理論和數(shù)字電路電子課件拷貝

§5.2一般電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立和求解§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立一.數(shù)學準備:在高階動態(tài)電路和系統(tǒng)分析中，為了運算和書寫的方便，我們引入了微分算符。1.定義：微分算符P：積分算符：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立2.性質(zhì)：（1）等式兩邊的算符不能直接相消：即：若Pf1(t)=Pf2(t),則f1(t)=f2(t)+A

而不是f1(t)=f2(t)(即f1(t)f2(t))

這是因為同時積分要多一個常數(shù)（2）積分算子P－1左乘一個P時，分子分母中的P可以相消，即同代數(shù)運算規(guī)則。而積分算子P－1右乘一個P時，分子分母中的P不可以相消。即：PP－1＝1而P－1P1§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立二.廣義阻抗：1.電阻：2.電容：3.電感：

§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立三.建立電路微分方程的方法1.理論依據(jù)：（1）電路與系統(tǒng)整體應滿足物理規(guī)律：KCL,KVL（2）電路與系統(tǒng)局部應滿足物理規(guī)律：VCR2.方法步驟：方法1：（1）引入廣義阻抗于電路（2）列節(jié)點方程，網(wǎng)孔方程（3）用克萊姆法則求解,將微積分方程組化為一元高階微分方程方法2：ⅰ依據(jù)互聯(lián)規(guī)律列KCL,KVL方程ⅱ依據(jù)元件規(guī)律列VCRⅲ將ⅱ代入ⅰ得一組微積分方程組ⅳ引入微分算符，進行化簡運算得一元高階微分方程組?！?.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立例1：已知雙耦合電路如圖，試建立響應u2(t)的I/O微分方程解：（1）定義廣義阻抗（2）用視察法列寫節(jié)點方程：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立將方程兩邊同時微分一次（即同左乘P），即得：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立（3）將微分方程組化為一元高階微分方程（用克萊姆法則）即：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立即：注意：雙耦合電路本有5個動態(tài)元件，但微分方程為4階，是因為有一個全電容回路，即獨立動態(tài)元件數(shù)只有4個。所以為4階?！?.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立強調(diào)：（1）雖然復阻抗Z(s)與算符廣義阻抗Z(P)形式相同，但物理本質(zhì)不同，Z(s)有明確的物理意義，而Z(P)只是一種數(shù)學符號。（2）變量s是復頻率，物理意義明確，在運算中可按代數(shù)方法運算。而P是一種數(shù)學符號，無物理意義，也不是變量，在運算中必須遵守其運算規(guī)則?！?.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立例2：已知雙耦合電路如圖，試建立輸出響應i2(t)的微分方程解法1：（1）作出電路的等效模型。選i1,i2為變量§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立（2）對a圖網(wǎng)孔Ⅰ，Ⅱ列KVL方程：（3）列VCR方程：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立（4）將（3）式代入（2）式則得：對上兩式分別再微分一次得:§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立

（5）引入微分算子：即：*()§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立采用克萊姆法則，解此方程組，求得i2(t)為：即：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立得到的是一個一元四階微分方程，而電路正好有四個獨立動態(tài)元件?！?.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立解法2：引入廣義阻抗Z(P)，作出用Z(P)表示的電路圖模型b圖§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立對b列網(wǎng)孔方程：再微分一次（左乘P）得：這與方法1中的(*)式同，于是可得同樣的結果§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立四.LTI電路系統(tǒng)的I/O微分方程1.定義：任意一個LTI單I/O電路系統(tǒng)，可以用下列表示其輸入f(t)與輸出y(t)之間關系的一元n階微分方程來描述：或：§5.2.1電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立若定義傳輸算子：則：式中：系數(shù){a0,a1,…an-1,an}和{b0,b1…bm-1,bm}為常實數(shù)，它們?nèi)Q網(wǎng)絡元件的數(shù)值和系統(tǒng)內(nèi)部的結構，而與外加激勵無關。2.微分方程的階數(shù)n：它等于電路與系統(tǒng)中獨立動態(tài)元件的個數(shù)，也等于獨立初始條件的個數(shù)。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)總滿足：n≥m§5.2.2初始條件的確定

