2022高考（課標(biāo)全國卷）數(shù)學(xué)押題模擬卷04

2022高考（課標(biāo)全國卷）押題模擬卷04

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第【卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必

將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號

涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.（2021?浙江寧波高三開學(xué)?？迹┮阎狹，N是R的子集,且M1N,則（aN）DM=

（）

A.MB.NC.0D.R

【答案】C

【解析】M.N是R的子集，且M=如圖所示，5N表示Venn圖中的陰影部

分,

故可知，電N）cM=0,故選C.

2.（2021?江西上饒高三零模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i（4+3i）,則|z|=（）

A.4B.5C.16D.25

【答案】B

【解析】z=i（4+3i）=-3+4z?，故目=^（-3）2+42=5.故選B.

3.（2021?重慶南開中學(xué)高三期末）已知若（2x-的展開式中各項系數(shù)之和

為81,則展開式中常數(shù)項為（）

B.8C.24D.32

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，在（2%-守=）4中，令％=1,則（2-。）4=81,而。<0,故。=-1,

所以展開式中常數(shù)項為C；2i=8,故選B.

4.（2021?甘肅高三模考）已知向量滿足2=（4,0）,B=（租,1）,且同則工坂

的夾角大小為（）

?！?3兀

A.-B.—C.—D.—

4324

【答案】A

【解析】?.,同=4,二4加=4,解得:m=\,即B=

-r3?/?4y/2兀

cos<a1>=而=亞方=5-,所以萬和的夾角大小為1.故選A.

5.（2021?河北滄州高三第一次質(zhì)檢）設(shè)點A（4,5）,拋物線=8》的焦點為尸，尸為

拋物線上與直線4尸不共線的一點，則周長的最小值為（）

A.18B.13C.12D.7

【答案】C

【解析】因為拋物線V=8y,故焦點尸（0,2）準(zhǔn)線方程為：，=一2,過p作尸廳垂直

與準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于過A作A4垂直與準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于A,

22

根據(jù)拋物線的定義可知|尸耳=|州???A（4,5）,,-.|AF|=A/4+（5-2）=5

|A4,|=5-（-2）=7,

Cv"=|AF|+|AP|+|P耳=|A月+以AF|+|A4j=5+7=12,故選C.

6.（2021?興仁市鳳凰中學(xué)高三模考）PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，我國采用世

衛(wèi)組織的最寬值限定值，即PM2.5日均值在35〃g/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在

試卷第2頁，總17頁

35〃g~75〃g/n?空氣量為二級，超過75〃g/為超標(biāo).如圖是某地5月1日至10

日的PM2.5（單位：Ag/m3）的日均值折線圖，則下列說法不正確的是（）

A.這10天中有3天空氣質(zhì)量為一級B.從6日到9日PM2.5日均值逐漸降低

C.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是55

D.這1（）天中PM2.5日均值最高的是5月6日

【答案】C

【解析】由折線圖知，1，3,4三天空氣質(zhì)量為一級，A正確；從6日到9日PA/2.5日

41+45

均值逐漸降低，B正確；中位數(shù)是-------二43,C錯；這10天中加2.5日均值最高

2

的是5月6日為80,D正確.故選C.

p_1_ccqv*

7.（2021?湖北襄陽高三調(diào)研）函數(shù)=--------的圖象大致為（）

【解析】由題意可知，函數(shù)/（X）的定義域為R,

?=（-4/+*）=_x3lne+cosx=,

e-cos（-x）e-cosx

所以/(x)為奇函數(shù)，排除選項A,B；

當(dāng)xe0,g時，0<cosx<l,所以e+0°sx>i,

V27e-cosx

e+cosJC

所以/'(xbVln------->0,排除D.故選：C.

e-cosx

8.(2020?河北保定高三期末)已知函數(shù)/(%)=丁+2//，(1)+2,且圖像在點x=2處

Ji37r

的切線的傾斜角為。，則sin(]+a)cos(5--a)的值為()

3344

A.—B.——C.—D.——

16161717

【答案】D

【解析】V/(x)=Mx2f(1)+2,：.f(x)=3x2+4xf(1),：.f(1)=3+4f(1),

即/(1)=7,/(x)=3N-4JG?,?圖象在點x=2處的切線的斜率％=/(2)=4=

/乃、/3"、sinacosatana

tana,貝nII」sin(—Fa)cos(-------a)=-cosasina=----------------------=-----------------

22sinacosa1+tana

4

=------，故選Q.

