2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教書用書第七章　立體幾何與空間向量

立體幾何與空間向量

耕(必修第二冊+選擇性必修第一冊)

第1節(jié)立體圖形及其直觀圖、簡單兒何體的表面積與體積

?:課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、

球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡

單物體的結(jié)構(gòu).

2.了解球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式.

3.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.

?用散材夯實四基

必備知識?課前回顧

唯:知識梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

0，Df

圖形

ABAABAB

互相平行且全

底面多邊形互相平行且相似

笠

相交于一點但不一定

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

相等

側(cè)面

平行四邊形三角形梯形

形狀

⑵旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓*錐圓臺球

圖形Ae

平行、相等且垂直延長線交于

母線相交于一點

于底面—'八占、、\

全等的等腰三全等的等腰

軸截面全等的矩形

角形梯形M

側(cè)面展

矩形扇形扇環(huán)

開圖\

2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是：（1）原圖形中x

軸、y軸、z軸兩兩相互垂直，直觀圖中，X,軸、y'軸的夾角為45°（或

135°）,z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.

⑵原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍分別壬后王坐標(biāo)軸.平

行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變,平行于y軸的線

段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

ri2W：

八個

側(cè)面展開圖r'戶＜力

區(qū)總…加……j

側(cè)面積公式S畫柱側(cè)二2兀r1S圓錐側(cè)二兀r1S網(wǎng)臺側(cè)=兀（r'+r）1

4.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S網(wǎng)+2S底V=S底?h

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

V=S底?h

臺體（棱臺和圓臺）S表面積二S側(cè)+S上+S下

V=h(S±+Sb+)

2

球S=4JIR

V=JIR3

_重要結(jié)論

1.特殊的四棱柱

2.球的截面的性質(zhì)

⑴球的任何截面都是圓面.

（2）球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面.

（3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為

r=.

3.正方體與球的切、接常用結(jié)論

正方體的棱長為a,球的半徑為R,

(1)若球為正方體的外接球,則2R=^a;

⑵若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;

⑶若球與正方體的各棱相切，則2R=^a.

4.長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則

_Va2+J>24-c2

NQKD一,

x/S而

5.正四面體的外接球的半徑R=*a,內(nèi)切球的半徑r=iia,其半徑R:

r=3：1(a為該正四面體的棱長).

空

6.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖二?S原圖形?

對箱測

1.已知圓錐的表面積等于12五cm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓,則底

面圓的半徑為(B)

3

A.1cmB.2cmC.3cmD.2cm

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為1,則S表=弘r2+冗rl=兀/+冗

r?2r=3克r2=12n,所以r2=4,所以r=2(cm).故選B.

2.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

(A)

32

A.12JIB.3JI

C.8JiD.4Ji

解析：由題意可知正方體的棱長為2,其體對角線長2V"即為球的直徑,

所以球的表面積為4JiR2=(2R)2Ji=12TI.故選A.

3.(必修第二冊P109例2改編)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是

(D)

A.正三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.直角三角形

解析：由直觀圖中A'C'〃y'軸,B，C'〃x，軸,還原后AC〃y軸,

BC〃x軸，所以4ABC是直角三角形.故選D.

4.如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'被截去一部分，其中EH〃A'D',

剩下的幾何體是(C)

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知,剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

5.如圖,將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，

則該棱錐的體積與剩下的幾何體的體積比為.

解析：設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積為

ill111

V,=3X2X2aX2bX2c=?abc,剩下的幾何體的體積為V2=abc-

147

?abc=?abc,所以V1：V2=l：47.

答案：1：47

第一課時立體圖形及其直觀圖、柱錐臺的表面積與體積

關(guān)鍵能力?課堂突破",者支.實°

臉考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖

1.（多選題）下列說法正確的是（AD）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B,棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺的側(cè)面是等腰梯形

D.用一個平面截一個球,得到的截面是一個圓面

解析:A正確;B不正確，如正六棱柱相對的側(cè)面平行;C不正確，棱臺的

側(cè)棱長可能不相等;D正確,用一個平面截一個球,得到的截面是一個

圓面.故選AD.

2.下列命題：

①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；

④一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.

其中正確命題的個數(shù)為（B）

A.0B.1C.2D.3

解析：由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確.對于命題④,

只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得到一個圓錐和一個圓

臺,④不正確.故選B.

