離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程

第一章

離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第1頁(yè)本章目錄離散時(shí)間信號(hào)——序列離散時(shí)間系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程連續(xù)時(shí)間信號(hào)取樣Matlab實(shí)現(xiàn)2離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第2頁(yè)1.1引言信號(hào)信號(hào)與信息信號(hào)表示信號(hào)分類系統(tǒng)系統(tǒng)作用系統(tǒng)分類系統(tǒng)描述與分析3離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第3頁(yè)信號(hào)與信息信號(hào)是信息表現(xiàn)形式信息則是信號(hào)詳細(xì)內(nèi)容交通燈信號(hào)傳遞信息：紅燈停而綠燈行。信號(hào)是傳遞信息函數(shù)數(shù)學(xué)上表示成一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量函數(shù)一維變量：時(shí)間或其它參量語(yǔ)音信號(hào)表示為一個(gè)時(shí)間變量函數(shù)靜止圖像信號(hào)表示為兩個(gè)空間變量亮度函數(shù)4離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第4頁(yè)信號(hào)分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)：連續(xù)時(shí)間域內(nèi)信號(hào)幅度能夠是連續(xù)數(shù)值，或是離散數(shù)值離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間點(diǎn)上信號(hào)幅度一樣能夠是連續(xù)數(shù)值，或是離散數(shù)值特殊形式：模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)：時(shí)間和幅度都是連續(xù)數(shù)值信號(hào)，實(shí)際中與連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)常通用。數(shù)字信號(hào)：時(shí)間和幅度都離散化信號(hào)。5離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第5頁(yè)本章主要內(nèi)容離散時(shí)間信號(hào)基本概念離散時(shí)間系統(tǒng)定義及其性質(zhì)線性常系數(shù)差分方程及其求解方法理想取樣：連續(xù)時(shí)間信號(hào)數(shù)字處理概念和基本方法Matlab實(shí)現(xiàn)6離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第6頁(yè)1.2離散時(shí)間信號(hào)——序列序列定義及表示序列基本運(yùn)算幾個(gè)慣用序列序列周期性用單位脈沖序列表示任意序列7離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第7頁(yè)1.2.1序列定義及表示序列定義數(shù)字序列：離散時(shí)間信號(hào)普通只在均勻間隔離散時(shí)間nT上給出數(shù)值序列表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞(1.1)圖1.1圖形表示用單位脈沖序列表示8離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第8頁(yè)序列表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均勻間隔離散時(shí)間點(diǎn)T采樣時(shí)間間隔n為非整數(shù)時(shí)沒(méi)有定義，不能認(rèn)為此時(shí)x(n)值是零9離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第9頁(yè)圖1.1序列圖形表示10離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第10頁(yè)1.2.2序列基本運(yùn)算和積移位標(biāo)乘翻轉(zhuǎn)累加差分時(shí)間尺度變換序列能量卷積和11離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第11頁(yè)基本運(yùn)算—序列和設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)(1.2)表示兩個(gè)序列和，定義為同序號(hào)序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。12離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第12頁(yè)例：序列和例1.1設(shè)序列計(jì)算序列和x(n)+y(n)。解：13離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第13頁(yè)例：序列求和圖示14離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第14頁(yè)基本運(yùn)算—序列積

設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)(1.3)

表示兩個(gè)序列積，定義為同序號(hào)序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。15離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第15頁(yè)例：序列積例1.1設(shè)序列計(jì)算序列和x(n)?y(n)。解：16離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第16頁(yè)例：序列求積圖示x(n)17離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第17頁(yè)基本運(yùn)算—序列移位設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(n-m)(1.4)表示將序列x(n)進(jìn)行移位。

m為正時(shí)x(n-m)：x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項(xiàng)依次超前(左移)m位m為負(fù)時(shí)，則相反。18離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第18頁(yè)例：序列移位例1.1設(shè)序列計(jì)算序列和x(n+1)。解：19離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第19頁(yè)例：序列移位圖示x(n)20離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第20頁(yè)基本運(yùn)算—序列標(biāo)乘設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a≠0)，則序列y(n)=ax(n)(1.5)表示將序列x(n)標(biāo)乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列幅度為原序列a倍。21離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第21頁(yè)例：序列標(biāo)乘例1.1設(shè)序列計(jì)算序列和4x(n)。解：22離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第22頁(yè)基本運(yùn)算—序列翻轉(zhuǎn)設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)(1.6)