17

22

9.(2021?河北安平高三?？?雙曲線二―4=1(a>0,Z?>0)的左右焦點為耳，

a1b2

B，漸近線分別為4,4,過點石且與4垂直的直線分別交4及〃于P,。兩點，若

滿足麗=；西+3而，則雙曲線的離心率為()

A.V2B.GC.2D.75

【答案】c

22

??％y

【解析】=1(?>0,〃>0)的左右焦點為尸2,???Q(-C,0),Fl(c,

0),雙曲線的兩條漸近線方程為y=-2x,y=-x,

aa

???過R的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P,Q.

?：OP=-OE+-OQ,.,.點P是線段Q0的中點，且PQLOP,

212

，過Fi的直線PQ的斜率kpQ=-,

b

...過Fi的直線P。的方程為:y=-(x+c),

b

試卷第4頁，總17頁

h

'=-X2ah

解方程組(a,WP,—),

\Cc

尸在c)

：.\PFx\=\PQ\=h,\PO\=af|OFi|=|O尸2|=|0Q=C,|QB|=2a,

ba

\*tanZQOF2——,cosZQOF2——,

ac

〃

由余弦定理，得cosNQOB=c?+c2,—42=1-2勺a2=」a,

2c2c2c

即e2-e-2=0,解得e=2,或e=-1(舍)，故選C.

10.（202（）?黑龍江哈九中高三期末）我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐,

下廣二丈，高三丈.欲斬末為方亭，令上方六尺.問：斬高幾何？”大致意思是：有一個正

四棱錐下底邊長為二丈，高三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺

的上底邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少.如果我們把求截去的正四棱錐的高

改為求剩下的正四棱臺的體積，則該正四棱臺的體積是（注：1丈=10尺）（）

A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺

【答案】B

【解析】如圖所示，正四棱錐P-ABC。的下底邊長為二丈，即AB=20尺，高三丈，

即PO=30尺；截去一段后，得正四棱臺ABCD-AB'C'D,且上底邊長為ATT=6尺,

lx6

30-OO'?

所以一^—一，解得00=21,所以該正四棱臺的體積是

x20

2

V=-X21X（202+20X6+62）=3892（立方尺）.故選3.

3

-x2-4x+l,x<0

11.(2021?天津塘沽區(qū)高三一模)已知函數(shù)/(x)=<2(1Jx>0，若關(guān)于*的方

程(/(力-。(/(%)-加)=0恰有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(1,2)B.(1,5)C.(2,3)D.(2,5)

【答案】A

【解析】E&(/(x)-l)(/(x)-m)=0,得/(x)=l或/(x)=m,

作出y=/(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，方程/(x)=i有2個實根,

故方程/(%)=加有3個實根，故機的取值范圍為(1,2).

0,0<%<1,

12.(2021?陜西西安中學(xué)高三四調(diào))已知函數(shù)〃x)=|lnx|,g(x)=<

\x~―4|-2,x>1

若關(guān)于x的方程”x)+〃2=g(x)恰有三個不相等的實數(shù)解,則m的取值范圍是()

A.[0,ln2]B.(-2-In2,0)C.(-2-ln2,0]D.[0,2+ln2)

【答案】c

【解析】設(shè)解x)=?x)+m,

試卷第6頁，總17頁

作出函數(shù)兀v）和g（x）的圖象如圖:

則%。）是兀0的圖象上下平移得到，

由圖象知B點的縱坐標(biāo)為=/（1）+〃2=皿1+，片加,

A點的縱坐標(biāo)為g（2）=-2,

當(dāng)x=2時，/i（2）=ln2+m,g（l）=O,

結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知要使方程〃x）+/^g（x）恰有三個不相

等的實數(shù)解，必須且只需〃（X）與g（x）的圖象有三個不同的交點，必須且只需

Ml），。）m<0

，解得一2—ln2〈機＜0,

M2Ag⑵m+\n2>-2

即實數(shù)〃?的取值范圍是（一2-ln2,0],故選C.