通常電路與系統(tǒng)給定的已知條件，是換路前（t=0-）瞬間的狀態(tài)即起始狀態(tài)，而我們要求的初始條件是指換路后（t=0＋）瞬間的狀態(tài)，即y(0+),y(1)(0+)…y(n-1)(0+)，只有確定了它們之后，才能求解微分方程。一.沒有強迫躍變時電路初始條件的確定：（滿足換路定律情況）1.依據(jù)換路定律：ic(t)有限UL(t)有限2.方法步驟：

（1）求t＝0－時的iL(0-)和Uc(0-)（2）由換路定律求iL(0+)和Uc(0+)§5.2.2初始條件的確定（3）由t=0+電路，求y(0+)（4）求得微分初始條件二.有強迫躍變時電路初始條件的確定：（不滿足換路定律情況）當電路中有沖擊電流（或階躍電壓）強迫作用于電容，或沖擊電壓（或階躍電流）強迫作用于電感，例如把一個純電容突然與一個理想電壓源接通或把一個含電感支路驟然扳斷，這時ic→∞，UL→∞，即電路發(fā)生了強迫躍變，換路定律不成立，上述方法失效。這時可以用以下方法計算。1.電路中存在強迫躍變：（1）含有全電容回路或全電感割集§5.2.2初始條件的確定（2）理論依據(jù)：ⅰ.電荷守恒定律：，即對電路中的任一節(jié)點，換路前和換路后總電荷不變。ⅱ.磁鏈守恒定律：，即對電路中任一回路，換路前和換路后總磁鏈保持不變。（3）計算方法步驟：ⅰ.對含電容節(jié)點列電荷守恒方程。（含電感回路列磁鏈守恒方程）ⅱ.將q＝Cuc代入方程（1）。（將代入方程（1））ⅲ.根據(jù)KVL列回路方程。（根據(jù)KCL列節(jié)點方程）ⅳ.對ⅱ和ⅲ聯(lián)解，即求得電路初始條件§5.2.2初始條件的確定例：已知補償分壓器電路如圖所示，在開關閉合前電容儲能為零。（1）運用三要素法求開關閉合后的電壓u(t)（2）若要電路過渡過程為0，電路應滿足什么條件（即求全補償條件）§5.2.2初始條件的確定解：（1）求u(t):ⅰ.求u(0+):①.列電荷守恒方程：即：∵電路t=0-無儲能即：§5.2.2初始條件的確定②.將q=Cuc代入上式得：③.列回路KVL方程：④.聯(lián)解①②兩式得：ⅱ.求u(∞)：∵穩(wěn)態(tài)時，C開路，由分壓公式可得：§5.2.2初始條件的確定ⅲ.求令獨立源us(t)=0，則可知C1和C2并聯(lián)，R1和R2并聯(lián)

ⅳ.求U(t):由三要素法公式可得：§5.2.2初始條件的確定（2）求全補償條件：令則電路過渡過程為0即：則：即消除了電容C2的影響§5.2.2初始條件的確定2.電路微分方程中激勵為奇異函數(shù)或電路中激勵為奇異信號：－－沖擊平衡法例1：已知電路如圖，電容無初始儲能，開關k在t=0閉合后，求u(0+)解：又C相當于短路，流過C的電流就是電流源§5.2.2初始條件的確定_一般：§5.2.2初始條件的確定例2：已知電路系統(tǒng)起始無儲能，試求解：（1）建立電路微分方程即：_+§5.2.2初始條件的確定（2）求初始條件：

a.求i2(0+):

