2021-2022學(xué)年河南省商丘第一高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年河南省商丘第一高級(jí)中學(xué)高一（下）期中

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（2+i）=l-K則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.B.-|C.|D.I

2.以下說(shuō)法正確的是（）

A.若；IN=6（4為實(shí)數(shù)），4則必為零

B.若一〃b//c,則五〃下

C.共線向量又叫平行向量

D.若五和方都是單位向量，則日=3

3.給出下列四個(gè)命題：

①各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②若直線I，平面a,〃/平面處則al/?；

③若平面外兩點(diǎn)到平面的距離相等，則過(guò)兩點(diǎn)的直線必平行于該平面；

④異面直線a,b不垂直，則過(guò)a的任一平面與b都不垂直.

其中正確命題是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

4.△AEC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c.若AABC的面積為吐尤士，則C=（）

4

n717T

B.Dj

234

5.已知點(diǎn)4（1,2）、8（3,2）、C（3,4），則向量四在前方向上投影向量為（）

A.（4號(hào)B.（1.1）C.（2,2）D.（V2,V2）

6.在正方體4"。-48傳也中，棱長(zhǎng)為3,E為棱BBi上靠近J的三等分點(diǎn)，則平面

4E2截正方體ABCD—4&GD1的截面面積為（）

A.2VT1B.4V11C.2V22D.4V22

7.如圖，扇形的半徑為1,且就.麗=0，點(diǎn)C在弧?上運(yùn)

動(dòng)，若元=%用+y而，則2x+3y的最大值是（）

A.反

B.V10

C.V7

D.V5

8.在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a=a2+ZJ2-c2=absinC,

acosB4-bsinA=c,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.tanC=2

B.4

C.△ABC的面積為6D.b=V2

9.如圖，在直三棱柱ZBD-4避1。1中，AD=BD=AAr,

^DAB=45°,P為為。1的中點(diǎn)，則直線BP與所成的角

余弦值為（）

A.叵

5

B包

5

C.立

3

D.包

3

10.已知三棱錐S-ABC中，SA1平面ABC,SS=AB=BC=2,AC=2vL點(diǎn)E,F分

別是線段ZB,BC的中點(diǎn)，直線ZF,CE相交于點(diǎn)G,則過(guò)點(diǎn)G的平面a與截三棱錐

S-ABC的外接球。所得截面面積的取值范圍為（）

A.尊4兀］B.苧3兀］C.［等,4初D.岸,3捫

11.設(shè)平面向量區(qū)反不滿(mǎn)足|菊=|3|=2,五與石的夾角為泉（五一V）?=0.則I不I

的最小值為（）

A.V3B.V3+1C.V3-1D.1

12.在長(zhǎng)方體4BCD-48傳1。1中，AB=AD=1,AAr=2,P是線段BC】上的一動(dòng)點(diǎn)，

如下四個(gè)命題中，

①4P與平面BCG/所成角的正切值的最大值是?；

②41P〃平面4D1C；

③4P+PC的最小值為等；

④以4為球心，或?yàn)榘霃降那蛎媾c側(cè)面CODiC的交線長(zhǎng)是全

真命題共有幾個(gè)（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

第2頁(yè)，共19頁(yè)

13.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(2-i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a是實(shí)數(shù)，則|1-3a+

i\二---

14.已知向量方=(cos。,sin。),3=(痘,0),則|百一片|的最大值為.

15.在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.acosB=(2c—b)cosA,a=3,

若點(diǎn)。在邊BC上，且BD=2DC,則4。的最大值是.

16.已知正三棱錐S-ABC,SA=SB=SC=2痘,AB=3,球。與三棱錐S-ABC的

所有棱相切，則球。的表面積為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知Z]=l—i,z2=3—2i.

(1)求2逐2；

(2)求絲.

Z1

18.在銳角在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.且滿(mǎn)足V5a-2bsinA=0.

(1)求角B的大??；

(2)若a+c=5,且a>c,b=V7，求宿.彳？的值.

