02將軍飲馬模型解析版

將軍飲馬模型考情*分析：］通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對(duì)稱點(diǎn)的選擇，動(dòng)點(diǎn)通常在對(duì)稱軸上，而且已知定點(diǎn)中往往有一個(gè)與X軸的交點(diǎn).考法主要有以下幾種：1?求取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)2?求最小值3求三角形或四邊形周長最小值.模型一：兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)如圖,為定點(diǎn),P為/上動(dòng)點(diǎn),如圖,為定點(diǎn),P為/上動(dòng)點(diǎn),求AP+BP最小值解析：作點(diǎn)』關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)土，連接ET,則RV=PA,所以R1+PB=RV+PBAA當(dāng)0、P、〃三點(diǎn)共線的時(shí)候，R4f+PB=AfBy此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）B/?A端點(diǎn)/■/'、、/I、 /1/乃折點(diǎn)

模型二：一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)如圖，P為定點(diǎn),M.N分別為CU和05上的動(dòng)點(diǎn)，求△PMN周長最小值解析：分別作點(diǎn)P關(guān)于Q」、03的對(duì)稱點(diǎn)，則LPMN的周長為PM+MN+NP=PfM+MN+NF9,當(dāng)F、M.N、丹共線時(shí)，匚PMN周長最小.模型三：兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)如圖，P、0為兩定點(diǎn)，N分別為Q」、02上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形POMN的最小值.解析：TP0是條定線段，???只需考慮PMb皿4N0最小值即可,分別作點(diǎn)P、0關(guān)于CU、O方對(duì)稱，PM+MN+NQ=FM+MN+NQ',當(dāng)P、M.N、0共線時(shí)，四邊形加N0的周長最小。

模型四：一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)如圖，P為定點(diǎn)，M.N分別為QL03上的動(dòng)點(diǎn)，求PA/+MN最小值。解析：作點(diǎn)p關(guān)于Od對(duì)稱的點(diǎn)p,PM+AfN=PM+MN,過點(diǎn)P作OB垂線分別交04、OB于點(diǎn)M、N,得PAT+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）模型五：將軍飲馬有距離例一.如圖，A.D為定點(diǎn)，B、C為直線/上兩動(dòng)點(diǎn)，BC為定值，求AB+BC+CD最小值?B C /解析：BC為定值，只需求AB+CD最小即可；平移至CE,則變成求CE+CD的最小值，基本將軍飲馬的模型例二、如圖，A.D為定點(diǎn)，B、C為直線/】.b上兩動(dòng)點(diǎn)，3C丄/1,求?購+BC+CD最小值?BC 12D解析：方C為定值，只需求AB+CD最小即可;

平移CD至BE,則變成求AB+BE最小，基本將軍飲馬.經(jīng)典例題剖析：例一：如圖1(注：與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(LO).B(5,0)、C(0,4)三點(diǎn).將點(diǎn)3將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:(2)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足PA+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)(請(qǐng)?jiān)趫D1中探索);【分析】(1)將點(diǎn)〃的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:y=t/(x-l)(x-5)=u(A-2-6x+5)r即可求解;(2)連接〃、C交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值為最小，即可求解；【解答】解：(1)將點(diǎn)“的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：心-1心-5)=心2-6兀+5),4貝IJ5^=4,解得：a=拋物線的表達(dá)式為：y=i(x2-6A+5)=4x2-^x+4,函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-竺);(2)連接B.C交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值為最小，解得:b=44直線的表達(dá)式為：y=—A-+4,5當(dāng)x=3時(shí)，y=-,5Q故點(diǎn)P(3,§)；例二：如圖，直線y=-x+3與x軸.y軸分別交于以C兩點(diǎn)，拋物線)，=_〒+加+c經(jīng)過點(diǎn)B、C,與

