02材料力學(xué)基礎(chǔ)講解課件

機(jī)械工程基礎(chǔ)第五章軸向拉伸和壓縮5-15-26-17-1基本要求

1.掌握變形體以及關(guān)于變形體的基本假設(shè)。

2.掌握桿件在不同受力下發(fā)生的基本變形。

3.理解內(nèi)力的概念。掌握確定內(nèi)力的截面法。

4.初步掌握用截面法計(jì)算拉壓桿的軸力，并能正確畫軸力圖。

5.正確理解并掌握應(yīng)力的概念，應(yīng)力與內(nèi)力之間的聯(lián)系與區(qū)別。

6.正確理解并掌握拉、壓桿橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式及其應(yīng)用條件，并能熟練應(yīng)用正應(yīng)力公式計(jì)算各種拉、壓桿橫截面上的正應(yīng)力。

7.正確理解并掌握應(yīng)變的概念以及虎克定律。機(jī)械工程基礎(chǔ)

構(gòu)件：組成機(jī)器的零部件和組成結(jié)構(gòu)的元件。

桿件：橫向尺寸遠(yuǎn)小于縱向尺寸的構(gòu)件。

變形：在外力作用下構(gòu)件尺寸和形狀的變化。構(gòu)件的變形分為兩類：一類是在外力解除后可消失的變形，稱為彈性變形；另一類是在外力解除后不可能消失的變形，稱為塑性變形或殘余變形。

失效：當(dāng)外載荷超過(guò)一定的限度，構(gòu)件失去正常功能的現(xiàn)象。又稱為“破壞”。本課程主要討論工程中常見(jiàn)的構(gòu)件失效形式：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定失效。

強(qiáng)度：構(gòu)件在確定的載荷作用下不致發(fā)生破斷或塑性變形，則稱其具有足夠的強(qiáng)度。構(gòu)件因強(qiáng)度不足而喪失正常功能，稱為“強(qiáng)度失效”。

剛度：構(gòu)件在確定的載荷作用下的彈性變形或位移保持在允許的范圍內(nèi)，則稱其具有足夠的剛度。構(gòu)件因剛度不足而喪失正常功能，稱為“剛度失效”。穩(wěn)定性：構(gòu)件在確定的載荷作用下不發(fā)生平衡或變形形式的突然轉(zhuǎn)變，則稱其具有足夠的穩(wěn)定性。構(gòu)件由于在一定載荷作用下突然發(fā)生不能保持其原有平衡形式而喪失正常功能，稱為“穩(wěn)定失效”。構(gòu)件的合理設(shè)計(jì)：是指所設(shè)計(jì)的構(gòu)件不僅滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求，保證機(jī)器或結(jié)構(gòu)安全可靠地工作，而且具有合理的截面形狀和尺寸。盡量減少材料消耗，降低造價(jià)，達(dá)到既安全可靠，又經(jīng)濟(jì)合理。機(jī)械工程基礎(chǔ)構(gòu)件能正常工作應(yīng)具備的條件機(jī)械工程基礎(chǔ)1.具有足夠的強(qiáng)度構(gòu)件在載荷作用下，有抵抗破壞或過(guò)量塑性變形的能力。例如儲(chǔ)氣罐不應(yīng)爆破，機(jī)器中的齒輪軸不應(yīng)斷裂等。

2.具有足夠的剛度構(gòu)件在載荷作用下，有抵抗彈性變形的能力。例如機(jī)床主軸不應(yīng)變形過(guò)大，否則將影響加工精度。

3.具有足夠的穩(wěn)定性構(gòu)件在壓力作用下，有保持其原有平衡狀態(tài)的能力。當(dāng)設(shè)計(jì)構(gòu)件時(shí)，除滿足上述強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求外，還必須盡可能地合理選用材料和節(jié)約材料，以降低成本并減輕構(gòu)件重量。機(jī)械工程基礎(chǔ)

在分析構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，因這些問(wèn)題與變形密切相關(guān)，即使是微小變形也要加以考慮，這時(shí)則把材料抽象化為“變形固體”的理想模型，簡(jiǎn)稱“變形體”。

※變形體的基本假設(shè)

1.均勻連續(xù)假設(shè)

假設(shè)構(gòu)成物體的材料在物體內(nèi)連續(xù)且均勻分布。即假設(shè)物體內(nèi)無(wú)間隙地充滿了材料，并且均勻地分布于物體所占有的全部空間。根據(jù)這一假設(shè)，在一定條件下，物體的變形和內(nèi)部受力將是連續(xù)分布的，并且從物體中取出的任何具有一定尺寸的宏觀點(diǎn)，都具有相同的力學(xué)性能。變形體及其基本假設(shè)機(jī)械工程基礎(chǔ)2.各向同性假設(shè)

假設(shè)材料在所有不同方向上具有相同的力學(xué)性能。根據(jù)這一假設(shè)，可以用一個(gè)參數(shù)描寫材料在各個(gè)方向上的某一種力學(xué)性能。

凡屬?gòu)椥宰冃畏秶膯?wèn)題一般都是小變形問(wèn)題。本章所討論的構(gòu)件限于均勻連續(xù)和各向同性的變形體，并且只限于在彈性范圍內(nèi)的小變形問(wèn)題。3.小變形假設(shè)

假設(shè)物體在外力作用下所產(chǎn)生的在其彈性變形范圍內(nèi)的變形與物體本身尺寸相比是微小的。據(jù)此假設(shè)，在研究構(gòu)件的平衡時(shí)，就可以按構(gòu)件的變形前的幾何形狀和尺寸進(jìn)行分析、計(jì)算。從而使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。5.1桿件的基本變形形式機(jī)械工程基礎(chǔ)

根據(jù)幾何形狀和尺寸的不同，工程構(gòu)件一般可歸納為四類，它們是桿、板、殼和塊體。

桿件的幾何特征是：其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向上的尺寸。產(chǎn)品中的大量構(gòu)件可簡(jiǎn)化為桿件，例如機(jī)器中的傳動(dòng)軸、支架中的拉桿、壓桿。房梁、橋梁等等。如果一塊板可看成是由一根桿向一個(gè)方向延伸而形成的，則板的問(wèn)題也可當(dāng)做桿件的問(wèn)題來(lái)分析處理。桿件所有橫截面形心連線叫軸線。垂直于軸線的截面叫橫截面。軸線是直線的桿件叫“直桿”；軸線是曲線的桿件叫“曲桿”。所有橫截面形狀尺寸都相同的桿件叫“等截面桿”。