第H卷（非選擇題）

二、填空題（共20分）

2

13.（2021.山東聊城東昌高三聯(lián)考）設(shè)a＞（）,b＞0,若百是3"與城'的等比中項,則一+

a

7的最小值為.

b

【答案】8

【解析】因為也是3"與32"的等比中項，則有TX3"=（G）2,即3"幼=3,得a+26

=1,則工+，=（a+2b）[2+1]=4+（竺+24+2“=8,當(dāng)且僅當(dāng)云

abyab）\ab）2

21

時取等號，即一十7的最小值為8.

ab

14.（2021?云南高三高考適應(yīng)性測試）如圖，在△43C中，點。是邊3C上一點，且

AB=4,BD=2,cosB=—,cosC=—,貝!IsinZDAC的值為_____.

164

B

DC

【答案】叵

4

【解析】在△A3。中，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cosB=9，可得AZ)=3.

T74入口十士由zr\r?A/52+BD^—AB^9+4—161.—

又由余弦定理，cosZA4DB=---------------=--------=——，進(jìn),+而可r得ZH

2A0W4xx

sinZADB=.

4

在△A0C中，sinZDAC=sin(ZADB-ZC),

由此可得sinADAC=sinZADBcosC-cosZADBsinC,

由已知可得sinC=巫，代入可得sinZDAC=叵文旦/叵=叵.

444444

15.(2021?江蘇廣陵揚州中學(xué)高三調(diào)考)拋物線M=2py(p＞0)上一點4(6,加)(瓶＞1)

到拋物線準(zhǔn)線的距離為節(jié)，點4關(guān)于y軸的對稱點為B,。為坐標(biāo)原點，404B的內(nèi)切圓與

。力切于點E,點F為內(nèi)切圓上任意一點，則麗?麗的取值范圍為.

【答案】[3-VL3+V3]

【解析】因為點4(遮，m)在拋物線上，所以3=2pm=7n=/,點1到準(zhǔn)線的距離

為成+：=當(dāng)，解得p=g或p=6.當(dāng)p=6時，m=：＜l,故p=6舍去，所以拋物線

方程為/=y,.-.4(73,3),B(-G3),所以4。48是正三角形，邊長為2百，

其內(nèi)切圓方程為"+0—2)2=1,如圖所示，.?.后年，設(shè)點尸(cos。，2+sin0)

(。為參數(shù))，則萬?OF=cos6+3+：sin。=3+V3sin(0+-),：.0E-OF6[3-

226

a,3+㈣.

試卷第8頁，總17頁

16.(2021?黑龍江大慶一中高三一模)已知長方體A8CZ)-48iGOi的頂點都在球。的

表面上，且AC=A4=2,則球。的表面積為.若41G與8。所成的角為60。，

則A.D與BG所成角的余弦值為.

31

【答案】8兀二或一

57

【解析】因為長方體外接球直徑恰為長方體對角線，所以球O的直徑

2R=7M2+Ac2=V22+22=樞，因此球O的表面積為4兀R?=8兀；

因為4G平行AC,所以AG與所成的角為AC與所成的角，設(shè)AC與3。交于

M因為4G與所成的角為60。，所以NAMD=60或NAA/￡>=120°

因為AC=2,所以當(dāng)NAA/D=60時AO=1，當(dāng)NAA〃)=120°時A￡)=J3

因為3cl平行ADi,所以Ai。與BG所成的角為AQ與ADi所成的角，設(shè)4。與A*

交于N,因為44i=2,所以當(dāng)AO=1時，

AN=DN=~,cos

2

3

從而4。與BG所成的角的余弦值為g,

因為A4i=2,所以當(dāng)A0=G時,

2

]_

7

從而40與BG所成的角的余弦值為

7

三、解答題（共70分）

17.（2021?江蘇“三診一?！备呖寄M）已知等差數(shù)列｛礪｝滿足：04=7,aio=19,其前

n項和為S?.