表示以n=0縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。23離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第23頁(yè)例：序列翻轉(zhuǎn)例1.2設(shè)序列計(jì)算序列和4x(n)。解：24離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第24頁(yè)基本運(yùn)算—序列累加設(shè)序列為x(n)，則序列(1.7)定義為對(duì)x(n)累加，表示將n以前全部x(n)值求和。25離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第25頁(yè)基本運(yùn)算—序列差分前向差分：將序列先進(jìn)行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)(1.8)后向差分：將序列先進(jìn)行右移，再相減▽x(n)=x(n)-x(n-1)(1.9)由此，輕易得出▽x(n)=Δx(n-1)26離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第26頁(yè)多階差分運(yùn)算

二階前向差分

二階后向差分

單位延遲算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-D

k階后向差分(按二項(xiàng)式定理展開)二階后向差分27離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第27頁(yè)基本運(yùn)算—時(shí)間尺度(百分比)變換

設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列

抽取序列y(n)=x(mn)(1.10)

x(mn)和x(n/m)定義為對(duì)x(n)時(shí)間尺度變換。插值序列

(1.11)28離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第28頁(yè)抽取序列x(mn)：對(duì)x(n)進(jìn)行抽取運(yùn)算不是簡(jiǎn)單在時(shí)間軸上按百分比增加到m倍以1/m倍取樣頻率每隔m-1個(gè)點(diǎn)抽取1點(diǎn)。保留

x(0)29離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第29頁(yè)插值序列x(n/m)：對(duì)x(n)進(jìn)行插值運(yùn)算表示在原序列x(n)相鄰兩點(diǎn)之間插入m-1個(gè)零值點(diǎn)

保留

x(0)30離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第30頁(yè)基本運(yùn)算—序列能量

設(shè)序列為x(n)，則序列(1.12)定義為序列能量，表示序列各取樣值平方之和；

若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。31離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第31頁(yè)基本運(yùn)算—序列卷積和設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列(1.13)定義為x(n)和z(n)卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很主要公式。32離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第32頁(yè)卷積和計(jì)算四個(gè)步驟

翻轉(zhuǎn)：x(m)，z(m)→z(-m)

移位：z(-m)→z(n-m)n為正數(shù)時(shí)，右移n位n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n位

相乘：z(n-m)?

x(m)（m值相同）

相加：y(n)=∑{z(n-m)?

x(m)}33離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第33頁(yè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！例：卷積和計(jì)算例1.3設(shè)序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0時(shí)，x(m)與z(n-m)沒(méi)有重合，得y(n)=0。

0≤n≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！34離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第34頁(yè)例：卷積和計(jì)算

4＜n≤6時(shí)，4＜n≤6時(shí)，n＞10時(shí)，x(m)與z(n-m)沒(méi)有重合，得y(n)=0。

35離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第35頁(yè)1.2.3幾個(gè)慣用序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列36離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第36頁(yè)單位脈沖序列δ(n)只在n=0時(shí)取確定值1，其它均為零δ(n)類似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m時(shí)取確定值1，而其余點(diǎn)取值均為零

37離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第37頁(yè)單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時(shí)常不定義，u(n)在n=0時(shí)為u(0)=1

δ(n)和u(n)關(guān)系：δ(n)=u(n)-u(n-1)

38離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第38頁(yè)單位矩形序列

N為矩形序列長(zhǎng)度

和u(n)、δ(n)關(guān)系

：39離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第39頁(yè)實(shí)指數(shù)序列a為實(shí)數(shù)當(dāng)|a|＜1時(shí)序列收斂當(dāng)|a|＞1時(shí)序列發(fā)散

40離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第40頁(yè)正弦序列

A為幅度ω為數(shù)字域角頻率φ為起始相位

x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到x(n)=Asin(ωn+φ)

歸一化:

ω=ΩT=Ω/fs

(ω與Ω線性關(guān)系)41離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第41頁(yè)復(fù)指數(shù)序列

