàn)證只有1993320，1993680中只是7的數(shù)．因?yàn)橛型瑫r(shí)能被24，，，9除的數(shù)，一定能同時(shí)被23，4，，，7，，9這個(gè)數(shù)整除，所以1993320為求這個(gè)數(shù)．

顯然，其末三位依次為3，2，．【試刀如六數(shù)1992口能整，么的后位是少?【解析】用199200試除，199200105=1897…15，余15可看成不足(105-15=)90．以補(bǔ)上90，在末兩位的方格內(nèi)填人90即．【6★★個(gè)位能被19和91整除，2009為少【解析】因19與91互，此數(shù)能被1729整。20090001161，1631，個(gè)七位數(shù)是2009098?！?★已七數(shù)92427能99整除那兩數(shù)AB＝______【解析】99=9×，慮9|92AB427則A+B為3或12考慮11|92AB427，（）（4+B=11或22差11時(shí)得B-A=5，符合條件，當(dāng)差為22時(shí)得A-B=6與奇性一致時(shí)A=9這是符合條件的唯一解。AB93。【試刀如有個(gè)位

A1999311B

能整，試A、兩的(大減)分：×9由意，

能8整，B=2．A+B+1+9+9+9+3+1+1)能9整除則＋B6能9整．由B=2知，．以R-A=2-1=1.【8★★要15ABC6能被36整而所的最那ABC分別多？【解析】因?yàn)椤?，?/p>

C6

能被整除，從而C只可能是13579.使商最小，A、應(yīng)盡能小，先取A=0，又，所以3+B+C是9的數(shù)，B=1，C=5時(shí)取得最小值【試刀在后面上個(gè)字組一六數(shù)使能別3、、5整除，且這數(shù)可小【解析】不妨設(shè)補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字后的位數(shù)為，由于這個(gè)六位數(shù)被4、整，因?yàn)楸?整，所以c不是5而只能是0，且只可能是、、、、。

bc又因

3|568

，所以（5+6+8+a+b+0以：當(dāng)b=2時(shí)3|（5+6+8+a+2可為、、6、9；當(dāng)b=4時(shí)3|（5+6+8+a+4可為、、7；當(dāng)b=6時(shí)3|（5+6+8+a+6可為、、8；當(dāng)b=8時(shí)3|（5+6+8+a+8可為、369；

568abcabc568abcabc當(dāng)b=0時(shí)3|（5+6+8+a+0可為、58。為了使六位數(shù)盡能小，則a應(yīng)、取2c應(yīng)0。故能被3、、整除的最小六位應(yīng)為568020【9★已四一數(shù)5599…其中5和9各有20個(gè))被7整，么間格的字多?【解析】【10】★★★全小數(shù)奧匹如n個(gè)2么的最值.

200501

能整，【解析20052005n個(gè)2

200501

中奇數(shù)位減偶數(shù)位的差5－2＋＋1,當(dāng)時(shí)(3n＋是11的數(shù)，所以n的小值是7.【試刀n個(gè)2

200808

能11整除那，的最值多【解析20082008n個(gè)2

200808

中奇位數(shù)減偶位數(shù)的差8-2n+8=6n+8時(shí)是的倍，所以n的小值是6.【11】★46305乘以個(gè)然a，積一整的方求小a和個(gè)數(shù).【解析】46305=3××，以小為3××7=105，個(gè)整數(shù)是3××=2205.小試刀46305除以個(gè)自數(shù)a乘是個(gè)數(shù)平.最a和個(gè)數(shù).【解析】只要使46305各因數(shù)的指數(shù)減去對(duì)應(yīng)a的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)的差為偶數(shù)a最小3××7=105，個(gè)整數(shù)為3×7=2205105=21.【12】★一數(shù)倍減1能97整除這的然中小是.【解析】設(shè)這樣的數(shù)為x，則40x-1=97aa是整，即＋，為40x的位數(shù)一定是0，40x-1的末尾數(shù)一定是，所以最小7從而最小是17.【13】★★★1至1997這個(gè)自數(shù)次下，一多數(shù)…1994199519961997，求個(gè)位除以的余?！窘馕觥恳?yàn)?至9這個(gè)數(shù)之和為45所以101920至，30至，，至89，至99這個(gè)數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為45+1045+20，45+30，45+40，，45+80，45+90。以1至99這99個(gè)自數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+…+125+135=900因?yàn)?至99這99個(gè)自數(shù)各數(shù)上數(shù)字之和為900所以100至，至，，800至899900至999這些100數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為900+100900+200，…，

810810900+800，。以1至999這999自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+…因?yàn)?至999這999個(gè)然數(shù)各上數(shù)字和為13500所以至1999這1000個(gè)然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為，樣1至這1999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為：13500+14500=28000。1998、1999這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為27、。28000－27－28=27945，能除27945，以多位數(shù)除以9余【試刀1至2000這1997個(gè)然依寫來(lái)一多位12345678910111213…，試這多數(shù)以9余?！窘馕觥坑鄶?shù)為3課作1.將然12、、456789依重寫去成個(gè)1993位數(shù)，問(wèn)這數(shù)否3整？【解析】∵＋＋＋＋9=453｜45又∴除9余4，∴這個(gè)位的最末4位字是1234∵1+2+3+4=10，10，∴這個(gè)位不能被3整。2.一陳老上著：72只共67.9□元這□處跡不.處字上并桶單?！窘馕觥俊鯙?、2共元每只桶元。3.六自數(shù)1082□□被12整除，末位有

種況【解析】因?yàn)楸?2除余是2，能被12整除且首位數(shù)字是2的位數(shù)中，最小的數(shù)是12×17=204，大的數(shù)是1224=288所以末兩位數(shù)有－17＋1=8(種情．4.六自數(shù)1082□□被23整除，末位有

種況【解析】因?yàn)?08200÷余8，以，方框中的數(shù)為61、四種況時(shí)，六位數(shù)能被整除5.四數(shù)

8A1

能時(shí)235整，這四位是少【解析】要使

8A1

能同時(shí)被2和5整，個(gè)位數(shù)字能是B=0又要使能被整，所以各位數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被整除可以看出，當(dāng)A取0、、、時(shí)各位數(shù)

33字之和9+A可以被3整除所求的四位數(shù)是、8310、8610、8910。6.一三數(shù)同被457整，樣三數(shù)按小大順排一，間個(gè)是少【解析】這樣的三位數(shù)最小是4×7=140最大是1407=980，中間一個(gè)是×4=560.7.有堆果第堆513塊，第二有塊，一可平分9個(gè)朋而剩？【解析】各上數(shù)字之和是5+1+3=9能被整除；各位上數(shù)字的和是6+3+3=12，不能被整所以第堆可以平均分給個(gè)小朋友而無(wú)剩余第二堆平均分給9個(gè)朋友還剩余塊。8.有個(gè)位是9的數(shù)求A的?！窘馕觯┊?dāng)和是9時(shí)3+A+A+1=9即2A=5所以A=25（舍（）和是18時(shí)，，2A=14，；（）和是27時(shí)，，2A=23，可見A=11