3.給出下列四個命題：

①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；

②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；

④底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正確的命題為（填序號）.

解析:對于①,平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形,故①錯誤；

對于②,對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明（如圖），故②錯誤;對

于③,若底面不是矩形,則③錯誤;④由線面垂直的判定定理,可知側(cè)

棱垂直于底面,故④正確.

綜上,命題①②③不正確.

答案:①②③

4.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=誼,下底AB=3,以下底所

在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A，B，）＞的面積

為.

解析：如圖⑴和⑵的實際圖形和直觀圖所示.作E'F_LO'B'于

點F,

因為工1,由斜二測畫法可知。E，6,E'F二T,〉C'

1+3yj2,V2

=1,A'Bz=3,則直觀圖A，B'C'D'的面積為S，=TxT^.

您

答案:記

一題后悟通

1.關(guān)于空間兒何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念,要

善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需

舉一個反例.

2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用

好軸截面中各元素的關(guān)系.

3.既然棱（圓）臺是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺問題時一,

要注意“還臺為錐”的解題策略.

4.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”（x軸

和y軸成45°或135°）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平

行于x軸和z軸的線段長度不變）來掌握.

吟點二柱、錐、臺體的表面積與體積

口角度-簡單幾何體的表面積

所）如圖，四面體各個面都是邊長為1的正三角形,其三個頂點在一

個圓柱的下底面圓周上,另一個頂點是圓柱上底面的圓心，圓柱的側(cè)

面積是（）

顯3誼2播

A.VJIB.丁冗C.虧nD.2JI

解析：如圖所示,過點P作PE_L平面ABC,E為垂足，點E為正三角形ABC

的中心,連接AE并延長,交BC于點D.

2V3

AE=3AD,AD=T,

2依依

所以AE=3XT=3",

所以PE"同鷲.

耳

設(shè)圓柱底面半徑為r,則r=AE=T,

所以圓柱的側(cè)面積為S=2nr-PE=2RX￥X￥=VJI.故選C.

解題策略:

1.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底

面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部

分的處理.

口角度二簡單幾何體的體積

…、-J13

OH)(1)已知三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZABC=2,SB=4,SC=2V,AB=2,

BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是()

A.4B.6C.4VD.6V

⑵如圖，長方體ABCD-AECD的體積是120,E為CG的中點,則三棱錐

E-BCD的體積是

解析：⑴因為NABC旦AB=2,BC=6,所以AC=山4/+B。=02+62=

2m因為NSAB旦AB=2,SB=4,所以AS="S821AB由

SC=2E,得AC2+AS2=SC2,所以AC±AS.又因為SA±AB,ACGAB=A,ACc

平面ABC,ABu平面ABC,所以AS_L平面ABC,所以AS為三棱錐S-ABC

的高,所以,三校椎5ABC=3X2X2X6X2電4遮故選C.

111

(2)設(shè)長方體中BC=a,CD=b,CC尸c,則abc=120,所以VE-BCD=5,5ab?2c=

1

12abe=10.

答案：⑴C(2)10

解題策略:

求規(guī)則幾何體的體積,主要是先找準(zhǔn)關(guān)鍵的已知量,求必需的未知量,

再利用“直接法”代入體積公式計算.

口角度三不規(guī)則兒何體的體積

CIO如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形,ED,平面ABCD,FC_L平

面ABCD,ED=2FC=2,則四面體ABEF的體積為()

E

12

A.3B.3

4

C.1D.3

解析：因為ED_L平面ABCD且ADu平面ABCD,所以ED1AD.

因為在正方形ABCD中，AD_LDC,而DCnED=D,DCu平面CDEF,EDu平面

CDEF,所以AD_L平面CDEF.連接EC,DF（圖略），

ED

易知FC=T=I,VBAEF二VABCDEF-VF-ABCD-VA-DEF-

118

因為V-ABCD=ED正方形ABCD由

E-S-3=2X2X2X3=3c=BC-SAErc-3=2X2X

112

1X2X3=3,

8210§1.14

所以VABCDEF三亞又Vt.-ABCD=FC?正方尼4比D?工1X2X2義3=3V;VDEF=

111410442

AD?SADEF?3=2X2X2X2X3=3y^^3-3-3^3.故選B.

解題策略

求不規(guī)則幾何體的體積：當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時,常通過分割

或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何

體,然后再計算.

⑴利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱（也

可分割成四棱錐）.