ω為數(shù)字域角頻率用實(shí)部與虛部表示

用極坐標(biāo)表示

σ=0時(shí)，序列含有以2π為周期周期性

42離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第42頁(yè)1.2.4序列周期性

對(duì)于序列x(n)，假如對(duì)全部n存在一個(gè)最小正整數(shù)N，滿足x(n)=x(n+N)則序列x(n)是周期序列，最小周期為N。以正弦序列為例討論周期性設(shè)x(n)=Asin(ωn+φ)

則有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若滿足條件ωN=2kπ，則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)43離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第43頁(yè)周期性討論N、k為整數(shù)，k取值滿足條件，且確保N最小正整數(shù)。其周期為

2π/ω為整數(shù)時(shí)，取k=1，確保為最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為2π/ω。

例1.4序列，因?yàn)?π/ω=8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N=8。

44離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第44頁(yè)周期性討論2π/ω為有理數(shù)而非整數(shù)時(shí)，依然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5序列，2π/ω=8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω為無(wú)理數(shù)時(shí)，任何k都不能使N為正整數(shù)，這時(shí)正弦序列不是周期序列。例序列指數(shù)為純虛數(shù)復(fù)指數(shù)序列周期性與正弦序列情況相同。

45離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第45頁(yè)1.2.5用單位脈沖序列表示任意序列

任何序列都能夠用單位脈沖序列移位加權(quán)和來(lái)表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)卷積和，式中例1.6

46離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第46頁(yè)1.3離散時(shí)間系統(tǒng)

離散時(shí)間系統(tǒng)定義及表示

線性時(shí)不變系統(tǒng)

單位脈沖響應(yīng)與卷積和

線性時(shí)不變系統(tǒng)性質(zhì)

因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)

47離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第47頁(yè)1.3.1離散時(shí)間系統(tǒng)定義及表示

離散時(shí)間系統(tǒng)定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)惟一變換或運(yùn)算。以T[·]表示這種運(yùn)算y(n)=T[x(n)]對(duì)變換T[·]加以不一樣約束條件，所定義系統(tǒng)就含有不一樣特征和功效。線性時(shí)不變系統(tǒng):最主要、最慣用，可表征許多物理過(guò)程。48離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第48頁(yè)1.3.2線性時(shí)不變系統(tǒng)

線性系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理包含可加性和齊次性兩方面性質(zhì)

時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)時(shí)刻無(wú)關(guān)運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間而改變

線性時(shí)不變系統(tǒng)

既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變性系統(tǒng)

49離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第49頁(yè)線性系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)輸入序列與輸出分別為可加性:假如系統(tǒng)輸入之和與輸出之和滿足齊次性(或百分比性):設(shè)a為常數(shù)，系統(tǒng)輸入增大a倍，輸出也增大a倍線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)50離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第50頁(yè)例：證實(shí)一個(gè)線性系統(tǒng)注意：必須證實(shí)系統(tǒng)同時(shí)滿足可加性和齊次性，且信號(hào)及百分比常數(shù)都能夠是復(fù)數(shù)。例1.7試分析以下系統(tǒng)線性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng)

滿足疊加原理，線性系統(tǒng)

51離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第51頁(yè)時(shí)不變系統(tǒng)

輸入序列x(n)移動(dòng)任意m位后，輸出序列y(n)也移動(dòng)m位，數(shù)值卻保持不變。

m為任意常整數(shù)

時(shí)不變系統(tǒng)也稱為移不變系統(tǒng)

52離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第52頁(yè)例：證實(shí)一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)例1.7試分析以下系統(tǒng)時(shí)不變性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。二者相等，含有時(shí)不變性

時(shí)變系統(tǒng)

53離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第53頁(yè)1.3.3單位脈沖響應(yīng)與卷積和

單位取樣響應(yīng)(單位脈沖響應(yīng))h(n)=T[δ(n)]線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入為δ(n)時(shí)對(duì)應(yīng)輸出

線性時(shí)不變系統(tǒng)都能夠用它單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表征已知h(n)

可得到線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入輸出

54離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第54頁(yè)推導(dǎo)卷積和表示式

δ(n)表示x(n)系統(tǒng)輸出

疊加原理

時(shí)不變性

卷積和表示式:表示線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出等于輸入序列和單位脈沖響應(yīng)卷積。