x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D?求拋物線的解析式；在a軸上找一點(diǎn)E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值:【分析】(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3.C兩點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),將點(diǎn)〃、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)連接CD交x軸于點(diǎn)E,則此時(shí)EC+ED為最小，即可求解;【解答】解：(1)直線y=-a-+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)〃、C的坐標(biāo)分別為(3.0)、(0.3),+r=0 f/?=7將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得： /一，解得:C=3 [c=3故函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3,令y=0,則兀=-1或3,故點(diǎn)A(-1,0)；(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD交x軸于點(diǎn)E,則此時(shí)EC+ED為最小，函數(shù)頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(14),點(diǎn)C(0,-3),將V、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線C7)的表達(dá)式為：y=7x-3,3當(dāng)y=0時(shí)，X=—,3故點(diǎn)EG,0),7則EC+ED的最小值為DCr=Jl+(4+3)2=5^2；例三：如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=-x2+bx+c交天軸于A.3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=-兀+3?

求拋物線的表達(dá)式：在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo):【分析】(1)先求得點(diǎn)3和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)3和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、。的方程，從而可求得b、c的值；(2)作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O,則0(3,3),則OP+AP的最小值為AO的長，然后求得AO的解析式，最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：(1)把*0代入y=-x+3,得：y=3,/.C(0,3).把y=0代入y=-x+3得：x=3,B(3,0),.. s 、、心 —9+3b+e=0將C(0.3)s3(3,0)代入y=-x?+/x+c得： , ,解得b=2,c=3./.拋物線的解析式為)=+2x+3?(2)如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O,則0(3,3).?.?o與O關(guān)于BC對(duì)稱,:.PO=PO?：.OP+AP=O,P+AP^AOf???當(dāng)A、P、O,在一條宣線上時(shí)，OP+AP有最小值.TOC\o"1-5"\h\z設(shè)AP的解析式為y=kx+b9則疔"弓，解得：k=；、b=：?申+〃=3 4 4???AP的解析式為y=^x+-|.4 4將y= +；與y=_x+3聯(lián)立，解得：尸真4 4 7 7???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,學(xué)).7 7例四：如圖，拋物線y=a^+bx+c的圖象過點(diǎn)A(-1,0)、3(3,0)、C(0,3)?求拋物線的解析式；在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得APAC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及SPAC的周長；若不存在，請(qǐng)說明理由:【分析】⑴由于條件給出拋物線與X軸的交點(diǎn)A(-LO)、3(3,0),故可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)心+1心-3),把點(diǎn)C代入即求得"的值，減小計(jì)算量.(2)由于點(diǎn)A.B關(guān)于對(duì)稱軸：宣線x=l對(duì)稱，故有必=刖，貝0C“m=AC+PC+PA=AC+PC+PB,所以當(dāng)C、P、〃在同一直線上時(shí)，C旳c=AC+C〃最小.利用點(diǎn)A、3、C的坐標(biāo)求AC、CB的長，求直線BC解析式，把x=l代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo).【解答】解：⑴.?拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、3(3,0)二可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+\)(x-3)把點(diǎn)C(0,3)代入得：一3“=3a=—1???拋物線解析式為???拋物線解析式為y=-x2+2x+3(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得APAC的周長最小.如圖1,連接PB、BC???點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸直線A=l±,點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱??.PA=PB???C?=AC+PC+PA=AC+PC+PB?.?當(dāng)C、P、3在同一直線上時(shí)，PC+PB=CB最小vA(-LO).B(3,0)、C(0,3)/.AC=Vl2+32=>/10,BC=7F+3r=3x/2???Sc=AC+CB=V10+3>/2最小設(shè)直線BC解析式為y=H+3把點(diǎn)〃代入得：3R+3=0,解得：k=-1/.直線BC：y=-x+3)乍=一1+3=2???點(diǎn)P(l,2)使APAC的周長最小，最小值為應(yīng)+3血專題訓(xùn)練1.(2020秋?馬山縣期中)如圖，拋物線)，=“〒+加+心工0)與x軸交于點(diǎn)A、3(1,0),與y軸交于點(diǎn)C，直線y=lx-2經(jīng)過點(diǎn)A.c?拋物線的頂點(diǎn)為D.對(duì)稱軸為直線/?2