19.如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形4BCD是正方形，DEJ■平：

面4BCO,BFJL平面ABCD,DE=2BF=2AB./米

(1)證明：平面2BF〃平面CDE；/i\\

(2)若AB=2,求多面體4BCDEF的體積./汐*、\

20.在AABC中，AB=8,AC=BC=5.

(1)若點(diǎn)E滿(mǎn)足荏=J就+；荏，直線4E與BC交于點(diǎn)F,求黑的值.

26\CB|

(2)若點(diǎn)。為線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，求前.方的取值范圍.

如圖，在三棱柱ABC-中，側(cè)棱底面

ABC,AC=3,AB=5,BC=4,AAT=4,點(diǎn)。是A\

4B的中點(diǎn).

(1)求證：AC1BC1；

(2)求證：AJ〃平面CDB[；

(3)求三棱錐D-44傳1的體積.

B

如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地4OAB,其中04=3km,OB=3?m，

^AOB=90。.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在

中間挖一個(gè)人工湖△OMN,其中M,N都在邊4,8上，且NMON=30°,

挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下的4OBN地帶開(kāi)設(shè)兒

童游樂(lè)場(chǎng).為安全起見(jiàn)，需在AOaN的一周安裝防護(hù)網(wǎng).

(1)當(dāng)4M=|kznn寸，求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度;

(2)若要求挖人工湖用地△0MN的面積是堆假山用地△04M的面積的百倍，試確定

乙4?！钡拇笮?

(3)為節(jié)省投入資金，人工湖AOMN的面積要盡可能小，問(wèn)如何設(shè)計(jì)施工方案，可使△

0MN的面積最??？最小面積是多少？

第4頁(yè)，共19頁(yè)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???z(2+i)=l-i,

.I_(D(2T)_13

??Z_^_(2+i)(2T)_g一

???復(fù)數(shù)Z的虛部為-1.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：對(duì)于4，元=6時(shí)，4=0或五=0,所以選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對(duì)于B,方=6時(shí)，滿(mǎn)足五〃E，石〃3但五〃工不一定成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)向量的定義知，共線向量又叫平行向量，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,宓礪都是單位向量，貝1]|回=|3|，但|=至不一定成立，選項(xiàng)O錯(cuò)誤.

故答案為：C.

根據(jù)平面向量的定義與性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的命題真假性判定即可.

本題考查了平面向量的定義與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：①側(cè)面都是正方形，但底面如果不是正多邊形，也不是正棱柱，比如側(cè)

面是正方形，但底面是菱形的柱體不是正四棱柱，故①錯(cuò)誤；

②由面面垂直的判定定理知：若直線11平面a,Z〃平面/?,則al/5,故②正確；

③若平面外兩點(diǎn)到平面的距離相等，則過(guò)兩點(diǎn)的直線必平行于該平面，如果兩點(diǎn)在平

面的兩側(cè)，則不成立，故③錯(cuò)誤；

④假設(shè)存在過(guò)a的平面與b垂直，根據(jù)線面垂直的定義可知bla,所以假設(shè)不成立，故

④正確.

故選：C.

根據(jù)正棱柱的特征，可判斷①的正誤；由面面垂直的判定定理判斷②的正誤；找出反

例否定③；由反證法判定④.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用余弦定理解三角形、三角形面積公式等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)

題.

由S^ABC=-absinC='+”一，，得sinC=""三,=cosC，由此能求出結(jié)果.

242ab

【解答】

.：&ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,4ABC的面積為,

4

222

c1k?6a+b-c

?,*S&ABC~-tthsinC=-，

222

si.n「C--a-+-b----c--cosC「,

2ab

Tl

???0<C<7r,.?"=[.

故選C.

5.【答案】B

【解析】解：麗=(2,0),AC=(2,2),

則向量荏在前方向上投影向量為鬻-備=21--g=(1,1),

\AC\\AC\①V4窗+4v4+4

故選：B.

利用求投影向量的公式進(jìn)行求解.