桿件在不同的受力情況下，將產(chǎn)生不同形式的變形。主要的受力和變形形式有：

1.軸向拉伸或壓縮當(dāng)外力作用在桿件的截面形心，并沿著桿的軸線方向時(shí)，桿件將產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮變形，如圖a、b。這種受力與變形形式，稱為“軸向拉伸”或“軸向壓縮”，簡(jiǎn)稱為“拉伸”或“壓縮”。承受軸向拉伸或壓縮的桿件，分別稱為“拉桿”或“壓桿”。機(jī)械工程基礎(chǔ)機(jī)械工程基礎(chǔ)2.剪切當(dāng)大小相等、方向相反、作用線非常接近的兩個(gè)力沿垂直于軸線方向施加于桿件時(shí)，將產(chǎn)生剪切變形，如圖c。這種受力與變形形式稱“剪切”。機(jī)械工程基礎(chǔ)3.扭轉(zhuǎn)當(dāng)在桿件的兩端截面內(nèi)施加大小相等、方向相反的力偶時(shí)，桿件將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖d。這種受力與變形形式稱“扭轉(zhuǎn)”。如電動(dòng)機(jī)的主軸。機(jī)械工程基礎(chǔ)4.彎曲當(dāng)外力施加在桿件的某個(gè)縱向平面內(nèi)并垂直于桿的軸線，或者在某個(gè)縱向平面內(nèi)施加力偶時(shí)，桿件將發(fā)生彎曲變形，其軸線將由直線變成一曲線，如圖e。這種受力與變形形式稱“彎曲”。承受彎曲的桿件，稱為“梁”。如起重機(jī)的橫梁。

組合變形：當(dāng)桿件承受復(fù)雜外載荷的作用時(shí)，其變形形式可以看成是由上述四種基本變形形式的某種組合。5.2軸向拉伸壓縮時(shí)橫截面的內(nèi)力機(jī)械工程基礎(chǔ)5.2.1內(nèi)力與截面法1.內(nèi)力外力：構(gòu)件所受其他物體施加給它的載荷和約束反力，統(tǒng)稱為構(gòu)件受到的外力。內(nèi)力：在外力作用下的構(gòu)件發(fā)生的變形會(huì)引起內(nèi)部相鄰各部分相對(duì)位置發(fā)生變化，從而產(chǎn)生的各部分之間相互作用的附加力。內(nèi)力的概念非常重要，它不同于材料內(nèi)部各部分微粒之間存在的某種結(jié)合力。根據(jù)連續(xù)性的假設(shè)，內(nèi)力為連續(xù)分布力系，通常用其合力表示桿件的內(nèi)力。

構(gòu)件的內(nèi)力隨著變形的增加而增加，而變形又是由外力導(dǎo)致的，可見(jiàn)內(nèi)力的大小應(yīng)完全取決于外力；外力解除，內(nèi)力也隨之消失。內(nèi)力隨外力增大而增大。對(duì)于確定的材料，內(nèi)力的增加有一定的限度，超過(guò)這一限度，構(gòu)件將發(fā)生失效。因此，內(nèi)力分析是強(qiáng)度、剛度分析的基礎(chǔ)。機(jī)械工程基礎(chǔ)

四種基本變形形式的內(nèi)力名稱：軸向拉壓時(shí)橫截面上的內(nèi)力的作用線通過(guò)橫截面形心且沿著桿件的軸線，稱為“軸力”；圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力是力偶（作用面與軸線垂直），稱為“扭矩”；剪切變形時(shí)的內(nèi)力，稱為“剪切力”；梁的彎曲內(nèi)力是“剪力”和“彎矩”。2.截面法機(jī)械工程基礎(chǔ)

所謂截面法，是用假想截面將構(gòu)件在所論部位截分開(kāi)來(lái)，然后用平衡方程由外力求算內(nèi)力的方法。

用截面法求內(nèi)力的步驟：

1.截開(kāi)在要計(jì)算內(nèi)力的那個(gè)截面，假想將構(gòu)件截開(kāi)，留下研究對(duì)象，棄去另一部分。

2.替代以作用力（它就是欲求算的內(nèi)力）替代棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用。

3.求算畫研究對(duì)象的受力圖，用平衡方程由已知外力求算內(nèi)力。

求圖a所示的等截面直桿（處于平衡狀態(tài)）的橫截面m－m上的內(nèi)力。

機(jī)械工程基礎(chǔ)1.截開(kāi)用一個(gè)假想的截面在m－m處將此桿截開(kāi)，使AB桿分成Ⅰ、Ⅱ兩部分。在要計(jì)算內(nèi)力的那個(gè)截面，假想將構(gòu)件截開(kāi)，留下研究對(duì)象，棄去另一部分。2.替代以作用力N替代棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用。

3.求算畫研究對(duì)象的受力圖，用平衡方程由已知外力求算內(nèi)力。

于是求得了m－m截面上的內(nèi)力：N=F5.2.2拉壓桿的軸力和軸力圖機(jī)械工程基礎(chǔ)軸向拉伸構(gòu)件軸向拉壓構(gòu)件軸向拉壓構(gòu)件機(jī)械工程基礎(chǔ)軸向壓縮構(gòu)件軸向壓縮構(gòu)件機(jī)械工程基礎(chǔ)

沿桿軸線的內(nèi)力稱為軸力。軸力用Ｎ表示，正負(fù)號(hào)是這樣規(guī)定的：使桿件產(chǎn)生拉伸變形者為正；產(chǎn)生壓縮變形者為負(fù)。即：拉為正，壓為負(fù)。設(shè)正法：實(shí)際計(jì)算時(shí)，可將桿件截分面上的未知軸力設(shè)為正方向（拉力）。若結(jié)果為正，則為拉力；若結(jié)果為負(fù)，則為壓力。軸力的量綱為［力］，國(guó)際單位用Ｎ（牛頓）或kＮ（千牛）。桿件上沿軸線方向有兩個(gè)以上的外力作用時(shí)，每?jī)蓚€(gè)外力間的橫截面上，軸力不一定相同。機(jī)械工程基礎(chǔ)

軸力圖是表示軸力沿桿軸線方向變化情形的圖形。借助于軸力圖可以確定桿件上最大軸力Ｎmax的大小和方向，以及作用截面的位置。繪制軸力圖的方法：建立Ｎ－x坐標(biāo)系，一般可使x軸平行于桿件的軸線；Ｎ軸則垂直于桿的軸線。X表示截面的位置；Ｎ表示該截面上軸力的大小。根據(jù)桿上作用的外力，將桿分為若干段，每?jī)蓚€(gè)外力之間為一段。應(yīng)用截面法分別求出各段截面上的軸力Ｎ，將其連同截面位置標(biāo)在Ｎ－x坐標(biāo)中，由此連成的圖形，即為軸力圖。

例題繪制圖a中桿件的軸力圖，假設(shè)P為已知。機(jī)械工程基礎(chǔ)解：1．分段計(jì)算軸力2．畫軸力圖建立N-x坐標(biāo)系，如圖d。3．最大軸力由軸力圖可以看出，絕對(duì)值最大的軸力發(fā)生在BC段桿的各截面上，其值為3P。5.3軸向拉伸壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力機(jī)械工程基礎(chǔ)

應(yīng)力是指單位面積上的內(nèi)力。

材料破壞與否，并不直接取決于內(nèi)力，而取決于應(yīng)力的大小。軸向拉壓桿件橫截面上的應(yīng)力，其方向與橫截面垂直，稱為正應(yīng)力，用“σ”表示。

在等截面直桿軸向拉壓的條件下，橫截面的內(nèi)力是均勻分布的。即正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定與軸力N相同，拉伸時(shí)σ為正，壓縮時(shí)σ為負(fù)。應(yīng)力的單位是帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕，符號(hào)Pa。5.4軸向拉伸壓縮時(shí)的變形—虎克定律機(jī)械工程基礎(chǔ)１.絕對(duì)變形

