功率譜估計模型法

功率譜估計

--參數(shù)估計方法周期圖法的不足估計方法的方差性能差在功率譜密度計算中沒有實現(xiàn)求均值的運算分辨率低樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長的，相當(dāng)于在無窮長樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等)參數(shù)模型功率譜估計MA模型AR模型ARMA模型安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型假如一個寬安穩(wěn)隨機信號x(n)經(jīng)過一個線性時不變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬安穩(wěn)隨機過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式：其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型假如系統(tǒng)輸入為白噪聲信號u(n)，其功率譜密度為常數(shù)σ2，則輸出信號功率譜密度Pxx(w)完好由系統(tǒng)傳達函數(shù)|H(w)|2決定，所以我們經(jīng)過對H(w)進行建模，從而獲取輸出信號的功率譜密度。安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號，其方差為σ2，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型所以我們利用確定性系統(tǒng)傳達函數(shù)H(z)的特征去表征隨機信號x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計。參數(shù)模型功率譜估計的步驟：對H(z)選擇適合的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型依據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或許x(n)的自有關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù)利用H(z)估計x(n)的功率譜。安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有極點，沒有零點，對應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型MA模型：Moving-Average此模型只有零點，沒有極點，對應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點。安穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型ARMA模型：此模型同時有零點、極點，對應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷系統(tǒng)模型對于一階全極點傳達函數(shù)傳達函數(shù)所對應(yīng)的幅度響應(yīng)其實是：當(dāng)a>0當(dāng)a<0系統(tǒng)模型對于二階的全極點傳達函數(shù)其對應(yīng)的幅度響應(yīng)？因為傳達函數(shù)中，a、b均為實數(shù)，且要求極點在單位圓內(nèi)，所以傳達函數(shù)的極點應(yīng)當(dāng)是共軛對稱的。系統(tǒng)模型極點地點在[0π/2]內(nèi)時系統(tǒng)模型極點地點在[π/2π]內(nèi)時系統(tǒng)模型對于二階的全零點系統(tǒng)零點的地點沒有限制要求，那么其幅度響應(yīng)當(dāng)零點在[0π/2]內(nèi)時在零點在[π/2π]內(nèi)時AR模型估計功率譜密度假定u(n)、x(n)都是寬安穩(wěn)的隨機信號，其中u(n)為白噪聲，方差為σ2，推導(dǎo)H(z)的模型參數(shù)ai與數(shù)據(jù)x(n)的關(guān)系，即所謂AR模型的正則方程(NormalEquation)。