本題考查了投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

第6頁(yè)，共19頁(yè)

【解析】解：延長(zhǎng)4E、4名交于點(diǎn)F,連接5尸交SG于點(diǎn)G,如圖,

在正方體ABCD-418也1。1中，平面平面BCC1B1，

???平面n平面40D1&=平面4FDin平面BCC/i=EG,

ADJ/EG,

又也=3近，EG=y/2,

；.四邊形AEG。1是梯形，且為平面NED1截正方體力BCD-4&GD1的截面.

又???DrG=AE=V13，在等腰梯形AEG。1中，過(guò)G作G”1ADX,

???GH=V11.

S=|(AD1+EG)?GH=H&+3V2)-VlT=2V22.

故選：C.

根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.

本題考查立體圖形的截面面積，根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，是本題解題關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)槌?赤=0，所以04_L0B,

以。為原點(diǎn)，。4OB所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則4(1,0),8(0,1),

因?yàn)榉?xE+y而，所以C(x,y),

又點(diǎn)C在圓弧卷上運(yùn)動(dòng)，所以/+y2=i,可設(shè)％=cos0,y=sind,其中。C[0,§,

所以2x+3y=2cos9+3sin6—V13sin(0+<p)，其中cos(p=^=,

所以0G(0弓)，

故。+96(0,兀)，

當(dāng)6+9=1時(shí)，2久+3y取得最大值，為VH.

故選：A.

以。為原點(diǎn)，。4OB所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得CQ,y),從而

知/+丫2=1,可設(shè)x=cos。，y=sind,其中。e[0,；],再結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)，得

解.

本題考查平面向量的綜合，熟練掌握平面向量的數(shù)量積，三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖

象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4,va2+b2-c2=absinC,

由余弦定理得2abeosC=absinC,則tanC=2,A正確；

對(duì)于B,??,tcmC=2,:?sinC=彘,cosC=狀,

??,acosB+bsinA=c,由正弦定理得：

sinAcosB4-sinBsinA=sinC=sin(/4-8)

=sinAcosB+cosAsinB,

sinBsinA=cosAsinB,又sinBH0,

???sizM=cos4,???/￡((),TT),???4=%B正確；

sinB=sin(A4-C)=sinAcosC+cosAsinC

_V2+立_2__372

―2.%十2.遍—2忖

又。=同，由正弦定理得：

b=*=U學(xué)=3近，。錯(cuò)誤；

stnA

2

S^ABC=\absinC=|-V10?3^/2-=6,C正確.

故選：D.

由a?+人2-=absinC,acosB+bsinA=c,利用余弦定理，正弦定理可求角C,B的

三角函數(shù)值，進(jìn)而求b,利用三角形的面積公式即可求其面積.

第8頁(yè)，共19頁(yè)

本題考查了余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：取BD中點(diǎn)E,連接E],AE,

直三棱柱ABD-43也中，AD=BD=AAt,4fMB=45。，「為3也的中點(diǎn),

???PDJ/BE,PD[=BE,二四邊形BED]P是平行四邊形，

P8〃DiE,NADiE是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補(bǔ)角）,

令A(yù)D=BD=4a=2,貝1此48。=45°,且4。1DE,

2222

二AE=\!AD+DE=V5M￡?i=>JAD+DD12=2企,。速=y/DE+DD1=遮,

AD+DE2-AE2_/io

??12i

?cosZTlOiE2血,。送-5'

???直線PB與45所成的角的余弦值為唱.

故選：B.

取B。中點(diǎn)E,連接AE,推導(dǎo)出4W1E是直線PB與AD1所成的角，利用余弦定理求

出cos-lDiE即可.

本題考查了異面直線所成的角，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：^AB2+BC2=AC2,故AB_LBC,將三棱錐S-ABC補(bǔ)形成正方體,

如圖所示，

已知三棱錐S-ABC的外接球球。的半徑R=生至！=V3，

2

取AC的中點(diǎn)D,連接BD必過(guò)點(diǎn)G,

因?yàn)锳B=BC=2,即BD=：AC=&,所以也，

233

因?yàn)?0=^SA=1,所以0G2=0D2+DG2=I2+(y)2=/

則過(guò)點(diǎn)G的平面截球。所得截面圓的最小半徑"=R2一OG2=3一/=蔡，

所以截面面積的最小值為仃2=等，最大值為兀/?2=37r.