⑵利用“補”的方法把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把三棱錐補

成四棱錐,把三棱柱補成四棱柱,把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體,補

一個同樣的幾何體等.

［針對訓(xùn)練］

1.（多選題）等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一

邊旋轉(zhuǎn)一周,所形成的幾何體的表面積可以為（）

A.JiB.（1+0n

C,nD.（2+qJi

解析:如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐的底面半徑為1,高為1,

母線就是直角三角形的斜邊,長為也,所以所形成的幾何體的表面積

為S=HX1X0+JIX/=（1+烏JI.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、

您

下兩個圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊上的高姿,兩個圓錐

的母線都是直角三角形的直角邊,母線長是1,所以所形成的幾何體的

表面積為S'=2XnXEx1=V41T.綜上可知,所形成的幾何體的表

面積是（1+企）冗或夜冗.故選AB.

2.已知四棱錐的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱長均為曲.若圓柱的

一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四

棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

解析：由題意知圓柱的高恰為四棱錐高的一半，圓柱的底面直徑恰為

四棱錐的底面正方形對角線的一半.因為四棱錐的底面正方形的邊長

為所以底面正方形對角線長為2,所以圓柱的底面半徑為力又因

為四棱錐的側(cè)棱長均為遍,所以四棱錐的高為曲不于=2,所以圓

1?

柱的高為1,所以圓柱的體積為V=nX（2）2X1=V

.

答案:*

3.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖,

四面體P-ABC為鱉蠹PA，平面ABC,ZABC為直角，且PA=AB=BC=2,則

P-ABC的體積為.

_s

解析：由題意知PA,平面ABC,ZABC=2,PA=AB=BC=2,所以^ABC=

1114

2AB?BC=2,所以VP-ABC=3SAABC-PA=3X2X2=3.

答案：3

4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,

且aADE,ABCF均為正三角形，EF〃AB,EF=2,則該多面體的體積

為.

解析:如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,

則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.

依題意,三棱錐E-ADG的高為EG=2,直三棱柱AGD-BHC的高為AB=1,

則AGZ晅J#?2今

取AD的中點M,貝

所以SAAGD=2X1X2=4,

所以V多面體

=^EADG+^FBHC+^ZGDBHC=2^EADG+^ZGDBHC=^xTxix2+^X1=T

您

答案與

快考點三折疊與展開問題

麗如圖所示，圓臺母線AB長為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和

10cm,從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點,求這條繩

子長度的最小值.

解:如圖所示，作出圓臺的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐，連接MB',在

圓臺的軸截面中，因為Rt^OPAsRtaOQB,

OAPAOA5

所以。4+4西西所以。4+4見后,

所以0A=20(cm).

設(shè)NBOB，=a,由扇形弧""的長與底面圓Q的周長相等，得2X10X

.

Ji=OB?a,即20冗=(20+20)?a,所以a殳,所以在RtA

“即+。叫3解+4解=50(cm),即所求繩子長度的

B'0M中，B'M=

最小值為50cm.

解題策略:

求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟

⑴將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；

⑵將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；

⑶結(jié)合已知條件求得結(jié)果.

［針對訓(xùn)練］如圖,M是棱長為2cm的正方體ABCD-ABCD的棱CC,的

中點,沿正方體表面從點A到點M的最短路程是cm.

解析：由題意，若以BC為折疊線展開,則A,M兩點連成的線段所在的直

角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm,3cm,故兩點之間的距離是

舊cm.若以BBi為折疊線展開,則A,M兩點連成的線段所在的直角三

角形的兩直角邊的長度分別為1,4,故兩點之間的距離是舊cm,故

沿正方體表面從點A到點M的最短路程是再cm.

答案嚴(yán)

息備選例題

CW如圖所示,正三棱柱ABC-ABG的底面邊長為2,側(cè)棱長為‘3D

為BC的中點，則三棱錐A-BQG的體積為（）

A.3B.2

C.1D.T

解析：由題意可知,AD_L平面BiDC,,

即AD為三棱錐A-BDG的高,且AD=2X2=v,

易求得以BM』x2X電件

所以“一片2三X蜴X電1.故選C.

C1力如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB,AC,AD兩兩互相垂直，平面

ABC〃平面DEFG,平面BEF〃平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多

面體的體積為.