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項公式及

1

（2）若b?=-----,求數(shù)列｛瓦｝的前n項和為T,,.

"M+i

a,+3d=1

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為卬，公差為則《

[o,+9d=19

解得q=l,d=2,

a”=1+2（T?-1）=2〃—1"

+2

2一”

]=U-5______—

（2）bn=-----

（2〃-1）（2"+1）2\2/7-12n+1?

數(shù)列也｝的前〃項和為

18.（2021?遼寧大連一中高三模擬）在幾何體PE4BCD中，直角梯

形ABCD中，ABLAD,AB//CD,且C￡）=2AB=2A￡）=2,且

EC//PD,EC=；PD.

試卷第10頁，總17頁

p

E

(1)求證：平面￡BC_L平面PD5；

(2)若直線PB與平面POC所成角的正切值為走，求二面角A-PB-￡的余弦值.

：PD_￡面ABCD,P。J_BC,

在梯形ABC。中，過8作。交。C于，，二B”=l，

BD=\lDH2+BH2=y/T+l=y/2>BC=V2>A(^)2+(A/2)2=22,即

DB2+BC2=DC2>即5c_L￡>3.

VBCLDB,PDcBD=￡>，BC,平面PD3，

：BCu平面EBC平面E8CJ_平面PDB，

(2)連接PH，^”，面2/^^六/⑶e/為心與面2力0所成的角，

BH1

tan/BPH=PH=6,122

~PH~^2,/BH=1，,:PD+DH=PH,

Ph+1=2，?,?「￡)=1，

以。為原點，分別以ZM,。。與P。為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則mo,l),41,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),《0,2,g),可知

方=(1,1,一1),而=(0,1,0),

設(shè)平面P4B的法向量為i=(x,y,z),

PBa=Qx+y-z=0

可知，可取M=(1,0,1)，

ABa-0y=0

設(shè)平面PEB的法向量為b=（x,y,z）,詼=（一1,1,；

x-by-z=0

PBb^O

可知=>1八，可取5=(3,1,4),

,5=0-%+y+—z=0

2

ablx3+0xl+lx47713

可知兩向量的夾角的余弦值為cos。=

Rll^rVTTTV32+l+42-26

由圖可知二面角A—依一E為鈍角，所以二面角A—依一E的余弦值為—Ml

26

19.（2021?廣東東莞高三高考適應(yīng)性測試）東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便,

越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市民都會開汽車到離家最近的輕軌站，將車停

放在輕軌站停車場，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場帶來很大的壓力.某輕軌

站停車場為了解決這個問題，決定對機動車停車施行收費制度，收費標(biāo)準(zhǔn)如下:4小時

內(nèi)（含4小時）每輛每次收費5元；超過4小時不超過6小時，每增加一小時收費增加3

元；超過6小時不超過8小時，每增加一小時收費增加4元，超過8小時至24小時內(nèi)（含

24小時）收費30元；超過24小時，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計費.上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時的按一小

時計費.為了調(diào)查該停車場一天的收費情況，現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車的停留時間（假設(shè)每輛車

一天內(nèi)在該停車場僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：

五小時）(0.4)(4,5](5,6](6,7)(7,8](8,24]

頻數(shù)（車次）10010020020035050

以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的

概率.

（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研，記

錄并統(tǒng)計了停車時長與司機性別的2x2列聯(lián)表:

男女合計

不超過6小時30

孫時以上20

合計100

完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)？

（2）⑴X表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場停車一次所交費用，求X的概率分布列

及期望E（X、

（ii）現(xiàn)隨機抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車，J表示3輛車中停車費用大于E（X）的車輛

試卷第12頁，總17頁

數(shù)，求P?22)的概率.