55離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第55頁(yè)1.3.4線性時(shí)不變系統(tǒng)性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律能夠推廣到多個(gè)系統(tǒng)情況，由卷積和定義能夠很輕易加以證實(shí)。

56離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第56頁(yè)1.3.5因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)因果系統(tǒng)

系統(tǒng)某時(shí)刻輸出y(n)只取決于此時(shí)刻x(n)和以前輸入x(n-1)，x(n-2)，…，而和此時(shí)刻以后輸入x(n+1)，x(n+2)，…無(wú)關(guān)。先因后果

因果系統(tǒng)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)于外加輸入之前。非因果系統(tǒng)

當(dāng)前輸出還取決于未來(lái)輸入，不符合因果關(guān)系。57離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第57頁(yè)因果性充分必要條件

線性時(shí)不變系統(tǒng)含有因果性充要條件h(n)=0，n＜0證實(shí)充分條件若n＜0時(shí)，h(n)=0，則因而n0時(shí)刻輸出

可見，y(n0)只與m≤n0時(shí)x(m)相關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。58離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第58頁(yè)因果條件證實(shí)證實(shí)利用反證法證實(shí)必要條件假設(shè)因果系統(tǒng)，n＜0時(shí)h(n)≠0，則

在所設(shè)條件下，第二個(gè)求和式中最少有一項(xiàng)不為零，y(n)將最少和m＞n時(shí)某一個(gè)x(n)值相關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。59離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第59頁(yè)例：判斷因果系統(tǒng)例1.8判斷差分系統(tǒng)因果性。(1)前向差分系統(tǒng):y(n)=x(n+1)-x(n);(2)后向差分系統(tǒng):y(n)=x(n)-x(n-1)。解

因?yàn)榍跋虿罘窒到y(tǒng)y(n)決定于x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果。而后向差分系統(tǒng)定義為y(n)=x(n)-x(n-1)，顯然是因果。60離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第60頁(yè)討論因果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性因果系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)；非因果系統(tǒng)是不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。在含有較大延時(shí)情況下，能夠用因果系統(tǒng)去迫近非因果系統(tǒng)。比如語(yǔ)音處理、氣象、地球物理學(xué)等。

非因果系統(tǒng)在理論上是存在。比如，理想低通濾波器以及理想微分器都是非因果系統(tǒng)，但它們是不可實(shí)現(xiàn)。

61離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第61頁(yè)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)

系統(tǒng)每個(gè)有界輸入，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生輸出都有界。假如輸入滿足|x(n)|≤M＜+∞(M為正常數(shù))，有輸出|y(n)|≤P＜+∞(P為正常數(shù))。

判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定只要找出一個(gè)尤其有界輸入，對(duì)應(yīng)輸出是無(wú)界，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定。

判斷系統(tǒng)穩(wěn)定必須證實(shí)全部有界輸入，其輸出都是有界。62離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第62頁(yè)穩(wěn)定性充分必要條件

線性時(shí)不變系統(tǒng)含有穩(wěn)定性充要條件是其單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即證實(shí)充分條件若式成立，對(duì)于全部n都有|x(n)|≤M，得

即輸出y(n)有界，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

63離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第63頁(yè)穩(wěn)定條件證實(shí)證實(shí)利用反證法證實(shí)必要條件假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對(duì)可和

定義一個(gè)有界輸入計(jì)算輸出，有即y(0)無(wú)界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以假設(shè)不成立。

64離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第64頁(yè)例：判斷穩(wěn)定系統(tǒng)例1.9判斷累加器系統(tǒng)穩(wěn)定性解

考慮有界輸入x(n)=u(n)，累加器輸出為

即使n為有限值時(shí)，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對(duì)于全部n值(包含+∞)不存在有限值P，使得(n+1)≤P＜+∞，故系統(tǒng)輸出無(wú)界。

65離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第65頁(yè)例：判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)例1.10已知線性時(shí)不變系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)解

因?yàn)閚＜0時(shí)，u(-n-1)=1，所以h(n)≠0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

所以|a|＞1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|≤1時(shí)不穩(wěn)定。式中a為實(shí)常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。