絕對(duì)變形：變形后的尺寸與變形前的尺寸之差。分別表示縱向和橫向的絕對(duì)變形。

拉伸時(shí)縱向絕對(duì)變形為正，橫向絕對(duì)變形為負(fù)正。壓縮時(shí)則相反。2.相對(duì)變形—線應(yīng)變（正應(yīng)變）機(jī)械工程基礎(chǔ)

相對(duì)變形：絕對(duì)變形與原始尺寸之比，稱為相對(duì)變形，又稱為線應(yīng)變（正應(yīng)變），用ε表示。即線應(yīng)變（正應(yīng)變）ε是變形量與原始尺寸的比值

線應(yīng)變?chǔ)攀莻€(gè)比值，無(wú)量綱，尺寸增大，ε為正；尺寸減小，ε為負(fù)。

例如軸向拉伸時(shí)，軸向尺寸的ε為正，橫向尺寸的ε為負(fù)。而軸向壓縮時(shí)，則相反。3.虎克定律機(jī)械工程基礎(chǔ)

虎克定律：大多數(shù)工程材料制成的桿件,當(dāng)應(yīng)力未超過(guò)某一限度時(shí)，桿件的縱向絕對(duì)變形△l與軸力N及桿件原長(zhǎng)l成正比，與桿件的橫截面面積A成反比，即虎克定律的表達(dá)式：E為材料的彈性模量。

適用條件：在計(jì)算的長(zhǎng)度內(nèi)，桿件的軸力Ｎ，橫截面面積A以及材料的彈性模量E必須均為常量。機(jī)械工程基礎(chǔ)

虎克定律表明：其他條件不變時(shí)，彈性模量E越大，桿件的變形量越小。可見(jiàn)，彈性模量E表征了材料抵抗拉伸壓縮變形的性能，是材料的剛性指標(biāo)。

虎克定律還表明：當(dāng)N和l不變時(shí)，EA值越大，絕對(duì)變形量越小。說(shuō)明EA是桿件抵抗拉壓變形能力的度量。稱EA為桿件的抗拉（壓）剛度，它取決于桿件材料的彈性模量和橫截面面積兩個(gè)參數(shù)。

若拉壓桿各段內(nèi)的軸力不等或截面不等，則計(jì)算公式為：例題圖示變截面桿，已知BD段橫截面面積A1＝2cm2，AD段橫截面面積A2＝4cm2。材料的E＝120×103MPa，承受載荷F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN的作用。試計(jì)算AB桿的變形。機(jī)械工程基礎(chǔ)

虎克定律的另一表達(dá)式：

虎克定律又可表述為：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，應(yīng)變與應(yīng)力成正比，這里說(shuō)的應(yīng)力的“某一限度”就是該材料的比例極限。

解：先求BD、DC、CA三段的軸力N1、N2、N3為N1＝－5kN、N2＝－5kN、N3＝5kN機(jī)械工程基礎(chǔ)則

的負(fù)號(hào)說(shuō)明此桿縮短。＝－1.05×10-4m＝－0.52×10-4m＝0.52×10-4m＝－1.05×10-4m

作業(yè)5-6、5-8

基本要求

1.正確理解并掌握低碳鋼拉伸時(shí)曲線的全貌，包括四個(gè)不同的階段和各階段的特性點(diǎn)。

2.了解有關(guān)材料的彈性性能、強(qiáng)度性能和塑性性能的主要指標(biāo)，并能正確應(yīng)用。

3.了解對(duì)于不同的材料，怎樣確定強(qiáng)度計(jì)算中的極限應(yīng)力。

4.了解脆性材料和塑性材料的力學(xué)性能的區(qū)別。

5.正確理解并掌握拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算準(zhǔn)則。

6.正確判斷危險(xiǎn)桿以及桿的危險(xiǎn)截面。

7.熟練掌握拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算方法，并能解決三類不同的強(qiáng)度問(wèn)題。機(jī)械工程基礎(chǔ)圓截面試件的“標(biāo)距”l有：5.5材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能機(jī)械工程基礎(chǔ)

材料的力學(xué)性能:材料從開(kāi)始受力、加大受力、到材料破壞的過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的各種性能。這些性能指標(biāo)是進(jìn)行強(qiáng)度、剛度設(shè)計(jì)和材料選擇的基本依據(jù)。5.5.1低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)用的標(biāo)準(zhǔn)試件如圖。機(jī)械工程基礎(chǔ)低碳鋼的應(yīng)力－應(yīng)變圖機(jī)械工程基礎(chǔ)1.比例極限σp和彈性極限σe機(jī)械工程基礎(chǔ)σ-ε曲線的初始段Oa是一條斜直線，說(shuō)明在這一階段應(yīng)變與應(yīng)力成正比，材料服從虎克定律σ=Eε。且斜線Oa的斜率就是該材料的彈性模量E，即tanα=σ/ε=E。斜線Oa的最高點(diǎn)a所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值σp，就是材料服從虎克定律的最大應(yīng)力值，稱為材料的比例極限。把外力解除后能完全消失的變形稱為彈性變形，而把外力解除后仍保留的變形稱為塑性變形。應(yīng)力－應(yīng)變圖上b點(diǎn)的應(yīng)力值σe

，是材料只出現(xiàn)彈性變形的極限應(yīng)力值，稱為彈性極限。相應(yīng)地，應(yīng)力－應(yīng)變圖中從O到b這一變形階段，叫做彈性階段。由于實(shí)際上比例極限σp與彈性極限σe很接近，應(yīng)用中并不嚴(yán)格區(qū)分。對(duì)于一般低碳鋼，近似地有2.屈服強(qiáng)度σS機(jī)械工程基礎(chǔ)

應(yīng)力基本不變而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱為材料的屈服或流動(dòng)。σ-ε圖上cd對(duì)應(yīng)這一段叫材料的屈服階段。這一階段應(yīng)力波動(dòng)的最低值σS稱為屈服強(qiáng)度。

屈服強(qiáng)度是材料重要的強(qiáng)度指標(biāo)。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T700-1988，碳素結(jié)構(gòu)鋼的牌號(hào)就由它的屈服強(qiáng)度值來(lái)定.

如屈服強(qiáng)度為σS＝215、235、255MPa的碳素結(jié)構(gòu)鋼，就分別用Q215、Q235、Q255等來(lái)代表它們的鋼號(hào)。3.強(qiáng)度極限σb機(jī)械工程基礎(chǔ)

對(duì)材料的加載經(jīng)過(guò)屈服階段以后，σ-ε又開(kāi)始逐漸上升，說(shuō)明要進(jìn)一步增加應(yīng)變，必須增加應(yīng)力，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。

σ-ε曲線上從d到e這一段叫做材料的強(qiáng)化階段。曲線最高點(diǎn)e對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值σb是試件斷裂前能承受的最大應(yīng)力植，稱為材料的抗拉強(qiáng)度極限，即強(qiáng)度極限。強(qiáng)度極限是材料另一個(gè)重要的強(qiáng)度指標(biāo)。機(jī)械工程基礎(chǔ)４.伸長(zhǎng)率δ和斷面收縮率ψ

在加載應(yīng)力值小于抗拉強(qiáng)度σb時(shí)，試件的變形在全部長(zhǎng)度上均勻地發(fā)生。應(yīng)力達(dá)到σb后，試件的某一局部的軸向尺寸開(kāi)始顯著增加，同時(shí)伴隨著該局部小段橫截面面積的顯著減小，稱為頸縮現(xiàn)象，如圖所示。