AC

\

D

E

解析：因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示,過點C作CH±DG

于點H,連接EH,即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三

棱柱BEF-CHG.

y_q1-

由題意，知二棱柱DEH-4BC=△0??AD=3X2X1義2=2,V三棱柱BEF-CHG=

1

SABEF?DE=2X2X1X2=2,故所求兒何體的體積為VABC-DEFG=2+2=4.

答案：4

.

若圓錐的表面積是15兀，側(cè)面展開圖的圓心角是可求圓錐的

體積.

■

解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為1,則2兀r=^l,得l=6r.又S圓錐二兀

r2+nr,6r=7弘r2=15R，得r=、7,圓錐的高為

___________厄i

,VP-r2V36r2-j■重的話V35\i,-V3問維的什工□4VG2b

h===r=X*=5，圓錐的體積為1V=3nrh=

；竺25^

3JIXVX5n.

麗已知正三棱臺（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面

的射影是下底面的中心）的上、下底面邊長分別是2cm與4cm,側(cè)棱

長是限cm,試求該幾何體的體積.

解:如圖,0',0分別是上、下底面的中心，連接00',0'B「OB.在平

面BOO'Bz內(nèi)作B，EJ_OB于點E.

△A'B'C'是邊長為2的等邊三角形,O'是中心,

2gR5

所以O(shè)'B'=3X2XT=V(cm).

空

同理0B=3cm,

2第i

則BE=OB-O'B'=~T(cm).

詬迪

在Rt^B'EB中，BB'="cm,BE=3cm,

^42^42

所以B'E=W"cm,即三棱臺的高為與"cm,

所以三棱臺的體積為

1同丹丹絲X16X匕X4也

V=3XVX(4X16+4X4+^44)=~1-(cm3).

靈蕩寺笈名致然魁

課時作業(yè)

@選題明細(xì)表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

空間幾何體的幾何特

2,3,410

征、直觀圖

空間幾何體的體積與

1,5,6,8,912,13

表面積

折疊與展開問題711

綜合問題14,15

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.《算術(shù)書》竹簡于二十世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，

這是我國現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作,其中記載有求“困蓋”的術(shù):置如其周,

令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長

1

1與高h(yuǎn),計算其體積V的近似公式V^l2h,它實際上是將圓錐體積公

25

式中的圓周率門近似取3,那么，近似公式V^^l2h相當(dāng)于將圓錐體

積公式中的“近似?。–）

2225157355

A.vB.ac.soD.U3

1111125157

解析:V=5兀r2h=3n?（V）2卜二京力.由京仁*,得弘七萬.故選C.

2.（多選題）（2021?山東濰坊調(diào)研）下列關(guān)于空間幾何體的敘述正確

的是（CD）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓或矩形

C.長方體是直平行六面體

D.存在每個面都是直角三角形的四面體

解析：A.當(dāng)頂點在底面的射影是正多邊形的中心時才是正棱錐，不正

確;B.當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面才為矩形或圓,

否則為橢圓或橢圓的一部分,不正確;C正確;D正確,如圖，正方體

ABCD-ABCD中的三棱錐C「ABC,四個面都是直角三角形.故選CD.

3.（多選題）如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個角

度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是（AC）

A.四棱柱B.四棱臺C.三棱柱D.三棱錐

解析:根據(jù)題圖，因為有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都

易證是平行四邊形,因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱.故選AC.

4.如凰一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個底角

為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是

（D）

/（A'）

A.2+VB.1+V

C.4+2aD.8+46

解析：由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形,如圖所示.

由于O'D'=2,"C=2,

所以0D=4,DC=2,

在題圖中過D'作D'HJ_A'B'（圖略），易知A'H=2sin45°=應(yīng),

所以AB=A'B'=2A'H+以=2應(yīng)+2,

故平面圖形的面積為8=^--AD=8+4V2故選D.

5.（2021?山東聊城模擬）在《九章算術(shù)》中，將有三條棱互相平行且

有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”.現(xiàn)有一個羨除如圖所示,DA

_L平面ABFE,四邊形ABFE,CDEF均為等腰梯形,AB〃CD〃

EF,AB=AD=4,EF=8,點E到平面ABCD的距離為6,則這個羨除的體積是

（C）

A.96B.72C.64D.58

解析:如圖,將多面體分割為兩個三棱錐D-AGE,C-HBF和一個直三棱

柱GAD-HBC.