故選：D.

可用補(bǔ)形法，補(bǔ)全為正方體，先計(jì)算三棱錐的外接球半徑，由題意可計(jì)算0G2,當(dāng)截面

垂直。G時(shí)，截面面積最小，截面過(guò)球心時(shí)面積最大

本題考查了補(bǔ)體思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：設(shè)E=Qy)，a=(2,0),

因?yàn)閨為|=|3|=2，五與石的夾角為所以B=(1,遮)，

由伍一力@一？)=0,得(2-x)(l-x)-y(V3=y)=0,即(x-1)2+(y-y)2=

所以向量^的起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在圓心為(|,亨)，半徑為1的圓上，

所以I司之］(>+$2_1=舊_1,

故選：C.

設(shè)］=(%,y)，a=(2,0),則方=(1,遮)，由0—。?@一牙=0，結(jié)合平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算法則，可得向量工的起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在圓心為(|,日)，半徑為1的圓上，再利用

圓的性質(zhì)，得解.

第10頁(yè)，共19頁(yè)

本題考查平面向量的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的數(shù)量積，圓的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵,

考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：對(duì)于①，連接BiP,如圖所示,

在長(zhǎng)方體ABC。-41B1GD1中，A1B1_L面BCGB「

???4Alp%是直線&P與平面BCG為所成的角，

在中，tanz.APB=

RtzMiPBi11o-^rDjr

在RMC/iB中，當(dāng)BiPlBQ時(shí)，B]P最小，此時(shí)BiP=絲吟與=窄=乎,

BC]V55

??.tan乙41PBi的最大值是爭(zhēng)①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，連接4Ci，如圖，

在長(zhǎng)方體ABCD-48傳1。1中，

???&DJ/BC且=BC,.?.四邊形4D1CB是平行四邊形,

???AiB〃D]C,

又,??0傳u面/DC????拉〃面40?

同理可證GB〃面4。傳，

又???nGB=B,4$u面&BC1，GBu面A$G，

二面4BG〃面AD1C,又,：A]PU面4BG，

???&P〃平面4D1C,②正確；

對(duì)于③，將面&BG沿翻折與ABCCi在同一個(gè)平面，且點(diǎn)久,C在的兩側(cè)，連接

&C,如圖，

在△&BG中，A1"=a,A、B=BJ=4,

31

:.sinz/iGB=-^=,cosz.A1C1B=^=,

在RMCiBC中，CCi=2,BC=1,BCr=75.

i2

???sinzFQC=藐,cos乙B￡C=彘,

???cosz^iQC=cosQ&GB+乙BCQ

=cosz/liCxBcosZ-BCrC-s\nZ-A1CrBsinZ.BQC

123i_V2

=標(biāo),赤一荷,忑=一行’

在ZM1GC中，由余弦定理得：

2

41c2=ArCl+CrC—2A1C1-C1CcosZ-A1C1C

=2+4-2-72-2-(--)=-.

,10y5

??.A1c=W，即為4P+PC的最小值，③正確；

對(duì)于④，設(shè)M是以4為球心，魚(yú)為半徑的球面與側(cè)面CDD1C的交線上的一點(diǎn)，

由于力。A.^iCDDyC,DMu面COOiC,AD1DM,

DM=>J2-AD2=1.

所以交線為以。為圓心，1為半徑的四分之一圓周，所以交線長(zhǎng)是條④正確.

故選：D.

利用長(zhǎng)方體的幾何特征作出線面角，然后表示出線面角的正切值求其最值即可判斷①;

利用面&BC]〃面4。也，可得到&P〃平面4。道，即可判斷②；將面&BC]沿Bq翻折

與ABCCi在同一個(gè)平面，且點(diǎn)兒,C在BG的兩側(cè)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，求其最小

第12頁(yè)，共19頁(yè)

值，判斷③；利用球的兒何特征判斷出交線為以。為圓心，1為半徑的四分之一圓周，

進(jìn)而判斷④.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：???(2-i)(a+i)=2a+1+(2-a)i的實(shí)部與虛部相等，

■-2a+1=2-a,解得a=

???|1-3a+i|=|i|=1.