這時(shí)，試件已完全喪失承受能力，故拉伸曲線急劇下降，試件很快就拉斷了，即σ-ε圖中的ef段曲線。機(jī)械工程基礎(chǔ)

伸長(zhǎng)率δ和斷面收縮率Ψ是表征材料塑性的兩個(gè)性能指標(biāo)。一般把δ>5%的材料稱為塑性材料，如低碳鋼、銅、鋁等；而把δ<5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵等。低碳鋼的拉伸過(guò)程經(jīng)歷的四個(gè)階段：彈性、屈服、強(qiáng)化、頸縮。

比例極限σp、彈性極限σe、屈服強(qiáng)度σS、強(qiáng)度極限σb、伸長(zhǎng)率δ和斷面收縮率Ψ等六個(gè)材料性能參數(shù)。伸長(zhǎng)率斷面收縮率

如圖所示的是幾種伸長(zhǎng)率δ＞10％的塑性材料的應(yīng)力-應(yīng)變圖。從這幾條曲線可以看出，在拉伸的初始階段，σ-ε也成直線關(guān)系（青銅例外），說(shuō)明這些材料也服從虎克定律。5.5.2其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能機(jī)械工程基礎(chǔ)

１.幾種沒(méi)有屈服階段的塑性材料機(jī)械工程基礎(chǔ)

與低碳鋼的σ-ε曲線相比，值得注意的不同在于：它們沒(méi)有明顯的屈服階段。對(duì)于這樣的一些材料，定義屈服強(qiáng)度（或稱條件屈服強(qiáng)度）σ0.2作為它的強(qiáng)度指標(biāo)。σ0.2是加載卸載后能殘留0.2％塑性變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。2.灰鑄鐵機(jī)械工程基礎(chǔ)

灰鑄鐵也是最常用的金屬材料之一，它的拉伸應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖。σ-ε曲線上沒(méi)有明顯的直線部分，但在應(yīng)力較小時(shí)，可認(rèn)為灰鑄鐵近似地服從虎克定律。曲線上沒(méi)有屈服階段和頸縮階段，灰鑄鐵屬于脆性材料，強(qiáng)度極限σb是衡量其強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。它的抗拉強(qiáng)度較低，不適于制作承受拉力的構(gòu)件。5.5.3低碳鋼、灰鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能機(jī)械工程基礎(chǔ)１.低碳鋼

材料壓縮試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試件是短圓柱體，高度h與直徑d之比為1.5～3。機(jī)械工程基礎(chǔ)

由低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可知，在屈服階段以前，低碳鋼壓縮時(shí)的比例極限σp、屈服強(qiáng)度σS、彈性模量E都和拉伸時(shí)相同。但屈服階段以后，隨著壓力的加大，壓縮試件的橫截面積也不斷增大，試件越壓越扁而并不破壞，所以低碳鋼壓縮時(shí)不存在強(qiáng)度極限σb。2.灰鑄鐵機(jī)械工程基礎(chǔ)

由灰鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線可知，灰鑄鐵壓縮時(shí)同樣只是近似地服從虎克定律，同樣沒(méi)有屈服現(xiàn)象；壓縮破壞時(shí)是沿著約45o的斜截面斷裂?；诣T鐵適宜做承壓構(gòu)件，是制作機(jī)器和較大型產(chǎn)品底座的常用材料。5.6軸向拉伸或壓縮的強(qiáng)度計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)1．兩類材料的極限應(yīng)力引起構(gòu)件喪失工作能力的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力σj。構(gòu)件喪失工作能力也叫失效或破壞。塑性材料和脆性材料失效的原因是不相同的。塑性材料構(gòu)件的極限應(yīng)力是它的屈服強(qiáng)度σS（或σ0.2），脆性材料的極限應(yīng)力是它的抗拉強(qiáng)度（強(qiáng)度極限）σb。5.6.1許用應(yīng)力與安全系數(shù)2.許用應(yīng)力與安全系數(shù)機(jī)械工程基礎(chǔ)

“留有余地”是設(shè)計(jì)常要遵循的原則之一。設(shè)計(jì)構(gòu)件時(shí)，不能讓構(gòu)件工作時(shí)達(dá)到它的極限應(yīng)力值，應(yīng)有必要的安全儲(chǔ)備。設(shè)計(jì)計(jì)算中，把構(gòu)件在工作時(shí)允許產(chǎn)生的最大應(yīng)力，稱為許用應(yīng)力[σ]。許用應(yīng)力[σ]小于極限應(yīng)力σj，由極限應(yīng)力σj除以一個(gè)大于1的系數(shù)n得到。這個(gè)系數(shù)n稱為安全系數(shù)。即機(jī)械工程基礎(chǔ)對(duì)于兩類材料就分別有：

在一般情況下常取nS＝1.4~1.8；

nb＝2.0~3.5。在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求的前提下，設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)性更好、使用更方便的產(chǎn)品是設(shè)計(jì)工程師們必須遵循的原則之一。

脆性材料

塑性材料或強(qiáng)度計(jì)算可解決的三類問(wèn)題1.強(qiáng)度校核

5.6.2拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)

桿件在軸向拉伸或壓縮時(shí)的強(qiáng)度條件

式中，N為危險(xiǎn)截面上的軸力值，A為危險(xiǎn)截面的面積。

危險(xiǎn)截面是指構(gòu)件上產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面。進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)往往要先確定危險(xiǎn)截面。2.設(shè)計(jì)截面尺寸

3.計(jì)算許可載荷

3．應(yīng)力計(jì)算：根據(jù)，先確定產(chǎn)生最大應(yīng)力的桿件或截面，即危險(xiǎn)桿或危險(xiǎn)截面?！?/p>

強(qiáng)度計(jì)算的步驟：機(jī)械工程基礎(chǔ)

1．受力分析：判別桿件是否滿足軸向拉伸或壓縮的條件，確定作用在桿件上的外力大小。

2．內(nèi)力分析：用截面法求軸力，畫出軸力圖，確定最大軸力Nmax作用截面的位置。對(duì)于等直桿承受多力作用時(shí)，應(yīng)力為對(duì)于階梯桿，則最大應(yīng)力為4．強(qiáng)度計(jì)算：使危險(xiǎn)桿、危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力滿足強(qiáng)度條件。對(duì)于等直桿，只承受一對(duì)軸向外力，應(yīng)力為

例題鑄造車間吊運(yùn)鐵液包的雙套吊鉤，如圖所示。吊鉤桿部橫截面為矩形，邊長(zhǎng)b＝25mm，h＝50mm，吊桿材料的許用應(yīng)力[σ]＝50MPa；鐵液包自重8kN，要求能吊運(yùn)30kN重的鐵液。試求：1.校核吊桿的強(qiáng)度。2.若吊鉤橫截面為圓形，按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)其直徑d。機(jī)械工程基礎(chǔ)

解：機(jī)械工程基礎(chǔ)