這個羨除的體積為V=2X3X2X2X6X4+2X6X4X4=64.故選C.

6.（2021?河南鄭州調(diào)研）現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸

截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為（D）

解析:設(shè)底面圓的半徑為R,圓柱的高為h,依題意2R=h=2,所以R=l.

所以圓錐的母線為1*十期*+1次因此S圓錐門R1=1X百

Ji=‘Ji.故選D.

7.如圖，正三棱柱ABC-AIBICI的側(cè)棱長為a,底面邊長為b,一只螞蟻從

點A出發(fā)沿每個側(cè)面爬到Ab路線為A-M-N-Ai,則螞蟻爬行的最短

路程是（A）

4*+9949a2+爐

4商+9臚逅24萬2

解析:正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形,矩形的長為3b,寬為

a,則其對角線AA.的長為最短路程，因此螞蟻爬行的最短路程為

士+胡故選A.

8.（2020?浙江卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位:cm）為2冗，且它的側(cè)面

展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位:cm）是.

解析:如圖,設(shè)圓錐的母線長為1,底面半徑為r,

則圓錐的側(cè)面積S側(cè)=nrl=2Ji,

所以r?1=2.

又圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,

所以0nr=2JI,

所以1=2,所以r=l.

答案：1

9.如圖，在4ABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB_L平面ABC,且AE〃FC〃

BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.

E

解:法一如圖，取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何

體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.

所以V幾何體二V三枝柱+V四棱錐?

由題意知三棱柱ABC-NDM的體積為義8X6X3=72.

111

四棱錐D-MNEF的體積為V2=§-S梯形MNEF-DN=3X2X（1+2）X6X8=24,

則幾何體的體積為V=V,+V2=72+24=96.

法二用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA'=BB，=CC'

111

=8,所以V幾何體=2V三棱柱=2,SAABC,AA'=2X24X8=96.

B級綜合運用練

10.（多選題）（2021?山東煙臺調(diào)研）在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一

定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)

的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀可能是（ABD）

A.圓面B.矩形面

C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面

解析:將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部

分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面，但圓柱桶內(nèi)的水平面不

可以呈現(xiàn)出梯形面.故選ABD.

11.（多選題）（2021?湖北武漢模擬）長方體ABCD-ABCD的長、寬、

高分別為3,2,1,則（BC）

A.長方體的表面積為20

B.長方體的體積為6

C.沿長方體的表面從A到G的最短距離為3企

D.沿長方體的表面從A到C.的最短距離為24

解析:長方體的表面積為2X（3X2+3X1+2X1）=22,A錯誤.長方體的

體積為3X2X1=6,B正確.如圖1所示,長方體ABCD-AiBCDi

中，AB=3,BC=2,BBk1,將側(cè)面ABBA和側(cè)面BCCB展開,如圖2所示.

連接AC?貝IJ有AC尸所5,即經(jīng)過側(cè)面ABB,A,和側(cè)面BCCB

時,A到C,的最短距離是舊；將側(cè)面ABBA和底面ABCD展開,如圖3

所示,連接ACb則有AC尸門2+#=3企,即經(jīng)過側(cè)面ABB.A,和底面

ABCD時,A到C.的最短距離是3衣;將側(cè)面ADDA和底面ABCD展

開,如圖4所示.

LT______

A4Bi

圖3圖4

連接AG,則有ACL"+即經(jīng)過側(cè)面ADD.A,和底面ABCD

時一,A到G的最短距離是2*因為3伍2叫所以沿長方體表面

由A到G的最短距離是36,C正確,D錯誤.故選BC.

12.（2021?重慶診斷）一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展

出，如圖，需要設(shè)計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，

罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8m,體積

0.5m3,其底部是直徑為0.9m的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至

少間隔0.3m,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2m,氣體每立方

米1000元，求氣體的費用最少為（B）

A.4500元B.4000元

C.2880元D.2380元

解析：因為文物底部是直徑為0.9m的圓形,文物底部與玻璃罩底邊至

少間隔0.3m,所以由正方體與圓的位置關(guān)系可知,底面正方形的邊長

最少為0.9+2X0.3=1.5（m）.又文物高1.8m,文物頂部與玻璃罩上底

面至少間隔0.2m,所以正四棱柱的高最少為1.8+0.2=2(m),則正四棱

柱的體積V=l.52X2=4.5(m3).因為文物的體積為0.5m3,所以罩內(nèi)氣

體的體積為4.5-0.5=4(m)因為氣體每立方米1000元,所以氣體的

費用最少為4X1000=4000(元).故選B.