故答案為：1.

根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】V2+1

【解析】解:根據(jù)題意，向量五=(cos仇sin。),b=(或,0)，則之—b=(cos3-丘,sin。)，

則|五一by=(cos?！猇2)2+sin26=3—2y/2cos6>

又由一14cosOW1,貝1」|百一石|2的最大值為3+2位，

故|方-方|的最大值為J3+2應(yīng)=V2+1：

故答案為：V2+1.

根據(jù)題意，求出行-3的坐標(biāo)，求出|行-旬2的表達(dá)式，分析可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1+百

【解析】解：因?yàn)閍cosB=(2c-b)cosA,a=3,

由正弦定理得sin4cosB=2sinCcosA-sinBcosA,

即sin(4+B)=2sinCcosA=sinC,

由C為三角形內(nèi)角得sinC>0,

所以cosA=p

故A=g,

設(shè)△ABC的外接圓圓心0,外接圓半徑r,

則「=琮"編|=值

取BC中點(diǎn)M,=-BC=-,OM=70B2-()M2=3--=—,

22q42

Rt△DOM中，DM=BD-BM=2-1=5OD-y/OM2+DM2=J(y)2+(1)2-1，

所以/W<AO+OD=r+OD=y/3+當(dāng)且僅當(dāng)圓心。在AD上時(shí)取等號(hào)，

所以AD的最大值為1+V3.

故答案為：1+百.

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求A,然后結(jié)合正弦定理及三角形的邊長(zhǎng)

關(guān)系及圓內(nèi)角三角形性質(zhì)可求.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，還考查了分析問(wèn)題的能

力，屬于中檔題.

16.【答案】(19-8V3)7T

【解析】解：取等邊AABC的中心E,連

接SE,貝USE_L平面4BC,

連接4E并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D,則。為BC中

點(diǎn)，且4。1BC,

在SE上找到棱切球的球心，連接OD,則

0。即為棱切球的半徑，

過(guò)點(diǎn)。作OF1SA于點(diǎn)尸，則OF也是棱切

球的半徑，設(shè)。。=OF=R,

因?yàn)镾4=SB=SC=2?AB=3-所以求得AD=苧,AE=遮,DE=亨,

由勾股定理得：SE=Vt谷=3，且44SE=30。，設(shè)0E=/i,

OD=y/OE2+ED2=,S0=3-/i,0F=g(3-h)，

由題意得:,解得：八=b一1或一1一四,

當(dāng)h=V5-l時(shí)，R2=/i2+|=Y-2V3,此時(shí)球。的表面積為(19一8g)?r,

當(dāng)棱切球的半徑最大時(shí)，切點(diǎn)為4,B,C,由于乙4SE=30。,S4=SB=SC=26,

可求得最大半徑R=2Ktem30。=2，

而當(dāng)h=—8一1時(shí)，R2=九2+：=5+2b>4,

44

顯然不成立，故h=-舊一1舍去，

綜上：球。的表面積為(19-8百)兀.

故答案為：(19一8百)小

第14頁(yè)，共19頁(yè)

畫(huà)出圖形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半徑，求出表面積.

本題考查了正三棱錐內(nèi)切球表面積的計(jì)算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)閦】=l一i,z2=3-21,

所以Z1Z2=(1-i)(3-2i)=3-2i-3i+2i2=l-5i.

(6Z2_3+2i_(3+2i)(l-i)_5-i_5_￡

l，房―1+i-(l+i)(l-i)-2-22,

【解析】(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合共飄復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解.

本題考查了共規(guī)復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(I)因?yàn)檎贎—2bsinA=0，所以遮si幾4—IsinBsinA=0，

因?yàn)閟im4H0,

所以sinB=在，

2

又B為銳角，

則8=p

(11)由(1)可知，8=*因?yàn)榱?夕，

根據(jù)余弦定理，m=a2+c2-2accos^

整理，得(a+c)2—3ac=7,

由已知Q+c=5,

則QC=6,

又a>c,可得a=3,c=2,

所以南-AC=\AB\-\AC\cosA=cbcosA=2xV7x^=l.