因?yàn)榭傒d荷由兩根位置對(duì)稱的吊桿承擔(dān)，因此每根吊桿所受的最大拉力（即桿內(nèi)軸力）為1．吊桿橫截面上的最大工作應(yīng)力為對(duì)比可知，σ<[σ]，因此吊桿的強(qiáng)度足夠。2．吊鉤的截面面積

而∴

例題

結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖（a）所示。設(shè)AB、CD均為剛體，BC和EG為圓截面鋼桿，直徑d=25mm，兩桿材料為Q235鋼，其許用應(yīng)力[σ]=160MPa，若已知載荷F=39kN，試校核此結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。

機(jī)械工程基礎(chǔ)機(jī)械工程基礎(chǔ)

解（1）受力分析。該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與BC和EG的強(qiáng)度有關(guān)，在強(qiáng)度校核之前，應(yīng)先判斷哪一根桿最危險(xiǎn)?，F(xiàn)兩桿直徑及材料均相同，故受力大的桿最危險(xiǎn)。為確定危險(xiǎn)桿件，需先作受力分析，如圖（b）。

由平衡方程

得到:

可見(jiàn)桿EG受力最大,故為危險(xiǎn)桿。

機(jī)械工程基礎(chǔ)（2）計(jì)算應(yīng)力。桿EG橫截面上的應(yīng)力

（3）校核強(qiáng)度。因?yàn)閇σ]=160MPa，而σEG＝151MPa，所以滿足強(qiáng)度要求σEG<[σ]?？梢?jiàn)桿EG的強(qiáng)度是安全的，亦即整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度是安全的。

作業(yè)5-10、5-11、5-13

第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)機(jī)械工程基礎(chǔ)基本要求

1.正確理解并掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力的概念，掌握用截面法計(jì)算受扭圓軸橫截面上的扭矩，并能正確地繪出扭矩圖。

2.能根據(jù)傳動(dòng)軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速計(jì)算外力偶矩。

3.正確理解剪切的概念與擠壓強(qiáng)度的計(jì)算。掌握扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)變形公式，并能正確應(yīng)用這些公式計(jì)算受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力和截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。

4.掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算。

扭轉(zhuǎn)：直桿的兩端，在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反的外力偶，使桿件各橫截面發(fā)生繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)。機(jī)械工程基礎(chǔ)

軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的桿件稱為軸。橫截面為圓形的軸稱為圓軸。

扭轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的變形形式。螺絲釘汽車方向盤的操縱桿

攪拌機(jī)的軸卷?yè)P(yáng)機(jī)軸

扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)是：各橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿件任意兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為扭轉(zhuǎn)角，表示符號(hào)

桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：在與桿件軸線垂直的平面內(nèi)，受到一對(duì)大小相等、方向相反的力偶作用。機(jī)械工程基礎(chǔ)

實(shí)心圓軸和圓管受扭轉(zhuǎn)作用時(shí)的力學(xué)分析較為簡(jiǎn)單，而且又是最常見(jiàn)的受扭構(gòu)件形狀，本節(jié)只研究圓軸（含圓管）扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度問(wèn)題。6.1扭矩和扭矩圖機(jī)械工程基礎(chǔ)

扭矩：在外力偶作用下，應(yīng)用截面法，圓軸橫截面上的分布內(nèi)力組成一合力偶（作用面與軸線垂直）與外力偶平衡，這一內(nèi)力合力偶的力偶矩稱為扭矩，用T表示。

如圖a，傳動(dòng)軸的主動(dòng)輪B上作用的力偶矩為MB=6kN·m的主動(dòng)力偶，A、C、D三個(gè)從動(dòng)輪上的阻力偶矩分別為MA=3kN·m、MC=2kN·m、MD=1kN·m，用截面法來(lái)求Ⅱ-Ⅱ截面的內(nèi)力。

求扭矩T2

機(jī)械工程基礎(chǔ)如圖b或如圖c

確定扭矩正負(fù)號(hào)的方法（右手定則）：用四指表示扭矩旋轉(zhuǎn)的方向，大拇指為扭矩矢量的指向，若扭矩矢量的正方向與橫截面的外法線方向一致者為正；反之為負(fù)?；蛘咭悦嫦蚪亻_(kāi)后的橫截面，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的扭矩為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向的扭矩為負(fù)。機(jī)械工程基礎(chǔ)

計(jì)算扭矩時(shí)，一般先假設(shè)扭矩T的方向?yàn)檎?，若?jì)算結(jié)果為負(fù)，表示扭矩的方向與假設(shè)相反。

扭矩圖的繪制：與軸力圖繪制方法相似，繪制扭矩圖時(shí)，需先以軸線方向?yàn)闄M軸（x軸）、以扭矩（T）為縱軸，建立T-x坐標(biāo)系。然后將圓軸各段截面上的扭矩（T）標(biāo)在T-x坐標(biāo)中，即可繪出扭矩圖。

任一截面上的轉(zhuǎn)矩，在數(shù)值上等于該截面任意一側(cè)軸上所有外力偶矩的代數(shù)和。機(jī)械工程基礎(chǔ)

若已知傳動(dòng)軸的傳遞功率和轉(zhuǎn)速，則計(jì)算外力偶矩的公式為：

外力偶矩的方向的確定方法：輸入功率的主動(dòng)輪上作用的力偶矩為主動(dòng)力矩，其方向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致；輸出功率的從動(dòng)輪上作用的力偶矩為阻力矩，其方向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。

例題傳動(dòng)軸上主動(dòng)輪A的輸入功率PA=40kw，三個(gè)從動(dòng)輪B、C、D的輸出功率分別為PB=18kw，PC=PD=11kw，軸的轉(zhuǎn)速為n=200r／min。現(xiàn)在兩種主、從動(dòng)輪的布置形式，分別如圖a、b。試求兩種布置情況下：1.傳動(dòng)軸各段中的轉(zhuǎn)矩值；2.繪制傳動(dòng)軸的扭矩圖；3.對(duì)傳動(dòng)軸承受的轉(zhuǎn)矩大小進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明哪種布置形式較為合理。機(jī)械工程基礎(chǔ)

解：1.求作用于傳動(dòng)軸上的外力偶矩。扭矩要由外力偶矩M來(lái)計(jì)算，而實(shí)際問(wèn)題中更常見(jiàn)的已知條件是功率P和轉(zhuǎn)速n，所以先要由功率、轉(zhuǎn)速計(jì)算外力偶矩機(jī)械工程基礎(chǔ)

2.傳動(dòng)軸各段的扭矩值（T1、T2、T3），并繪制扭矩圖。機(jī)械工程基礎(chǔ)

圖a中：T1＝－1909.8N·m

T２＝－1050.4N·mT３＝－525.2N·m

圖b中：T1＝859.4N·m

T２＝－1050.4N·mT３＝－525.2N·m機(jī)械工程基礎(chǔ)3.對(duì)比兩種布置形式下傳動(dòng)軸所受的轉(zhuǎn)矩。在圖a情況下，機(jī)械工程基礎(chǔ)

