人教版數學九年級上冊同步講義第29課《圓》全章復習與鞏固（原卷版）

第29課《圓》全章復習與鞏固目標導航目標導航課程標準1．理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；

2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；

3．了解三角形的內心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積；

5．結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.知識精講知識精講知識點01圓的定義、性質及與圓有關的角1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點O，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是的集合.

要點詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質

(1)旋轉不變性：圓是圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是圖形，都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

要點詮釋：

在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點.4．與圓有關的角

(1)圓心角：叫圓心角.

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.

(2)圓周角：.

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的.

②同弧或等弧所對的；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的.

③90°的圓周角所對的弦為；半圓或直徑所對的圓周角為.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內接四邊形的；外角等于它的.

要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識點02與圓有關的位置關系1．判定一個點P是否在⊙O上

設⊙O的半徑為r，OP=d，則有

SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；要點詮釋：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系.2．判定幾個點SKIPIF1<0在同一個圓上的方法

當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在⊙O上.

3．直線和圓的位置關系

設⊙O半徑為R，點O到直線l的距離為d.

(1)直線l和⊙O沒有公共點SKIPIF1<0直線和圓SKIPIF1<0.(2)直線l和⊙O有唯一公共點SKIPIF1<0直線和圓SKIPIF1<0.(3)直線l和⊙O有2個公共點SKIPIF1<0直線和圓SKIPIF1<0.4．切線的判定、性質

(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質：

①圓的切線過切點的.

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.

③經過切點作切線的垂線經過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關系

設SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓心距SKIPIF1<0.

(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的外部SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的內部SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有2個公共點SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；知識點03三角形的外接圓與內切圓、圓內接四邊形與外切四邊形1．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形的交點.要點詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數個外切三角形；

(2)解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即SKIPIF1<0(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部內心(三角形內切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內心在三角形內部.2．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形，外角等于.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形.知識點04圓中有關計算1．圓中有關計算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為SKIPIF1<0、半徑為R的弧長.

圓心角為SKIPIF1<0，半徑為R，弧長為l的扇形的面積.

弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側面積為SKIPIF1<0，全面積為SKIPIF1<0.

圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為SKIPIF1<0，全面積為SKIPIF1<0，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點詮釋：

(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的SKIPIF1<0，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式S扇形SKIPIF1<0，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式SKIPIF1<0有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.

能力拓展能力拓展考法01圓的基礎知識【典例1】如圖，已知⊙O是以數軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°,點在數軸上運動，若過點P且與OA平行（或重合）的直線與⊙O有公共點,設OP=x，則的取值范圍是（）.A．－1≤≤1B．≤≤C．0≤≤D．＞【答案】B；【即學即練1】如圖，已知⊙O是以數軸的原點為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數軸上運動，若過點P且與OB平行的直線于⊙O有公共點，設P（x，0），則x的取值范圍是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1B．0＜x≤1C．-SKIPIF1<0≤x＜0或0＜x≤SKIPIF1<0D．x＞1考法02弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理【典例2】如圖所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB于D，F(xiàn)是⊙O上的點，且，BF交CG于點E，求證：CE＝BE．【即學即練2】如圖所示，在⊙O內有折線OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,則BC的長為（）A．19 B．16 C．18 D．20考法03圓中有關的計算【典例3】如圖，AB是⊙O的直徑，=，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；（2）求證：DE=DM．【即學即練3】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)O⊥AB，垂足為點O，連接AF并延長交⊙O于點D，連接OD交BC于點