【解析】(I)由正弦定理求解即可；

(II)由余弦定理，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定理，屬基礎(chǔ)題.

19.【答案】（1）證明：因?yàn)镈E1_平面ABC。，BF1平面4BC0,所以DE〃BF,

因?yàn)镈Eu平面CDE,BFC平面CDE,所以BF〃平面CDE,

因?yàn)樗倪呅?8co是正方形，所以4B〃C0,

因?yàn)镃Du平面CDE,ABC平面CDE,所以AB〃平面CDE,

因?yàn)锳B〃平面ABF,BFu平面ABF,且4BCBF=B,

所以平面4BF〃平面CDE；

（2）解：如圖，連接4C,BD,^ACC\BD=H,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是正方形，所以AC1BD.AH=CH=\AC,

因?yàn)镈EI平面力BCD,所以DE_LAC,

因?yàn)镈Eu平面BDEF,BDu平面BCEF,且CEnBC=C,

所以AC1平面BDEF,

因?yàn)镈E=2BF=2AB,且AB=2,

所以BF=2,DE=4,因?yàn)樗倪呅?BCD是正方形，

所以AC=BD=2&，貝以修=CH=a，

故多面體ABCCE尸的體積|Z=VA_BDEF+VC-BDEF=|x氏小；%重xV2+|x9卷越x

y/2=8.

【解析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得DE〃BF,再由線面平行的判定定理證出BF〃平面

CDE,4B//平面CDE,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明；

（2）連接ZC,BD,證出平面BDEF,由V=%_BDEF+%-BDEF，利用錐體的體積公

式即可求解.

本題考查了面面平行的證明和多面體體積的計(jì)算，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）設(shè)4F=xAC+y4B，因?yàn)镃,B,F三點(diǎn)共線，所以x+y=l.

一'>,，?，，?1/，一,11，，，

設(shè)/尸=uAE,AF=-AC+-AB

26f

第16頁(yè)，共19頁(yè)

r3

Z4

-X=-

=2

o2E

=331

所

解得

以

l=yL---

6=444

l+1

Xy=V-

4

.-.4AF=3AC+AB=4AF+3FC+FB，即3FC+定+CB=0，???4FC=BC，

故四=1

\BC\4'

(2)如圖，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則4(0,0),8(8,0),

。(4,3).設(shè)℃0)(0<t<8),BD=(t-8,0),CD=(t-4,-3)，

,'-BD-CD=(t-8)(t—4)=(t-6>—4>—4,?)

故當(dāng)t=6時(shí)，前.而取得最小值,且最小值為-4,(

當(dāng)t=0時(shí)，前?而取得最大值，且最大值為32,

￡

所以前?前的取值范圍為[一4,32].「nH

【解析】(1)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，平面向量共線定理推論，建立方程求解；

(2)建系，利用坐標(biāo)法，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建函數(shù)模型，通過(guò)函數(shù)思想求解.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量共線定理推論，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，函

數(shù)思想，屬中檔題.

21.【答案】（1）證明：???底面三邊長(zhǎng)4C=3,AB=5,

BC=4,

AC1BC,

■■■AAr_L底面ABC,A4J/CC],

ACCj1平面ZBC,???ACu平面ABC,

???AC1CCi，乂BCCCg=C,BCu平面CC】u

平面BCCiBi，

???AC_L平面BCCi%BC】u平面"。祖,

???AC1BC「

(2)證明：設(shè)CBi與GB的交點(diǎn)為E,連接。E,

,??0是4B的中點(diǎn)，E是BC】的中點(diǎn)，

DE//ACr,

???DEu平面eg,ACrC平面CD

4G〃平面

(3)解：取4c的中點(diǎn)M,連接DM,

???。是AB的中點(diǎn)，DM〃BC且。M=|FC=2.

y."BC1AC,BCl/Ui，???BC