所以，圖b所示的布置形式將主動(dòng)輪布置在幾個(gè)從動(dòng)輪之間的情況較為合理。

而在圖b情況下，

可見(jiàn)，雖然傳動(dòng)軸輸入、輸出的功率相同，但將主動(dòng)輪布置在幾個(gè)從動(dòng)輪的中間位置，使主動(dòng)輪兩側(cè)從動(dòng)輪上的轉(zhuǎn)矩之和接近相等，可以降低傳動(dòng)軸承受的轉(zhuǎn)矩，從而有利于提高傳動(dòng)軸的抗扭強(qiáng)度，或縮小傳動(dòng)軸的直徑、減少用材，減輕重量。6.2剪切和擠壓強(qiáng)度計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)6.2.1抗剪強(qiáng)度與切應(yīng)力

１.剪切的概念

剪切變形的受力特點(diǎn)是：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上外力的合力大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近。

剪切變形是常見(jiàn)變形形式之一。與鉚釘類似的有螺栓、銷子，還有聯(lián)接輪子與軸的鍵等。沖剪鋼板則是剪切破壞的應(yīng)用。機(jī)械工程基礎(chǔ)2.抗剪強(qiáng)度的計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)

以鉚釘為例，分析構(gòu)件受剪切時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力。用截面法，沿受剪面m-n將鉚釘截開(kāi)，保留下半部為研究對(duì)象，可畫出其受力圖如圖c。以作用于剪切面m-n上的力Q表示棄去部分（鉚釘上半部）對(duì)于留下部分的作用，因此力Q就是剪切變形的內(nèi)力，稱為剪切力。機(jī)械工程基礎(chǔ)

與剪切力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為剪切應(yīng)力，以τ表示。剪切應(yīng)力τ與剪切力Q方向一致，與剪切面相切，單位為帕（Pa）或兆帕（MPa）。實(shí)用計(jì)算中，通常假設(shè)剪切應(yīng)力τ在剪切面上是均勻分布的，如圖d。則

不發(fā)生剪切破壞的條件，即抗剪強(qiáng)度條件為

許用切應(yīng)力[τ]的值，仍應(yīng)以該材料實(shí)驗(yàn)測(cè)定的極限應(yīng)力τj（即抗剪強(qiáng)度τb）除以安全系數(shù)n得到。但實(shí)踐表明，根據(jù)同一材料的許用拉伸應(yīng)力值來(lái)確定許用切應(yīng)力[τ]值是方便和適宜的，關(guān)系是：對(duì)塑性材料[τ]＝（0.6～0.8）[σ]

對(duì)脆性材料[τ]＝（0.8～1.0）[σ]

３.切應(yīng)變和剪切虎克定律機(jī)械工程基礎(chǔ)

剪切變形時(shí)，剪切面附近的截面互相間發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。將剪切面附近變形前后的情況放大如圖a、b：剪切面附近的材料由變形前的矩形，變形后成為斜平行四邊形，變化的角度γ稱為切應(yīng)變或角應(yīng)變，用弧度（rad）來(lái)度量。

剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限τP時(shí)，切應(yīng)變與切應(yīng)力成正比，機(jī)械工程基礎(chǔ)

Ｇ為材料的剪切彈性模量，是材料抵抗剪切變形能力的指標(biāo)。

常用鋼材的G＝80MPa。

線應(yīng)變?chǔ)藕颓袘?yīng)變?chǔ)檬嵌攘繕?gòu)件變形的兩個(gè)基本參量。6.2.2擠壓強(qiáng)度的計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)

１.擠壓的概念

當(dāng)兩物體接觸而傳遞壓力時(shí)，接觸面間形成互相擠壓。如果在不大的接觸面間存在著較大的壓力，則局部接觸面可能被壓陷、壓塌（局部區(qū)域產(chǎn)生顯著的塑性變形），直至壓碎，這種現(xiàn)象稱為擠壓破壞，而與之相應(yīng)的受力形式則稱為擠壓。2.擠壓強(qiáng)度的計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)

在擠壓面上，單位面積上的擠壓力稱為擠壓應(yīng)力。PP

為擠壓面上的擠壓力，一般可由外載荷求得；AP為稱為“擠壓計(jì)算面積”，分兩種情況作不同的處理：擠壓接觸面為平面時(shí)，按實(shí)際接觸面積計(jì)算；擠壓接觸面為半圓柱面時(shí)，則按該半圓柱面在與擠壓力垂直的平面上的投影面面積計(jì)算。

擠壓的強(qiáng)度準(zhǔn)則為[σP]為材料的許用擠壓應(yīng)力。[σP]可根據(jù)同一材料的擠壓許用應(yīng)力來(lái)確定，關(guān)系是：

塑性材料[σP]＝（1.5～2.5）[σ]

脆性材料[σP]＝（0.9～1.5）[σ]例題厚度t=10mm的鋼板，抗剪強(qiáng)度τb=300MPa，現(xiàn)欲用沖床將鋼板沖出直徑d=25mm的孔，其沖剪示意圖如圖所示。求所需的沖剪力P。機(jī)械工程基礎(chǔ)解這是要求計(jì)算引起剪切破壞的外力P。由圖可知，要求的剪斷面積為需要的沖剪力6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力機(jī)械工程基礎(chǔ)1.橫截面上的應(yīng)力及其分布

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力τρ與這點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比，即

實(shí)心圓軸和空心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上各點(diǎn)剪切應(yīng)力的分布情況如圖a、b。機(jī)械工程基礎(chǔ)

每一點(diǎn)的剪切應(yīng)力值都與扭矩成正比，即

同一直徑上軸心兩側(cè)各點(diǎn)剪切應(yīng)力的指向相反，其具體指向由扭矩的轉(zhuǎn)向決定。2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力機(jī)械工程基礎(chǔ)

剪切應(yīng)力互等定理：由受扭圓軸上所截取的微六面體（微元），在兩個(gè)互相垂直的截面上的剪應(yīng)力數(shù)值相等，其方向同時(shí)指向或背離該交線。如圖a，也可用圖b平面圖形表示，其中機(jī)械工程基礎(chǔ)

純剪狀態(tài)：圖a所示微元的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，則該微元的受力狀態(tài)微純剪狀態(tài)。

剪應(yīng)變：剪切應(yīng)力作用下，微元的直角改變量稱為剪應(yīng)變（或切應(yīng)變）。如圖c中的γ即為剪應(yīng)變。

剪切虎克定律：在彈性范圍內(nèi)，剪切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力計(jì)算公式

機(jī)械工程基礎(chǔ)

為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩，是一個(gè)與截面的尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，其單位是

m4。3.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大剪切應(yīng)力常令

稱為抗扭截面模量（又稱抗扭截面系數(shù)），也是一個(gè)與截面的尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，直接表征截面的抗扭強(qiáng)度，其單位是m3。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大剪切應(yīng)力又為

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大剪切應(yīng)力公式只適用于實(shí)心圓軸和空心圓軸（圓管）在彈性變形范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計(jì)算。機(jī)械工程基礎(chǔ)

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大剪切應(yīng)力公式不適用于其他截面形狀桿件受扭的情況，例如建筑中的鋼筋混凝土框架邊梁，都同時(shí)產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形。4.圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)強(qiáng)度計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件是：軸的危險(xiǎn)截面（即產(chǎn)生最大扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力的截面）上的最大剪切應(yīng)力τmax不超過(guò)材料的許用剪切應(yīng)力[τ]即許用剪切應(yīng)力[τ]值由相應(yīng)材料試驗(yàn)測(cè)定并考慮安全系數(shù)后加以確定。在靜載作用下，[τ]與材料的許用拉應(yīng)力[σ]有一定的比照關(guān)系，可供參考：塑性材料[τ]＝（0.5~0.6）[σ]脆性材料[τ]＝（0.5~1.0）[σ]