AR模型估計功率譜密度依據(jù)輸入、輸出、系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的關(guān)系等式兩邊同乘以x(n-m)，同時取希望運算AR模型估計功率譜密度這里第一考慮rxu(m)的求解這里h(k)為H(z)的無窮長脈沖響應(yīng)AR模型估計功率譜密度因為系統(tǒng)輸入u(n)為白噪聲信號，所以：這樣rxu(m)為：AR模型估計功率譜密度而h(m)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng)，因為H(z)為因果系統(tǒng)，所以：這樣，互有關(guān)函數(shù)rxu(m)為：AR模型估計功率譜密度因為h(0)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng)，而：所以有h(0)=1AR模型估計功率譜密度依據(jù)上式以及rxu(m)的求解：AR模型估計功率譜密度將等式右邊的累加項移到等式左邊，這樣上式即可以寫成方程組的形式：AR模型估計功率譜密度在方程組的形式中，因為H(z)模型參數(shù)ai為p個，以及白噪聲方差σ2，所以需要p+1個方程即可以求解，同時依據(jù)自有關(guān)函數(shù)的對稱性，將方程組張開為矩陣形式：AR模型估計功率譜密度這就是AR模型的正則方程，也稱為Yule-Walker方程。AR模型估計功率譜密度獲取AR模型的參數(shù)，即可以估計功率譜密度：AR譜估計特點譜估計的特點在譜峰值處，AR譜和信號譜很湊近譜谷底地點，則相差比較大。清音AR模型與線性展望的關(guān)系線性展望系數(shù)aj構(gòu)成的全極點濾波器H(z)：其逆過程為：AR模型與線性展望的關(guān)系A(chǔ)R模型：對應(yīng)的輸入、輸出關(guān)系：AR模型與線性展望的關(guān)系那么：AR模型與線性展望的關(guān)系這里我們發(fā)現(xiàn)線性展望過程是AR模型估計功率譜的逆過程。當(dāng)展望器的階數(shù)和AR模型的階數(shù)相同時，對應(yīng)的展望器系數(shù)h和AR模型參數(shù)ai才有一一對應(yīng)的關(guān)系。AR模型功率譜估計性能分析周期圖法中因為自有關(guān)函數(shù)rxx(m)的長度為2N-1，所以相當(dāng)于對真切的自有關(guān)函數(shù)進行了加窗辦理，自有關(guān)函數(shù)的取值范圍在[-(N-1)N-1]內(nèi)，在此范圍外的值為零值，從而以致了估計的功率譜密度遇到窗函數(shù)譜的影響，降低了分辨率。AR模型對功率譜估計的改進實質(zhì)上表此刻對自有關(guān)函數(shù)的延拓特征上，沒有將估計的自有關(guān)函數(shù)取值限制在[-(N-1)N-1]的范圍內(nèi)。AR模型功率譜估計性能分析依據(jù)Yule-Walker方程可知：第一估計p+1個自有關(guān)函數(shù)rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(p)后，能夠依據(jù)上式獲取AR模型參數(shù)ai。這樣，就依據(jù)ai獲取對p以后的自有關(guān)函數(shù)進行拓展：AR模型功率譜估計性能分析這里m>p，所以我們利用p個估計的自有關(guān)函數(shù)，能夠?qū)>p所有的自有關(guān)函數(shù)rxx(m)進行延拓，從而提高了自有關(guān)函數(shù)窗的長度，增加了功率譜估計的頻域分辨率。AR模型階數(shù)p的選擇假如模型的階數(shù)過小，則會增加對功率譜的光滑作用，降低譜的分辨率但假如階數(shù)太高，固然會降低展望偏差的方差，但會以致譜峰的分裂，增加估計偏差。這是因為階數(shù)實質(zhì)上對應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰狀況。AR模型階數(shù)p的選擇AR模型階數(shù)p的選擇AR模型階數(shù)p的選擇在進行AR譜估計時，第一需要確定階數(shù)p。p的選擇能夠鑒于以下三種準(zhǔn)則進行。最后展望偏差準(zhǔn)則(FPE)其中k為階數(shù)，N為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長度，而ρk表示k階AR模型獲取的白噪聲方差。上式最小值對應(yīng)的階數(shù)為最后選擇的階數(shù)。AR模型階數(shù)p的選擇阿凱克信息論準(zhǔn)則(AIC)相同選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。AIC準(zhǔn)測和FPE準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長度較長時，估計獲取的模型階數(shù)相像。對于較短的樣本數(shù)據(jù)，建議使用AIC準(zhǔn)則。AR模型階數(shù)p的選擇自回歸傳達函數(shù)準(zhǔn)則(CAT)相同使得上式最小的k為模型階數(shù)。