收斂序列：模值隨n加大而減小，如|a|＞1時(shí)h(n)；發(fā)散序列：模值隨n加大而加大，如|a|≤1時(shí)h(n)。因?yàn)?6離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第66頁(yè)1.4線性常系數(shù)差分方程

離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型—差分方程

線性常系數(shù)線性差分方程求解

67離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第67頁(yè)1.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型—差分方程

差分方程是描述函數(shù)序列差分之間關(guān)系方程，由序列及其各階差分進(jìn)行線性疊加組成。

比如，對(duì)于一個(gè)二階差分方程將▽=1-D代入方程，得到展開得到二階線性常系數(shù)差分方程

68離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第68頁(yè)線性常系數(shù)差分方程普通形式

線性時(shí)不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式(1.44)無(wú)須是因果。假設(shè)是因果系統(tǒng)，變換得到線性：x(n-r)和y(n-k)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們相乘項(xiàng)，也沒(méi)有相互交叉項(xiàng)

常系數(shù)：決定系統(tǒng)特征系數(shù)均為常數(shù)

階數(shù)：y(n-k)項(xiàng)變量k最大值與最小值之差。

69離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第69頁(yè)差分方程方框圖表示

理論上表示系統(tǒng)，也能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。

比如，一階差分方程

b0x(n)表示將輸入x(n)乘上常數(shù)b0-a1y(n-1)表示將序列y(n)延時(shí)一位后乘以常數(shù)-a1兩個(gè)結(jié)果相加就得到y(tǒng)(n)序列圖中代表相加器，×代表乘法器，z-1代表延時(shí)一位延時(shí)單元。70離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第70頁(yè)1.4.2線性常系數(shù)差分方程求解

差分方程確實(shí)定解不但與差分方程形式相關(guān)，而且還與其初始條件相關(guān)。差分方程求解實(shí)際上求系統(tǒng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)：y1(n)零狀態(tài)響應(yīng)：y2(n)全響應(yīng)：全解y(n)=y1(n)+y2(n)求解差分方程時(shí)域求解法變換域求解法71離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第71頁(yè)比如遞推法求特解

例1.13已知一個(gè)因果線性時(shí)不變系統(tǒng)差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，設(shè)初始條件y(n-1)=0，求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。

解令x(n)=δ(n)，于是有因?yàn)橄到y(tǒng)含有因果性，遞推以下由此求出

h(n)=ah(n-1)+δ(n)

72離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第72頁(yè)1.5連續(xù)時(shí)間信號(hào)取樣

73離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第73頁(yè)1.5.1理想取樣

實(shí)際取樣:τ<<T，調(diào)制信號(hào)xa(t)，被調(diào)脈沖載波信號(hào)p(t)是脈寬τ﹑周期T周期性矩形脈沖串

。理想取樣:開關(guān)閉合時(shí)間無(wú)窮短τ→0

，取樣信號(hào)是xa(t)與矩形脈沖串p(t)相乘結(jié)果

。τ→0

時(shí)，理想取樣輸出為問(wèn)題提出：求理想取樣頻譜？

74離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第74頁(yè)理想取樣頻譜p(t)是周期函數(shù)，展開成傅里葉級(jí)數(shù)

取樣角頻率

Ωs=2π/T，取樣頻率

fs=1/T級(jí)數(shù)系數(shù)于是p(t)傅里葉變換為

75離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第75頁(yè)頻譜分析頻譜可表示為

取樣信號(hào)頻譜是連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜以取樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓而成頻譜幅度是原信號(hào)頻譜幅度1/T倍76離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第76頁(yè)頻譜分析結(jié)論對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行理想取樣后，取樣信號(hào)頻譜是原信號(hào)頻譜周期延拓形成，其周期等于取樣頻率Ωs。

奈奎斯特取樣定理：要想取樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則取樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜最高頻率。最高截止頻率Ωc---帶限信號(hào)奈奎斯特頻率Ωs折疊頻率Ωs/2若信號(hào)最高頻率超出折疊頻率，則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊。

77離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第77頁(yè)1.5.2信號(hào)恢復(fù)