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算可解決三類強(qiáng)度問(wèn)題機(jī)械工程基礎(chǔ)1.強(qiáng)度校核

2.設(shè)計(jì)截面尺寸（圓軸直徑）：已知外載荷條件和選定材料的許用剪切應(yīng)力[τ]，要求設(shè)計(jì)圓軸的直徑D，或空心圓軸的外徑D和內(nèi)徑d。3.確定許可載荷：已知圓軸的直徑D，或空心圓軸的外徑D和內(nèi)徑d以及選定材料的許用剪切應(yīng)力[τ]，求圓軸上所能承受的最大外力偶矩或傳遞的最大功率，即許可載荷。6.5空心傳動(dòng)軸的合理性機(jī)械工程基礎(chǔ)

采用空心傳動(dòng)軸能有效節(jié)省材料，減輕自重，提高承受能力?？招妮S受扭在力學(xué)上的合理性，可以從扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力在橫截面上的分布圖得到說(shuō)明。但空心圓軸的環(huán)形壁厚尺寸也不能過(guò)小。另外，只有截面閉合的空心圓軸才有較高的抗扭強(qiáng)度，開(kāi)口圓管的抗扭能力是很低的。

例題汽車的傳動(dòng)軸AB由45鋼無(wú)縫鋼管制成，外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，如圖所示。該軸傳遞的最大轉(zhuǎn)矩M=1.5kN·m，材料的許用剪切應(yīng)力[τ]=60Mpa。試求：

1.校核該傳動(dòng)軸的抗扭強(qiáng)度。

2.若改用相同材料的實(shí)心圓軸，且和原鋼管傳動(dòng)軸有同等的抗扭強(qiáng)度，計(jì)算其直徑DS。

3.比較空心軸和實(shí)心軸的重量。機(jī)械工程基礎(chǔ)解

1.校核強(qiáng)度由受力圖可知，傳動(dòng)軸內(nèi)橫截面上的最大扭矩T就等于它傳遞的最大轉(zhuǎn)矩M，即T=M=1.5kN·m機(jī)械工程基礎(chǔ)該軸內(nèi)、外徑之比而所以，傳動(dòng)軸能滿足抗扭強(qiáng)度要求。2．計(jì)算等強(qiáng)度的實(shí)心圓軸直徑DS機(jī)械工程基礎(chǔ)

即要求實(shí)心圓軸橫截面的抗扭截面模量和原圓管截面的抗扭截面模量相等：由抗扭截面模量公式有所以3．空心軸重量G和實(shí)心軸重量GS的對(duì)比

兩軸的材料和長(zhǎng)度相同，兩者重量之比等于它們的橫截面面積之比

確定扭矩，應(yīng)采用截面法。其要點(diǎn)是：截開(kāi)、替代和求算。計(jì)算時(shí)，將扭矩先假設(shè)為正方向。計(jì)算結(jié)果為正時(shí)，說(shuō)明實(shí)際扭矩方向與假設(shè)方向相同；為負(fù)時(shí)則相反。

要正確確定扭矩的正、負(fù)號(hào)，即：按右手螺旋法則，扭矩矢量方向與截面外法線方向一致者為正；反之為負(fù)。注意不能沿用靜力學(xué)中確定力矩正負(fù)號(hào)規(guī)定（即逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)），而在平衡方程中扭矩矢量的正方向與建立的坐標(biāo)軸正方向一致者為正，反之為負(fù)，否則易發(fā)生錯(cuò)誤。

在集中外力偶作用處兩側(cè)，扭矩將發(fā)生突變，故應(yīng)分段計(jì)算扭矩。機(jī)械工程基礎(chǔ)小結(jié)

平衡對(duì)象的選擇，可以是截面以左或以右部分圓軸。選擇的原則是：其上作用的外加力偶較少，并且都應(yīng)當(dāng)是已知的。機(jī)械工程基礎(chǔ)

圓軸受扭時(shí)橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力應(yīng)垂直于該點(diǎn)處的半徑，而不是垂直分布直線；剪應(yīng)力的方向應(yīng)與扭矩的轉(zhuǎn)向一致；沿半徑成線性規(guī)律分布，在截面中心處的剪應(yīng)力為零。對(duì)于空心截面，空心部分無(wú)材料，因而無(wú)應(yīng)力。作業(yè)6-1、6-5、6-6

第七章直梁的彎曲機(jī)械工程基礎(chǔ)基本要求

1.正確理解彎曲的概念。

2.了解梁的支座簡(jiǎn)化形式，正確計(jì)算約束力。

3.掌握建立剪力、彎矩方程的方法，并能按剪力、彎矩方程正確畫出剪力圖和彎矩圖。

4.正確應(yīng)用正應(yīng)力公式計(jì)算橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力及最大正應(yīng)力。

5.掌握簡(jiǎn)單截面的慣性矩抗彎截面模量的計(jì)算公式。

6.會(huì)正確確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，并能正確計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力。

7.熟悉彎曲強(qiáng)度計(jì)算準(zhǔn)則及其應(yīng)用。

8.掌握提高梁強(qiáng)度的主要措施。7.1彎曲機(jī)械工程基礎(chǔ)墻樓板1.基本概念橋板機(jī)械工程基礎(chǔ)

彎曲：構(gòu)件受到垂直于軸線的外力（稱為橫向力）或位于其軸線所在的平面內(nèi)的力偶作用，使構(gòu)件的軸線由直線變成曲線（或原曲線的曲率發(fā)生變化），這種變形形式稱為彎曲。

梁：通常將只發(fā)生彎曲變形（或以彎曲變形為主）的構(gòu)件稱為梁。常用梁截面機(jī)械工程基礎(chǔ)

平面彎曲：當(dāng)梁具有縱向?qū)ΨQ平面時(shí)，如果作用在梁上的所有外力和力偶都在縱向?qū)ΨQ平面之內(nèi)，則變形后梁的軸線將是該平面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形形式稱為平面彎曲。這是彎曲問(wèn)題中最基本也是最重要的一種變形形式。

（l）簡(jiǎn)支梁

梁的兩端均有約束，一端可簡(jiǎn)化為固定鏈支座，另一端可簡(jiǎn)化為活動(dòng)鉸支座的梁稱為簡(jiǎn)支梁。2.梁的基本形式機(jī)械工程基礎(chǔ)ABP2P1FAyFBFAxABP1P2MAFAyFAx

（2）懸臂梁一端為固定端、另一端自由的梁稱為懸臂梁。P1P2ABCFAyFBFAx

（3）外伸梁若簡(jiǎn)支梁有一端或兩端伸出支座之外，則為外伸梁。

為了分析研究的簡(jiǎn)便，常以梁的一條軸線來(lái)代表梁，以簡(jiǎn)化了的支座代表實(shí)際支承結(jié)構(gòu)，再畫上載荷，所得的示意圖形稱為梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。梁的支座之間的距離稱為跨度。機(jī)械工程基礎(chǔ)7.2梁的彎曲內(nèi)力機(jī)械工程基礎(chǔ)1.基本概念