AR模型參數(shù)的求解自有關(guān)法利用Yule-Walker方程獲取AR模型參數(shù)ai：AR模型參數(shù)的求解Yule-Walker方程中的自有關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏估計值：AR模型估計功率譜密度系數(shù)矩陣不不過是對稱的，并且沿著和主對角線平行的任意一條對角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，能夠利用Levinson-Durbin遞計算法獲取p個參數(shù)ai以及方差σ2。AR模型估計功率譜密度假如采用有偏估計獲取自有關(guān)函數(shù)，即可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數(shù)，并且能夠保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi)，即保證AR模型的穩(wěn)固性。這種方法稱為自有關(guān)法同時自有關(guān)法計算的白噪聲信號功率會跟著階數(shù)的增加而減小或許保持不變。AR模型估計功率譜密度但自有關(guān)法也存在必定的問題，因為在求解自有關(guān)函數(shù)的時候，進行了矩形加窗辦理，降低了分辨率。同時當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長度較短時，估計偏差會比較大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。AR模型估計功率譜密度協(xié)方差法AR模型估計功率譜密度其中的自有關(guān)函數(shù)為：同時白噪聲的方差為：AR模型估計功率譜密度計算自有關(guān)函數(shù)時，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自有關(guān)法不同，這樣保證了不對樣本數(shù)據(jù)進行矩形窗的截斷，所以假如樣本函數(shù)的長度較短時，能夠獲取比自有關(guān)法更好的譜分辨率。假如樣本函數(shù)的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)p時，自有關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。同時協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣，不可以用迭代的方法計算，所以運算復(fù)雜度較大。同時也不可以像自有關(guān)法相同保證AR模型的穩(wěn)固性。AR模型估計功率譜密度修正的協(xié)方差法與協(xié)方差法近似，自有關(guān)函數(shù)的求解修正為：同時估計的白噪聲方差為：AR模型估計功率譜密度修正的協(xié)方差法從線性展望的角度分析，其實是同時進行前向、后向展望，所以其估計譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。但弊端相同是需要求解非Toeplitz陣，計算比較復(fù)雜。AR模型估計功率譜密度Burg遞推法以上提到的自有關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計樣本數(shù)據(jù)的自有關(guān)函數(shù)，假如能免除自有關(guān)函數(shù)的求解，從而直接依據(jù)樣本函數(shù)獲取AR模型參數(shù)ai，從而能夠減少中間步驟，提高譜估計的性能。同時采用前向、后向線性展望。這種算法對短數(shù)據(jù)的功率譜估計比自有關(guān)函數(shù)法要正確。應(yīng)用針對含噪正弦信號數(shù)據(jù)64點，采用分段均勻周期圖法和AR模型應(yīng)用—AR模型，—周期圖法應(yīng)用數(shù)據(jù)長度為64，采用分段的周期圖法和AR模型應(yīng)用—AR模型，—周期圖法應(yīng)用數(shù)據(jù)長度為64點，取不同階數(shù)(4、20)的AR模型對譜估計的影響。應(yīng)用MA模型估計功率譜密度與AR模型相同，第一推導(dǎo)MA參數(shù)bi與樣本數(shù)據(jù)x(n)的正則方程。第一，MA模型參數(shù)為：MA模型估計功率譜密度輸入白噪聲信號u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關(guān)系：與AR模型進行相同的分析，獲?。