參考公式:&2=7----\7----------77----7?其中〃=Q+〃+C+d

(a+〃)(c+d)(Q+c)S+d)

KK空Ao)0.400.250.150.100.050.025

0.7801.3232.0722.7063.8415.024

【解析】⑴2x2列聯(lián)表如下：

男女合計

不超過6小時103040

6小時以上204060

合計3070100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得叱=1°°X(2°X30-10x40)2

0.794<2.706

30x70x60x4063

所以沒有超過90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)：

(2)(i)由題意知，X的可能值為5,8,11,15,19,30,則

p(X=5)=—,P(X=8)=—,P(X=11)=1,P(X=15)=L

101055

71

p(X=19)=—,P(X=30)=—,

2020

所以X的分布列為

X5811151930

P(x)112]_71

1010552020

.-.￡(X)=5x—+8x—+llxl+15x-+19x—+30x—=14.65,

v71010552020

1713

(ii)由題意得P(X>14.65)=-+—+—=

3

所以《?5(3,g),

所以尸(肄2)=P(>2)+P(-)=*嗎+(|)2=3*x|+急喂.

20.(2021?北京房山高三第二次模擬)已知拋物線d=2py(p>0)過點(2』).

(I)求拋物線的方程和焦點坐標(biāo)；

(II)過點A(O,-4)的直線/與拋物線交于兩點點"關(guān)于y軸的對稱點為T,

試判斷直線77V是否過定點，并加以證明.

【解析】(I)因為拋物線V=2py(p>0)過點P(2,l),所以2〃=4,

所以拋物線方程為4)，，焦點坐標(biāo)為(0,1),

(II)設(shè)直線/的方程為丁=依-4,

y=Ax-4

由12/消y整理得f-4履+16=0，

IX=4)，

則A=16爐一64>0,即次1>2,

設(shè)M（菁,x）,N（w,y2）則T（F，%）,

且X]+々=4攵,X/2=16.

直線77V:y-y/&n（*-々），

X2+X1

y=———（x-x2）+y2,

x2+%

v221

/.y=--------（x—x7）d—,

4（X,+X2）-4-

x2-x}x2-x}x212

???）=--------x-------------d-----

444-

x+丑工

y=

44

即丁=x+4,

4

所以，直線77V恒過定點(0,4).

21.(2021屆河南省開封市高三二模)已知函數(shù)/(x)="e'+(x+l)sinx+cosx.

冗

(1)當(dāng)4=1,xN—耳時，求/(X)的最小值；

⑵若函數(shù),他)J(x)sinxcoss,一和回。,子，若函數(shù)g(x)的

導(dǎo)函數(shù)g'(x)存在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=xev+(x+l)sinx4-cosx,

試卷第14頁，總17頁

=(x+l)e'+sinx+(x+l)cosx-sinx=(x+l)(e"+cos，,

7171

當(dāng)時，，>0，cosx>0,所以/+cosx>0.

當(dāng)時，e、>l，|cosx|<l,所以e”+cosx>()，

71

所以當(dāng)xN彳時，e*+cosx>().

2

故由/'(力之。，得尤之一1；由/''(x)<0,得一

所以/(x)的減區(qū)間為一/」)，單調(diào)遞增區(qū)間為[T，”)，

所以/(x)的最小值為/(-l)=—；+cosl.

(2)由題意得，g(x)=oe*+sinx,xe-3,O)u[o,子

兀I/兀

函數(shù)g'(x)有零點，即/(1)=。/+85%=0在--,01lul0,—上有解,

設(shè)機(力=一等，sinx+cosx

則租'(X)

若加(x)20，則sinx+cosx20,即④.卜+：卜。廨得一%，"于，且"。；

若根(x)<0,則sinx+cosxvO,即夜sin(冗+<0,解得年<工〈才，

TT\I5jrI5jr/IT

所以〃？(x)在一10,—上是增函數(shù)，在(亍彳上是減函數(shù).

J22

又-在e4>一1，

2

6三/Q_3H

所以一注e‘Ka<—l，或一l<a42J了,

22

0>(^2—

所以實數(shù)4的取值范圍是L一524,-1)UI-l,2*e,

選做題

22.【選修4-4參數(shù)方程與極坐標(biāo)】

（2021屆西南名校聯(lián)盟“333”高考備考診斷性