多元函數(shù)求極值(拉格朗日乘數(shù)法)

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實(shí)際問題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)內(nèi)容：一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都適合不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值。如果都適合不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值．極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。例1函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極小值。因?yàn)閷τ邳c(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)。例２函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處函數(shù)值為零，而對于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點(diǎn)。例３函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：證不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有類似地可證在點(diǎn)(-3,2)處，又所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值(-3,2)=31。例2某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為2m3解設(shè)水箱的長為，寬為，則其高應(yīng)為，此水箱所用材料的面積，即 （，）可見材料面積是和的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)。令，解這方程組，得： ，從這個(gè)例子還可看出，在體積一定的長方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中為某一常數(shù)求其對與的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)聯(lián)立 （1）由這方程組解出，及，則其中，就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。例如，要求函數(shù)在附加條件， (2)下的極值，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中，均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與(2)中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來求解，這樣得出的就是函數(shù)在附加條件(2)下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。例3求表面積為而體積為最大的長方體的體積。解設(shè)長方體的三棱長為，則問題就是在條件（3）下，求函數(shù)的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù)求其對x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 （4）再與(10)聯(lián)立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得 ＝， ＝．由以上兩式解得將此代入式(10)，便得=這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積為最大，最大體積。小結(jié)：本節(jié)以一元函數(shù)極值為基礎(chǔ)，研究多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值問