篗A模型估計功率譜密度MA模型只有q個零點，并且注意MA的正則方程，MA模型計算的自有關(guān)函數(shù)的取值范圍為[-qq]，并且近似于MA模型參數(shù)bi的自有關(guān)函數(shù)這樣估計的功率譜密度為：MA模型估計功率譜密度注意到，依據(jù)計算的自有關(guān)函數(shù)rxx(m)獲取的功率譜為：所以從譜估計的角度，MA模型譜估計等效于經(jīng)典譜估計中的自有關(guān)法，譜估計的分辨率低。ARMA模型估計功率譜密度ARMA模型實質(zhì)上AR模型和MA模型的綜合，其正則方程為：其中h(k)為ai和bi的函數(shù)，所以該方程為非線性方程，求解較為復(fù)雜。最大熵譜估計方法rxx(k)的最大熵外推法經(jīng)典譜估計中是零值外推，對于窄帶信號是很不精確的，如何對rxx(k)進行外推？這里re(k)表示自有關(guān)函數(shù)的外推值最大熵譜估計方法對re(k)的拘束條件是什么？保證獲取的功率譜密度是實數(shù)，并且是非負(fù)的。使隨機信號x(n)的熵最大，等價為使得x(n)盡可能的‘白化’，對功率譜而言，使得估計的功率譜Pxx(w)‘盡可能平坦’。最大熵譜估計方法對于能量有限的信號，擁有高斯分布的隨機信號x(n)擁有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR過程，即x(n)的功率譜是全極點形式的譜結(jié)構(gòu)。最大熵譜估計方法依據(jù)以上要求外推的自有關(guān)函數(shù)rxx(k)：而ap為自有關(guān)正則方程的解：最大熵譜估計方法最大熵譜估計的解說是：依據(jù)給定隨機信號x(n)，利用對x(n)AR模型的限制，對自有關(guān)函數(shù)進行外推，并且假定x(n)為高斯分布。實質(zhì)上最大熵譜估計與Yule-Walker方法估計功率譜是等價的。最大熵譜估計方法這里對最大熵譜估計方法的描述，用于解說該方法譜估計的實責(zé)問題。最大熵估計外推對數(shù)據(jù)強加了一個全極點模型，所以MEM估計能否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，取決于所分析的信號種類，以及信號模型逼近AR過程的程度特點分解法譜估計對于帶有白噪聲的正弦波組合，因為正弦波之間是非諧波的關(guān)系，所以不可以用鑒于傅立葉變換的周期圖法進行分析。而特點分解法能夠獲取比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時候，譜估計的成效比較理想。特點分解法譜估計一階諧波過程：其中復(fù)指數(shù)A1=|A1|ej?1,?1是均勻分布的隨機變量，w(n)是方差為σw2的白噪聲特點分解法譜估計復(fù)數(shù)隨機信號的自有關(guān)矩陣定義為：特點分解法譜估計Rss的秩為1.特點分解法譜估計定義則Rss能夠用e1表示：所以Rss的非零特點值為M|A1|2特點分解法譜估計Rxx和Rss的特點向量是一致的。Rxx的特點根是Rss的特點根和噪聲方差之和特點分解法譜估計依據(jù)Rx的特點值和特點矢量獲取對于x(n)的參數(shù)：Rx進行特點值分解，最大的特點值為M|A1|2+σw2，其余的特點值均為σw2利用Rx的特點值求信號功率|A1|2和噪聲方差：特點分解法譜估計最大特點值對應(yīng)的特點矢量為e1，則e1第二個系數(shù)為ejw1,其頻率即為w1特點分解法譜估計鑒于信號自有關(guān)矩陣分解的頻率估計算法：將樣本空間分為信號子空間和噪聲子空間，而后用頻率估計函數(shù)估計頻率值。假定隨機信號x(n)由p個復(fù)指數(shù)信號和白噪聲信號構(gòu)成：其中s(n)為正弦信號，v(n)為白噪聲特點分解法譜估計X(n)信號的自有關(guān)函數(shù)：其中Pi是功率：Pi=|Ai|2特點分解法譜估計則x(n)的自有關(guān)矩陣為：特點分解法譜估計其中ei為：特點分解法譜估計設(shè)vi是Rss的特點矢量：vi也是Rxx的特點矢量，并且Rxx的特點根是Rss特點根和噪聲方差之和：特點分解法譜估計Rss的秩為p，所以Rss有p個非零特點根，所以Rxx特點根分為p個大于σw2的特點根，和M-p個為σw2的特點根。對應(yīng)于特點根的分類，特點矢量也分為兩類。實質(zhì)上，大于σw2的特點根和特點矢量對應(yīng)信號子空間，而等于σw2的特點根和特點矢量對應(yīng)噪聲子空間。這樣能夠依據(jù)自有關(guān)函數(shù)Rxx的特點根求解，最小的特點根就是白噪聲信號的方差。特點分解法譜估計假如自有關(guān)矩陣Rxx的維數(shù)M=p+1，則p個大于σw2的特點根，1個等于σw2的特點根，所以信號子空間的特點矢量為p個，，噪聲子空間的特點矢量為1個，定義為vmin。定義信號空間矢量ei，該矢量不是特點矢量，但位于信號子空間中，且與vmin正交：特