利用理想低通濾波器還原滿足奈奎斯特取樣定理取樣信號(hào)。理想低通濾波器取樣信號(hào)經(jīng)過(guò)理想低通濾波器后頻譜78離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第78頁(yè)討論

單位脈沖響應(yīng)h(t)

于是輸出79離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第79頁(yè)內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)

h(t-nT)

取樣信號(hào)恢復(fù)出原連續(xù)時(shí)間信號(hào)80離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第80頁(yè)圖1.5.7理想恢復(fù)81離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第81頁(yè)由時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)恢復(fù)模擬信號(hào)過(guò)程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插過(guò)程。理想低通濾波方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還能夠用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個(gè)采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個(gè)采樣值來(lái)到，再跳到新采樣值并保持，所以相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所表示。對(duì)h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：(1.5.10)82離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第82頁(yè)圖1.5.9零階保持器輸出波形83離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第83頁(yè)圖1.5.10零階保持器頻率特

84離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第84頁(yè)其幅度特征和相位特征如圖1.5.10所表示圖中虛線表示理想低通濾波器幅度特征。零階保持器幅度特征與其有顯著差異，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出模擬信號(hào)是臺(tái)階形。所以需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多出高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用。85離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第85頁(yè)1.6Matlab實(shí)現(xiàn)慣用序列Matlab實(shí)現(xiàn)序列運(yùn)算Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab求解離散系統(tǒng)差分方程單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列

翻轉(zhuǎn)序列能量卷積和86離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第86頁(yè)單位脈沖序列δ(n-1)

n=[-3:3];%生成位置向量x=[(n-1)==0];%生成單個(gè)脈沖序列stem(n,x);axis([-3,3,0,1.5]);%標(biāo)示坐標(biāo)

87離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第87頁(yè)單位階躍序列

u(n+1)

n=[-3:3];%生成位置向量x=[(n+1)>=0];%生成階躍序列stem(n,x);axis([-3,3,0,1.5]);

88離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第88頁(yè)矩形序列生成函數(shù)function[x,n]=rectseq(n0,n1,n2,N)%單位矩形序列生成函數(shù)%調(diào)用方式[x,n]=rectseq(n0,n1,n2,N)n=[n0:n2];%生成位置向量x=[(n-n1)>=0&((n1+N-1)-n)>=0];%生成矩形脈沖序列89離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第89頁(yè)矩形序列

[x,n]=rectseq(-3,-1,4,5);stem(n,x);axis([-3,5,0,1.5]);90離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第90頁(yè)實(shí)指數(shù)序列

n=[0:10];%生成位置向量x=(0.6).^n;%生成實(shí)指數(shù)序列stem(n,x);axis([0,10,0,1.5]);91離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第91頁(yè)正弦序列

3sin(0.1πn+π/3)

n=[0:1:20];%生成位置向量x=3*sin(0.1*pi*n+pi/3);%生成正弦序列stem(n,x);axis([0,20,-4,4]);

92離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第92頁(yè)復(fù)指數(shù)序列

n=[-2:10];x=exp((0.2-0.5j)*n);%復(fù)指數(shù)序列subplot(1,2,1),stem(n,real(x));%用空心圓畫點(diǎn)line([-5,10],[0,0]);%畫橫坐標(biāo)subplot(1,2,2),stem(n,imag(x),'filled');%用實(shí)心圓畫點(diǎn)%line([-5,10],[0,0])93離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第93頁(yè)翻轉(zhuǎn):調(diào)用fliplrn=[-3:3];%生成一個(gè)序列

x=[0,0,1,0.5,0.25,0.125,0];stem(n,x);x=fliplr(x);%x排列次序左右翻轉(zhuǎn)

n=-fliplr(n);%向量n對(duì)n=0翻轉(zhuǎn)

stem(n,x);

94離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第94頁(yè)序列能量

conj求共軛復(fù)數(shù)sum求總和E=sum(x.*conj(x));

abs求幅值sum求總和E=sum(abs(x).^2);

95離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)教程第95頁(yè)卷積和：調(diào)用conv

x=[3,-3,7,0,-1,5,2];%序列x非零區(qū)間-4≤n≤2h=[2,3,0,-5,2,1];%序列x非零區(qū)間-1≤n≤4%調(diào)用conv計(jì)算卷積和

y=