13.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已

知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,

則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

解析:螺帽的底面正六邊形的面積為S=6X2X22Xsin60°=6丫》(加),

正六棱柱的體積為V尸6*X2=12有(01力，圓柱的體積為V2=弘

.

xo.52X2=2(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的體積為

百-23

V=V1-V2=(12*-)(cm).

答案：(12曲-初

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

14.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,B,為PB的中點,立為PD的中點，則棱

錐A-BCQ與棱錐P-ABCD的體積之比是(A)

A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3

解析:如圖，棱錐A-BCDi的體積可以看成是正四棱錐P-ABCD的體積減

去角上的四個小棱錐的體積得到.

因為R為PB的中點，以為PD的中點,所以棱錐BrABC的體積和棱錐

1

D-ACD的體積都是正四棱錐P-ABCD的體積的工棱錐C-PB.D）的體積與

1

棱錐A-PBD的體積之和是正四棱錐P-ABCD的體積的彳,則中間剩下的

Y29V

棱錐A-Bg的體積上/8』"3><和"=和一則則r/5：

Vp-ABCD=1:4.故選A.

15.（2021?廣東佛山質(zhì)檢）已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點

A,B滿足ASAB為等邊三角形,且面積為4曲,又知圓錐軸截面的面積

為8,則圓錐的側(cè)面積為

B

解析:設(shè)圓錐的母線長為1,由4SAB為等邊三角形,且面積為力小,所

I-JQ

以2「sin3=4丫》,解得1=4.

又設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則由軸截面的面積為8,得rh=8.

又r2+h2=16,解得r=h=2^,

所以圓錐的側(cè)面積S=wrl=Ji?2'^義4=8°R.

答案：82

第二課時球及其表面積與體積

美夕溶支波實四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

感考點一球的表面積與體積

1.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一

個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深

為6cm,若不計容器厚度,則球的體積為(A)

500VB66v

A.3cm3B.3cm3

1372-a2048V

C.3cm3D.3cm3

解析：如圖，作出球的一個軸截面，則MC=8-6=2(cm),BM=2AB=2X8=

4(cm).設(shè)球的半徑為Rcm,則R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,所以R=5,所以V球

4500

3

=3JIX5二虧(cm).故選A.

c

2.圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm,有一個實心鐵球浸沒于容器的

水中，若取出這個鐵球,測得容器的水面下降了Qcm,則這個鐵球的表

面積為cm2.

45

解析:設(shè)該鐵球的半徑為r,則由題意得多nr3=nX102X3解得r3=5;\

所以r=5,所以這個鐵球的表面積S=4JrX52=100(cm').

答案：1007

一題后悟通

1.求球的體積與表面積的方法

(1)要求球的體積或表面積,須通過條件能求出半徑R,然后代入體積

或表面積公式求解.

(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素,把握住了這兩點,計算球的表面積

或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.

2.球的截面問題的解題技巧

⑴有關(guān)球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面中

圓的問題.

⑵解題時要注意借助球半徑R,截面圓半徑r,球心到截面的距離d構(gòu)

成的直角三角形，即R2=d2+r2.

戚考點二球的接、切問題

。角度一“相接”問題

已知球0是三棱錐P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2衣，

點D是PB的中點，且CD=5,則球0的表面積為（）

A.虧B.石

28低!1&■

C.~^7~D.石

解析:依題意，由PA=AC=2,CP=2四，

得AP_LAC.

連接AD,由點D是PB的中點且PA=AB=PB=2,得AD=避，

又CD",AC=2,可知AD±AC,

又APCAD=A,APu平面PAB,ADu平面PAB,所以AC_L平面PAB.

以4PAB為底面,AC為側(cè)棱補成一個直三棱柱,則球0是該三棱柱的外

1

接球，球心0到底面4PAB的距離d=2AC=l.

PA2

由正弦定理得4PAB的外接圓半徑產(chǎn)石高訶=存，

所以球0的半徑R=^釬

故球0的表面積S=4JiR2=B.故選A.

解題策略

處理“相接”問題,要抓住空間幾何體“外接”的特點，即球心到多面

體的頂點的距離等于球的半徑.