對方程（1）兩端進行從0－～0＋兩次積分得：即：§5.2.2初始條件的確定

因為對于0－～0＋無窮小區(qū)間，若被積函數(shù)不是無窮大，則在這無窮小區(qū)間內(nèi)積分為0因為電路無儲能，b.對（1）式兩邊進行一次0－～0＋的積分得即得：§5.2.2初始條件的確定因為電路無儲能 即得：§5.2.2初始條件的確定綜上所述，這種方法的要領和步驟是：（1）當激勵為奇異信號時，先建立電路方程（2）對方程兩邊從0－～0＋進行適當?shù)姆e分：.進行與微分方程階次相同次的積分，求y(0+)-y(0-).降一階的積分，求若這時被積函數(shù)不是無窮大，則在這個0－～0＋的無窮小區(qū)間內(nèi)積分為0，從而求得所需初條?！?.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）一.解的定義電路微分方程的求解就是求解滿足（1）式，又滿足（2）式的函數(shù)或數(shù)值，即解析解。而一般實際給出初條為y(0-)…，所以還要先求出（2）§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）二.求解方法：1.方法1：經(jīng)典法（自由響應）（強迫響應）（1）.求齊次方程的通解.求特征方程特征根λ.查表4.2－1得通解（系數(shù)ki未定）特征根互異：§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）（2）求非齊次方程特解.查表4.2－4得特解表達式.將yp(t)帶入非齊次方程，通過比較系數(shù)法，求得其系數(shù)。（3）由已知起始條件，求得初條（2）式（4）由完全解和初條（2）式定出通解系數(shù)ki，即得全解y(t)（自由相應）（強迫相應）§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）2.方法2：疊加法：（零輸入響應）（零狀態(tài)響應）（1）由已知起始條件求得初條（2）式（2）求零輸入響應.求特征方程特征根λi.查表4.2－1得通解表達式.由條件（2）定通解中的系數(shù)kzpiyzp(t)§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）（3）求零狀態(tài)響應yzs(t)解法同方法1所以，可求得yzs(t)（4）疊加：全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應（零輸入響應）（零狀態(tài)響應）5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）二.兩種解法的區(qū)別1.相同點（1）零輸入響應和自由響應都具有相同的函數(shù)形式，都滿足齊次微分方程。（2）零狀態(tài)響應與強迫響應都僅僅與輸入激勵有關，與電路無關。2.不同點（1）確定待定系數(shù)Ai的先后次序不一樣.yp的系數(shù)由激勵，初態(tài)共同決定。A→K.yi的系數(shù)Kzpi僅由初條決定。而y0中的系數(shù)Kzsi則同（2）自由響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應中的自由分量強迫響應＝零狀態(tài)響應中的強迫分量§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）（3）本質(zhì)區(qū)別：.yzp(t),yzs(t)滿足疊加定理，著眼于因果關系。.yh(t),yp(t)不滿足疊加定理，著眼于動態(tài)關系?！?.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）例1：已知電路如圖，激勵求電路的自由響應，強迫響應，零輸入響應，零狀態(tài)響應。解：1.建立電路方程：_+1Ω§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）2.求解：（1）用經(jīng)典法求解.求齊次方程通解：特征方程為：即：

.求特解：因為激勵是正弦§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）

代入原方程通過比較系數(shù)求得B1、B2即：§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）.求全解表達式：.求初條，定系數(shù)ki換路定律因為流過R2得電流即為ic，而§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）故方程的初條為：將初條代入（1）（2）式得：對（1）式微分一次得：§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）

聯(lián)解得：（2）用疊加法：.零輸入響應為零；（因為初條為0）.零狀態(tài)響應：就是該題所求得的上完全響應§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）例：給定電路微分方程為：已知：試求電路的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應。解：將激勵代入微分方程得：§5.2.3電路與系統(tǒng)微分方程的求解（時域）方法1.經(jīng)典法：y(t)=yh(t)+yp(t)（1）求