求拋物線的解析式：設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G,使得GD+GB的值最小，若存在，求岀點(diǎn)G的坐標(biāo)：若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)利用一次函數(shù)的性質(zhì)求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A.B.C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式;(2)利用軸對(duì)稱-最短路徑方法得點(diǎn)G,先計(jì)算的解析式，令x=0可得點(diǎn)G的坐標(biāo).??點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C(0-2),\6a+4b+c=0將A(4,0),3(1,0),C(0-2)代入拋物線解析式得：f+b+c=0c=-2

???拋物線解析式為y=-lx2+-x-2；22（2）存在.如圖3,取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)伙，則點(diǎn)g的坐標(biāo)為（-1.0）,連接ED,直線ZTD與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn).ZZ 2 2 8ZZ 2 2 85o??頂點(diǎn)D（亍彳），928928設(shè)直線BfD的解析式為y=kx+d（k928928'-k+d=0則k,9，解得：“_k+d=—128???直線B'D的解析式為y=^x+^928289當(dāng)x=0時(shí).y=—r289???點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,—）.282.（2019-遵義）如圖，拋物線C｝：y=x2-2x與拋物線C2:y=ax2+bx^口大小相同、方向相反，它們相交于O,C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)、A,OA=2OB.（I）求拋物線U的解析式：■（2）在拋物線C：的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使PA+PC的值最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在,■說明理由;【分析】(1) C2：y=ax2+bx開口大小相同、方向相反，貝!)“=-1,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C?的表達(dá)式,即可求解；(2)作點(diǎn)C關(guān)于G對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)CY-1.3),連接AC，交函數(shù)C?的對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值最小，即可求解；【解答】解：⑴令:j=x2-2a=0,則*0或2,即點(diǎn)5(2,0),???c,,C,：y=ax2+hx開口大小相同、方向相反，則a=-\,則點(diǎn)A(4.0),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C,的表達(dá)式得：0=—16+初，解得：b=4,故拋物線C,的解析式為：y=-x2+4x；(2)聯(lián)立C?表達(dá)式并解得：x=0或3,故點(diǎn)C(3,3),作點(diǎn)C關(guān)于G對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C(l,3),連接AC交函數(shù)C2的對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC的長度=3血,此時(shí)點(diǎn)P(2,2)；3?(2020秋?金鄉(xiāng)縣期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0-3),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0).求二次函數(shù)的解析式：若0為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。在什么位置時(shí)QA+QC最小，求出0點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)^QAC的周長.【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)3,連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)0,連接A。，則此時(shí)AQ4C的周長最小，進(jìn)而求解.【解答】解：(1)?.?A(-1,0),C(0,—3)在)=/+加+e上，l—〃+c=0c=-3???二次函數(shù)的解析式為y=%2-2a-3；(2)點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)3,連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,連接則此時(shí)^QAC的周理由：QC的周長=AC+A0+0C=A3+AQ+QC=BC+C0為最小,由點(diǎn)3、C的坐標(biāo)得，宜線的表達(dá)式為y=x-3,當(dāng)x=l時(shí)，，=夫?一3=-2,即點(diǎn)0(1-2),則AQAC的周長最小值=BC+AC=3@+>/12+32=3近+皿?4.(2020秋?房縣期中)如圖，拋物線y=lx2-/zu+n與x軸交于A、〃兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-l),且對(duì)稱軸x=l.求出拋物線的解析式及A,〃兩點(diǎn)的坐標(biāo)：在對(duì)稱軸上方是否存在點(diǎn)D,使三角形ADC的周長最?。咳舸嬖?，求岀點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在?說【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D,此時(shí)三角形D4C周長最小，進(jìn)而求解;【解答】解：(1)???拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0-1),且對(duì)稱軸x=l,-齊1 2則丿2x-,解得嚴(yán)一亍，；〃=一1n=-l???拋物線解析式為y=-x2--x-l,3 32令￥=-+—一X—1=0,得：X[=—l,=3,? 3 3 ???A(7O),B(3?0)；(2)在對(duì)稱軸上存在D使三角形形ZMC的周長最小,連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D,此時(shí)三角形D4C周長最小.