口角度二“相切”問題

70(1)已知正四面體p-ABC的表面積為Si,此四面體的內(nèi)切球的表

三

面積為S2,則與=.

⑵已知正方體的棱長為2,則與正方體的各棱都相切的球的表面積

是.

且

解析：(1)設(shè)正四面體的棱長為a,則正四面體的表面積為&=4X彳?a2

=Va2,其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的&即r^xTa^a,因此內(nèi)切

U2

球的表面積為S2=4Tir,-=6,貝！J$z=6=■.

⑵過正方體的對角面作截面如圖.

故球的半徑廠

所以其表面積S=4冗X（蟲）2=8n.

673

答案：⑴,⑵8”

解題策略

處理“相切”問題，要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決，截面過球心.

［針對訓(xùn)練］

1.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC=^,則該三棱錐的外

接球的表面積為（）

竺432^3

3

A.8冗B.JIC.3JID.27JI

解析:如圖,由PA=PB=PC=2,過P作PGJL平面ABC,垂足為G,則G為三

角形ABC的外心.

在4ABC中，由AB=AC=1,BC=可得NBAC=120°.

由正弦定理可得就也》。=2AG,即AG=1,

所以PG二師褥照

取PA的中點H,作HO±PA交PG于點0,連接0A,則點0為該三棱錐外

接球的球心.

PHPGPH-PA1x22^3

由△PHOS/^PGA,可得而=而,則PO=PG=W=V,

2^3

即該三棱錐外接球的半徑為與"，

2g16

所以該三棱錐外接球的表面積為4口義（虧）2=5九故選B.

2.在三棱錐P-ABC中，PAd_平面ABC且PA=2,AABC是邊長為由的等

邊三角形,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.3B.4nC.8bD.20b

解析：由題意得,此三棱錐外接球即為以4ABC為底面、以PA為高的

正三棱柱的外接球.因為4ABC的外接圓半徑r=TxV5X3=l,外接球

PA

球心到4ABC的外接圓圓心的距離d=3=l,所以外接球的半徑

R"十絲佟所以三棱錐外接球的表面積為S=4五R2=8冗.故選C.

3.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的

體積為.

解析:當(dāng)球為圓錐的內(nèi)切球時,球的半徑最大.

如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.

其中球心為0,設(shè)其半徑為r,AC=3,OC=1,

所以AO尸1c%整

因為00i=0M=r,

所以A0=A0「00i=2°-r,

又因為△AMOS^AOC,

OM_AOr2岳ryf2

所以而=茄，即2H解得r=T,

所以該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

?^2

V=3JlX(萬')3=可.

答案:行

M備選例題

CWD一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個圓面的距離

是4cm,則該球的體積是()

100*208?

A.3cm:iB.3cm1

500*416g.

C.3cm3D.3cm3

解析:根據(jù)球的截面的性質(zhì)，得球的半徑R="二+.=5(cm),所以V球二

500M

nRJ3(cm3).故選C.

CW球內(nèi)切于正方體的六個面,正方體的棱長為a,則球的表面積

為

解析:正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點是六個面（正方形）

的中心,經(jīng)過四個切點及球心作截面,如圖，

a

所以有2r=a,r=2所以S=4nr2=五a2.

答案：短2

靈活》醫(yī)漕致提髭

課時作業(yè)

2選題明細(xì)表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

球的體積與表面積1,2,3,5

球的切、接問題4,6,7,8,9

綜合問題10,11,12,13,1415,16

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為‘2的正四棱柱的各頂點均在同一個球

面上，則該球的體積為（D）

A.虧B.4兀C.2JiD.不

解析:因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半,所

-V12+12+（V2）2—,—

以半徑尸2^十,十”勾=1,所以V球=3X13=3.故選D.

2.（2021?安徽安慶調(diào)研）已知在四面體PABC中，PA=4,BC=2,,

PB=PC=2避,PAJ_平面PBC,則四面體PABC的外接球的表面積是

（C）

A.160JiB.128JiC.40nD.32n

解析：因為PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB±PC,又PA,平面PBC,所以

PA±PB,PA±PC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直,以PA,PB,PC為從同一頂

點出發(fā)的三條棱補成長方體,所以該長方體的體對角線長為

胸2+PB2+POV12+12+16=2舊故該四面體的外接球半徑

為收.于是四面體PABC的外接球的表面積是4nX（向）MOn.故

選C.