以圖a所示的簡(jiǎn)支梁為例，用截面法來(lái)分析梁橫截面上的彎曲內(nèi)力。機(jī)械工程基礎(chǔ)

梁的彎曲內(nèi)力有與橫截面平行的剪力Q和使梁的軸線曲率發(fā)生改變的彎矩M。

剪力：在梁的某一截面上，與外力主矢平衡的內(nèi)力分量，它與橫截面平行，記作Q。彎矩：在梁的某一截面上，與外力主矩平衡的內(nèi)力，其矢量垂直于梁的軸線，并使梁的軸線曲率發(fā)生變化，記作M。2.剪力和彎矩的計(jì)算機(jī)械工程基礎(chǔ)

以圖a所示的簡(jiǎn)支梁為例，用截面法來(lái)計(jì)算梁橫截面上的彎曲內(nèi)力。先用平衡方程求出約束反力

再取左段梁（圖c）為研究對(duì)象，取橫截面的形心C為矩心，列平衡方程，計(jì)算彎曲內(nèi)力：剪力Q和彎矩M。機(jī)械工程基礎(chǔ)

機(jī)械工程基礎(chǔ)

若取右段梁（圖d）為研究對(duì)象，同樣可求得剪力Q和彎矩M為：

計(jì)算彎曲內(nèi)力－剪力與彎矩的一般步驟是：先根據(jù)梁的外載荷求出約束反力；然后用截面法，根據(jù)外載荷和約束反力，利用平衡方程求出剪力和彎矩。橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于其左段或右段梁上所有外力的代數(shù)和；橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于其左段或右段梁上所有外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。3.剪力與彎矩的正負(fù)規(guī)定機(jī)械工程基礎(chǔ)

對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)作出如下規(guī)定：⑴截面上的剪力使所取研究對(duì)象有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者，為正；反之為負(fù)；⑵截面上的彎矩使所取研究對(duì)象產(chǎn)生向下凸的變形者，為正；反之為負(fù)。4.彎矩圖機(jī)械工程基礎(chǔ)

剪力圖和彎矩圖：表示剪力和彎矩沿梁軸線變化的圖形。以截面離梁的某一端（左端）的距離x來(lái)表示截面的位置，剪力Q就是一個(gè)x的函數(shù)Q=Q（x），這個(gè)關(guān)系式稱為剪力方程。相應(yīng)地，表示彎矩的方程M=M（x）則稱為彎矩方程。實(shí)際上，只有在梁的跨度很小的情況下，剪力才能對(duì)梁的強(qiáng)度和剛度產(chǎn)生較明顯影響，而絕大多數(shù)的梁，彎矩是強(qiáng)度、剛度的決定因素。因此，一般只著重于彎矩的分析計(jì)算?！、M方程及畫Q、M圖時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題機(jī)械工程基礎(chǔ)

確定“控制面”的彎矩和剪力時(shí)，要應(yīng)用截面法，用假想截面從所考察的截面處將梁截開(kāi)，與求拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力一樣，切不可將截面附近處的外力當(dāng)作截面上的彎矩和剪力。對(duì)截面法熟悉后，可以不必在紙面上畫出截開(kāi)后的圖形，但一定要有截開(kāi)的概念。

求約束反力及截開(kāi)后求剪力、彎矩時(shí)，可應(yīng)用靜力學(xué)中力的簡(jiǎn)化方法進(jìn)行計(jì)算，但在截開(kāi)之前，不能將梁上的外力簡(jiǎn)化，并用靜力學(xué)等效的梁替代原梁求剪力、彎矩。機(jī)械工程基礎(chǔ)

彎矩、剪力的正負(fù)號(hào)不僅關(guān)系到所畫的彎矩圖和剪力圖是否正確，而且對(duì)以后的強(qiáng)度和剛度計(jì)算都有很大的影響，因此要特別注意避免發(fā)生正負(fù)號(hào)的錯(cuò)誤。因?yàn)閺澗睾图袅Φ恼?fù)號(hào)是根據(jù)它們所引起的變形效果規(guī)定的，所以不僅要根據(jù)它們的作用方向，而且要考慮它們的作用面，然后按彎矩、剪力的符號(hào)規(guī)定來(lái)確定它們的符號(hào)。

一般情況下，應(yīng)先按彎矩、剪力的符號(hào)規(guī)定，假設(shè)截面上的彎矩和剪力為正方向，然后由平衡方程計(jì)算截面上的彎矩、剪力。若結(jié)果為正，則說(shuō)明假設(shè)的正方向是正確的，即該截面上的彎矩、剪力為正；若結(jié)果為負(fù)，則說(shuō)明彎矩、剪力的實(shí)際方向相反，即為負(fù)。7.3梁的彎曲應(yīng)力機(jī)械工程基礎(chǔ)

純彎曲：若某段梁的橫截面上只有彎矩、沒(méi)有剪力，則這段梁的受力狀態(tài)稱為純彎曲。純彎曲梁的所有截面上彎矩為常量。如圖所示的AB段梁，其受力狀態(tài)就是純彎曲。1.純彎曲橫截面上的應(yīng)力及其分布機(jī)械工程基礎(chǔ)

取一矩形截面的直梁，在它的側(cè)面畫上縱向線aa、bb和橫向線nn、qq，如圖a。然后在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對(duì)等值、反向的力偶M，使梁產(chǎn)生如圖b的純彎曲變形。從變形后的縱向線a′a′、b′b′和橫向線n′n′、q′q′可以看出：⑴橫向線在變形后仍為直線且仍與縱向線垂直，但發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；⑵縱向線變成弧線，凹邊的線段a′a′比原先的aa縮短，凸邊的線段b′b′比原先的bb伸長(zhǎng)。機(jī)械工程基礎(chǔ)

彎曲變形中保持縱向長(zhǎng)度不變的這一層，稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，中性軸通過(guò)橫截面的形心。中性層以上，離中性層越遠(yuǎn)，縮短得越多；中性層以下，離中性層越遠(yuǎn)，伸長(zhǎng)得越多。用線應(yīng)變的概念來(lái)描述就是：材料的縱向應(yīng)變與到中性層的距離成正比，中性層一側(cè)的線應(yīng)變?yōu)樨?fù)（縮短），中性層另一側(cè)的線應(yīng)變?yōu)檎ㄉ扉L(zhǎng)）；中性層處線應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

梁彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力σ的大小，與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。機(jī)械工程基礎(chǔ)

中性軸處的應(yīng)力為零，梁的凹邊頂層壓應(yīng)力最大，凸邊底層拉應(yīng)力最大。

梁純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力的分布情況如下圖。2．橫截面上應(yīng)力與彎矩的關(guān)系機(jī)械工程基礎(chǔ)

因?yàn)闄M截面上的內(nèi)力－彎矩是整個(gè)橫截面上應(yīng)力的合力，因此內(nèi)力和應(yīng)力兩者的大小和方向都互為因果，即⑴每一點(diǎn)的正應(yīng)力值都與彎矩成正比；⑵以中性軸為分界，一側(cè)為壓應(yīng)力，另一側(cè)為拉應(yīng)力，其具體的拉壓由彎矩的轉(zhuǎn)向決定。3.梁彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力機(jī)械工程基礎(chǔ)梁彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式IZ為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。IZ是對(duì)