高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

1/1高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷高二下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

一、選擇題：（本題共10個(gè)小題，每小題5分，共60分）

1．設(shè)z

ziiz2

),(12+-=則為虛數(shù)單位=

（）

（A）i--1（B）i+-1

（C）i-1

（D）i+1

2．下列等于1的積分是（）

A．

dxx?1

0B．dxx?+10)1(C．dx?101D．dx?1021

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+21+31+)1,(,1

21

>∈x時(shí)，有)(xfxxf'>恒成立，則不等式xxf>)(

的解集是（）

（A）（2-，0）∪（2，∞+）（B）（2-，0）∪（0，2）（C）（∞-，2-）∪（2，∞+）

（D）（∞-，2-）∪（0，2）

11.某小區(qū)有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放，假如要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么

不同的停放方法的種數(shù)為（）

A．16種

B．18種

C．24種

D．32種

12.設(shè)函數(shù)fx是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線yfx=在5x=處的切線的斜率為（）

Ａ．15

-

Ｂ．0

Ｃ．

15

Ｄ．5

二、填空題：（本題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）

13.若(2)aiibi-=-，其中a、bR∈，i是虛數(shù)單位，則2

2

ab+=_________。14.函數(shù)3

2

xxy-=的單調(diào)增區(qū)間為_________________。

15.定積分

dxxx?

?

?

??+?112的值等于_________________。16.若ABC?內(nèi)一點(diǎn)O滿意0=++OCOBOA，則)(3

1

+=

。類比以上推理過程可得如下命題：若四周體ABCD內(nèi)一點(diǎn)O滿意=+++，則=.三、解答題：（本題共6個(gè)小題，共74分）

17.（本題共12分）

一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述狀況下，分別求直至取得正品時(shí)所需次數(shù)X的概率分布列。（1）每次取出的產(chǎn)品不再放回去（2）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.18．（本題共12分）

已知(1)(12),(,)m

n

fxxxmnZ=+++∈綻開式中x的系數(shù)為11，求：（1）2x的系數(shù)的最小值；（2）當(dāng)2

x

系數(shù)取最小值時(shí)，求fx綻開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和。19．（本題共12分）

某班一信息奧賽同學(xué)編了下列運(yùn)算程序，將數(shù)據(jù)輸入滿意如下性質(zhì):①輸入1時(shí)，輸出結(jié)果是

4

1

；②輸入整數(shù))2(≥nn時(shí)，輸出結(jié)果)(nf是將前一結(jié)果)1(-nf先乘以3n-5，再除以3n+1.

（1）求f(2),f(3),f(4);（2）試由（1）推想f(n)（其中*Nn∈）的表達(dá)式，并給出證明.20.（本題共12分）

已知函數(shù)xxxf-=3

)(。（Ⅰ）求曲線)(xfy=在點(diǎn)))(,(tftM處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)0>a，假如過點(diǎn)),(ba可作曲線)(xfy=的三條切線，證明：)(afba恒成立，求k的最大值；

（3）當(dāng)4nm>≥時(shí)，證明(

)m

n

nmmn

nm>．

參考答案(理)

一、選擇題：CCAADACBADCB二、填空題：

13.514.)32,0(15．232ln+%)16.

++4

1三解答題

17.解：（1）由題意，X的可能取值為1，2，3，4，其中

10

7

)1(==XP，30

7

91073)2(=??=

=XP，120

7

8910723)3(=????==XP,

所以X的概率分布為

6(2)由題意，X的可能取值為1，2，3，4，其中

107

)1(==XP，

256

101083)2(=??==XP，500

27

101010923)3(=????=

=XP,

500

3

1010101010123)4(=??????==XP.

所以X的概率分布為

………………12分

18．解：（1）11

211mnCC+=Q，所以211mn+=………………2分

22

21213514(1)2(1)2416

mnCCmmnnm∴+=-+-=-+………………4分

當(dāng)5,3mn==時(shí)有最小值22；………………5分

（2）由（1）5,3mn==，所以5325

0125(1)(12)fxxxaaxaxax=+++=++++L

從而53

015(1)23faaa=+=+++L，………………8分

012345(1)01faaaaaa-=-=-+-+-，………………10分

所以1351

[(1)(1)]302

aaaff++=--=，即奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30………………12分19.解：由題設(shè)條件知f(1)=41,)(nf=1

35

3+-nn)1(-nf,

281

4171)2(=

?=∴f;701

104281)3(=

?=f;130

1

137701)4(=

?=f.………………3分(2)猜想：)(nf)

13)(23(1

+-=

nn（其中*Nn∈）……5分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)1=n時(shí)，4

1)113)(213(1,41)1(=+?-?=

f，所以此時(shí)猜想成立?！?分

（2）假設(shè)*)(Nkkn∈=時(shí)，)

13)(23(1

)(+-=kkkf成立

那么1+=kn時(shí)，

]

1)1(3][2)1(3[1)13(11)1(31)

13)(23(1

1)1(35)1(3)(1)1(35)1(3)1(++-+=

+?++=+-?