3.已知A,B,C為球0的球面上的三個點，為AABC的外接圓.若。

。1的面積為4jAB=BC=AC=0Ch,則球。的表面積為（A）

A.64nB.48弘C.36冗D.32n

解析:如圖所示,設(shè)球0的半徑為R,OOi的半徑為r,因為OOi的面積

AB

為4九所以4冗二冗/,解得r=2,又AB=BC=AC=00i,所以51n60。=2r,解得

AB=2@故00尸2遍,所以R2=0O1+r2=（2^）2+22=16,所以球0的表面積

S=4JiR2=64n.故選A.

4.（多選題）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M,N,若線

段MN的最小值為6-1,則（ABC）

A.正方體的外接球的表面積為12Ji

B.正方體的內(nèi)切球的體積為了

C.正方體的棱長為2

D.線段MN的最大值為2避

解析:設(shè)正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一

半，即Ea,內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即2因為M,N分別為外接球和

V3?生后

V

內(nèi)切球上的動點,所以MNrain=Ta-2=^-a=-1,解得a=2,即正方體的

棱長為2,C正確；正方體的外接球的表面積為4m義（百）2=12北，A正

確；正方體的內(nèi)切球的體積為WB正確;線段MN的最大值為

舟￡百

V

2a+2=+1,D錯誤.故選ABC.

5.如圖，在圓柱0。內(nèi)有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均

相切.

記圓柱oa的體積為v?球o的體積為%,則皈的值是.

解析:設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱oa的底面圓的半

■R2-2R

巴~

徑為R,高為2R,故/=3=2

3

答案3

6.(2021?湖南長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC-ABG內(nèi)有一個體積

為V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,=3,則V的最大值是.

解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的體積V最大,則球與直

三棱柱的部分面相切,若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面AABC的內(nèi)切圓的

11

半徑為r,則2X6義8=2*(6+8+10)?r,所以r=2,2r=4>3,不符合題意.

3

則球與三棱柱的上、下底面相切時,球的半徑R最大，則2R=3,即R=2

49

故球的最大體積V=3JIR=2方.

9

答案：5n

7.已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,且這個

32

球的體積是5n,那么這個三棱柱的體積是

432

解析：設(shè)球的半徑為r,則三盯一=父JI,得r=2,則正三棱柱的高為2r=4.

又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正

三角形的邊長為4仃,所以正三棱柱的體積為

V=￥x(4*)2*4=486.

答案：48曲

8.(2021?新高考八省聯(lián)考)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為

10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積

為.

解析：因為圓臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上,如圖

所示.設(shè)球的球心為0,圓臺上底面的圓心為0',則圓臺的高

00’?OQ2c.也2*=3,據(jù)此可得圓臺的體積為V旦n

X3X(52+5X4+42)=61n.

答案：61五

9.在半徑為15的球。內(nèi)有一個底面邊長為12百的內(nèi)接正三棱錐

A-BCD,求此正三棱錐的體積.

解：（1）如圖甲所示的情形,顯然0A=0B=0C=0D=15.設(shè)H為ABCD的中心,

則A,0,H三點在同一條直線上.因為HB=HC=HD=3X2X12V=12,所以

0M呵9,

所以正三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)=9+15=24.

2百y=I。*

又SABCD=4X(1

所以V三梭錐A-BCD=1*108^^X24=864^^.

（2）對于圖乙所示的情形，同理,可得正三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)，

V

=15-9=6,SABCD=1080

所以V二棱錐A-BCD=3*108^^X6=216^^.

綜上,可知正三棱錐的體積為864機或216百.

B級綜合運用練

10.已知aABC是面積為7■的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.

若球0的表面積為16口，則0到平面ABC的距離為（C）

里

C.1D.T

2

解析:設(shè)球0的半徑為R,則4nR=16JI,解得R=2.設(shè)4ABC外接圓的

半徑為r,邊長為a.因為4ABC是面積為丁的等邊三角形,所以

1更些-/a2--?/5

2a??2=4,解得a=3,所以廠三?、,=§><、=，所以球心0到

平面ABC的距離d=^k=懺可=1.故選C.

11.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球0的球面上,PA=PB=PC,AABC

是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點，NCEF=90°,則球0

的體積為（D）

A.8"貳B.4訴nC.2fD.訴n

解析:因為點E,F分別為PA,AB的中點,所以EF〃PB,

因