高等數(shù)學(xué)梯度計算

1第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度2一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場.設(shè)一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達涼快的地點？處，問題的實質(zhì)：

應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行．3需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問題梯度問題4

討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)5當(dāng)沿著趨于時，是否存在？6記為7的方向?qū)?shù)為同理,沿y軸正向的方向?qū)?shù)分別為在點沿著軸正向若偏導(dǎo)存在,則8方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：9證明由于函數(shù)可微，那么增量可表示為方向?qū)?shù)的存在及計算公式那末函數(shù)在該點沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，定理如果函數(shù)在點可微分，且有

為軸到方向l的轉(zhuǎn)角．其中計算公式10故有方向?qū)?shù)兩邊同除以得到11故x軸到方向l的轉(zhuǎn)角解方向l即為所求方向?qū)?shù)12解由方向?qū)?shù)的計算公式知〔1〕最大值;〔2〕最小值；〔3〕等于零？例2求函數(shù)在點(1,1)沿與x軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有13故方向?qū)?shù)到達最大值;方向?qū)?shù)到達最小值;方向?qū)?shù)等于0.14推廣:三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)它在空間一點沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定義為

其中〕15方向?qū)?shù)的計算公式16解令故方向余弦為求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).是曲面例3設(shè)

在點處的指向外側(cè)的法向量,17故18三、梯度19設(shè)是方向l上的單位向量，

當(dāng)時，有最大值.其中由方向?qū)?shù)公式知20結(jié)論當(dāng)不為零時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．梯度的模為21在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截,得曲線它在xoy面上投影方程：等高線稱為等值線.等值線幾何上，稱為等高線.22例如,23等值線上任一點處的一個法向量為說明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).值線，24問題：上山時，如何選擇最快的方向？計算方法課程中的一種計算策略：“瞎子下山法〞25

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)26解由梯度計算公式得故那么在處梯度為例4求函數(shù)

在點處的梯度，并問在何處梯度為零？27一、方向?qū)?shù)〔注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別〕小結(jié)28二、梯度〔注意梯度是一個向量〕定義方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模：29三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度：其中30思考題問函數(shù)在某點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最