\J=111/C汐8工1■8■圖1設(shè)BC的解析式為y=kx+bfA=—1 k=—把3(3,0八C(0.-l)分別代入上式得：丁‘』解得，~3,+b=0 . .〃=一1?故宜線BC的解析式為y=lA-l,當(dāng)x=l時(shí)，V=--r所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1-|):5.(2020秋?青羊區(qū)校級(jí)期中)如圖，拋物線y=a(x-^)2+h經(jīng)過點(diǎn)A(l,0),C(0,3).求拋物線與x軸的列一個(gè)交點(diǎn)3的坐標(biāo)；如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形朋OC的周長最??？若存在，求岀此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由：團(tuán)① 圖②【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性即可求解；(2)A、〃兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則P點(diǎn)即為所求，進(jìn)而求解;【解答】解：(1)由拋物線表達(dá)式知，函數(shù)的對(duì)稱軸為*|，而點(diǎn)A(1,O),根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性,則xB=l+2x(?-1)=4,2故點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(4.0)；(2)存在，理由：?.拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(1,0),3(4,0),..Ax3關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖1,連接BC,E1二BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC=BCt??四邊形P4OC的周長最小值為：OC+OA+BC,VA(l,0),B(4.0),C(0,3”3設(shè)直線BC解析式為y=kx+n,把〃、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得(必:解得*=一二U=3 Q“ 〃=3??.宜線BC的解析式為y=-Lx+3,4由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為A=|,當(dāng)X=|?時(shí),y=_}+3=善，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為6,I)；86.(2019?柳州)如圖，直線y=x-3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)3的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=ax2+bx+c(a^0)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)￡,點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為F,連接CE,以點(diǎn)F為圓心，丄CE的長為半徑作圓，點(diǎn)P為直線y=x-3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式:(2)求遜)P周長的最小值:【分析】(1)直線v=x-3,令*0,則y=-3,令y=0,則x=3,故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為(3,0)、(0,-3),即可求解；(2)過點(diǎn)3作直線y=a-3的對(duì)稱點(diǎn)g,連接3D交直線y=x-3于點(diǎn)P,直線ZT3交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)G,則此時(shí)AZ辺P周長=BD+PB+PD=BD+BB為最小值，即可求解；【解答】解：(1〉宜線y=x-3,令x=0,則)，=-3,令y=0,則x=3,故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為(3,0)、(0,-3),則拋物線的表達(dá)式為：y=(心-3)(x-1)=心2-4卄3),則3“=—3,解得：a=—\,故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+4x-3…①；(2)連接M交于直線于P;此時(shí)三角形3DP周長=BD+PB+PD=BD+DB,為最小值，￡>(2,1),則點(diǎn)G(2,-l),即：BG=EG,即點(diǎn)G是必的中點(diǎn)，過點(diǎn)Bf(3-2),ABDP周長最小值=BD+B,D=y/2+^；7.(2019-荊州)如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(6,0),(4,3),

經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1.0)?求該拋物線的解析式：若ZAOC的平分線交BC于點(diǎn)E，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：【分析】(1)由平行四邊形O4BC的性質(zhì)求點(diǎn)"坐標(biāo)，根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)3、C、D用待定系數(shù)法求解析式.(2)由OE平分ZAOC易證得ZCOE=ZAOE=ZOEC,故有CE=OC,求得點(diǎn)￡坐標(biāo)，進(jìn)而求得宜線解析式.求拋物