++-+=++-+=

+kkkkkkkkkfkkkf……………9分

所以1+=kn時(shí)，猜想成立。由（1）（2）知，猜想：)(nf)

13)(23(1

+-=

nn（其中*Nn∈）成立。

…………12分

20解：（1）求函數(shù))(xf的導(dǎo)數(shù)：13)('2

-=xxf。曲線)(xfy=在點(diǎn)))(,(tftM處的切線方程為：

))((')(txtftfy-=-，即322)13(txty--=?！?分

（2）假如有一條切線過點(diǎn)),(ba，則存在t，使3

2

2)13(tatb--=。

于是，若過點(diǎn)),(ba可作曲線)(xfy=的三條切線，則方程0322

3=++-baatt有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。記baatttg++-=2

3

32)(，則)(666)('2

attatttg-=-=。當(dāng)t變化時(shí)，)('),(tgtg的變化狀況如下表：

＋0－0＋

↗

極大值

ba+↘

微小值

)(afb-

↗

由)(tg的單調(diào)性，當(dāng)極大值0-afb時(shí)，方程0)(=tg最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)0=+ba時(shí)，解方程0)(=tg得0=t，2

3a

t=

，即方程0)(=tg只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0)(=-afb時(shí)，解方程0)(=tg得atat=-=,2

，即方程0)(=tg只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。

綜上，假如過),(ba可作曲線)(xfy=的三條切線，即

0)(=tg有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則??

?+.

0)(,

0afbba即)(afbaxh，)(xh是增函數(shù)，

所以當(dāng)80=x時(shí)，)(xh取得最小值25.11)80(=h.

所以當(dāng)汽車以80千米∕時(shí)的速度行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，

最少為25.11升?！?2分

22.解：（1）由于

lnfxaxxx=+，所以ln1fxax'=++．……………1分

由于函數(shù)lnfxaxxx=+的圖像在點(diǎn)ex=處的切線斜率為3，所以e3f'=，即lne13a++=．

所以1a=．…………………2分（2）解：由（1）知，lnfxxxx=+，

所以1fxkx恒成立，即ln1

xxx

kx+恒成立．………3分

令ln1

xxx

gxx+=-，

則

2

ln2

1xxgxx--'=

-，……………………4分

令ln2hxxx=--1x>，則1110xhxxx

-'=-

=>，所以函數(shù)hx在1,+∞上單調(diào)遞增．……………5分由于31ln30,422ln20hh=-，

所以方程0hx=在1,+∞上存在唯一實(shí)根0x，且滿意03,4x∈．

當(dāng)010xxhx>時(shí)，，即0gx'>，………………6分所以函數(shù)ln1

xxx

gxx+=-在01,x上單調(diào)遞減，在0,x+∞上單調(diào)遞增．

所以

000000min001ln123,411

xxxxgxgxxxx++-==

==∈????--．…7分

所以0min3,4kgxx≥時(shí)，lnln11

nnnmmm

nm++>

--．……………………10分即11ln11lnnmnmnm-+>-+．整理，得

lnlnlnlnmnnmmmnmnnnm+>++-．………11分

由于nm>，所以lnlnlnlnmnnmmmnmnn+>+．……………12分即lnlnlnlnmn

mmnnn

mmn+>+．

即(

)lnlnmn

m

mn

nnmm

n>．…………13分

所以

m

n

nmmnnm>．………………………14分

證明2：構(gòu)造函數(shù)

lnlnlnlnfxmxxmmmxmxx=+--，………9分

則1ln1lnfxmxmmm'=-+--．………………10分由于4xm>≥，所以1ln1ln1ln0fxmmmmmmm'>-+--=-->．所以函數(shù)fx在[),m+∞上單調(diào)遞增．………………11分由于nm>，所以fnfm>．所以