2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 空間向量與 立體幾何 單元測(cè)試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元測(cè)試

—>—>

1、已知。=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

2、直三棱柱ABC—4B|G中，若場(chǎng)=久函=上工'=c,則“=()

A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c

3、若白，就｝是空間的一個(gè)基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+a

C.a+b+c,b+c,cD.a+2b,2b+3c,3a—9c

4、已知點(diǎn)A點(diǎn),-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1,4）則三角形ABC的形狀是（）

（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）斜三角形

5、如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2,

/ACB=90°,F、G分別是線段AE、BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為（）

送6B-46C*3D—喙3

6、如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是

2=（1,01）,萬(wàn)=（0,1,1）那么這條斜線與平面所成的角是（）

A、90°B、60°C、45°D、30°

8

7、若向量a=。，2，2）3=（2,7,2）,且］與后的夾角余弦為5,則N等于（）

A.2B.-2

2_2_

C.一2或55?D.2或55

8、已知平面a過(guò)點(diǎn)4(3,0,0),8(0,3,0),C(0,0,3),則原點(diǎn)。到平面a的距離為

()

A.3B.6C.也D.2百

9、已知￡=(4+1,0,24),B=(6,2"—1,2),￡〃反則尢〃的值分別為()

A.一,-B.5,2C.—,D.-5,-2

5252

10、已知向量。=(1』，°),則與［共線的單位向量3=()

(一也一也0)

A.2'2')B.(°，L°)

J272

C.(彳亍。)D(1,1,1)

11、下列命題中不正確的命題個(gè)數(shù)是()

①.如果。，反守共面，瓦如［也共面，則第瓦共面;

②.已知直線a的方向向量G與平面a,若汗〃a,則直線a〃a；

③若尸、M、A、8共面，則存在唯一實(shí)數(shù)使礪=為的+)，礪，反之也成立；

④.對(duì)空間任意點(diǎn)0與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若加=x^+y礪+z玩

(其中x、y、zeR),貝l］P、A、B、C四點(diǎn)共面

A.3B.2C.1D.0

12、已知A(l,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-7,10,24)B.(7,-10-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)

13>已知a=3m—2n—4p,b=(x+l)m+8n+2yp,其中bWO且m,n,p兩兩不共

線，若2〃匕則實(shí)數(shù)x,y的值分別為.

14、若3=(0,1,—1)石=(1,1,0)且［+忘)，3,則實(shí)數(shù)幾的值是.

15、已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點(diǎn)P(x,0,z),若PA_L平面ABC,則點(diǎn)P的

坐標(biāo)為.

16、已知向量Q=(0,-1,1),ft=(4,1,0),|而+耳=而且4>0,則

A—.

17、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的

兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.

(1)單位向量共有多少個(gè)？

(2)試寫(xiě)出模為小的所有向量.

(3)試寫(xiě)出與加相等的所有向量.

->

(4)試寫(xiě)出AA1的相反向量.

18、已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以AB和后為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若|a|=4,且a分別與京,AC垂直,求向量a的坐標(biāo).

19、如圖，46(力是塊矩形硬紙板，其中4斤2/慶2&,￡為火中點(diǎn)，將它沿4￡折

成直二面角D-AE-B.

(I)求證：平面BDE；

(II)求二面角6-力。-￡的余弦值.

20、如圖，在三棱錐戶一/a'中，ABVBC,AB=BC=

kPA,點(diǎn)、0、〃分別是%的中點(diǎn)，底面力6C.

(I)求證：0〃〃平面為8；

(II)當(dāng)左=工時(shí)，求直線均與平面府所成角的大小；

2

(III)當(dāng)在取何值時(shí)，。在平面胸內(nèi)的射影恰好為的重心？

21、如圖建立空間直角坐標(biāo)系，已知正方體的棱長(zhǎng)為乙

(1)求正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求A'的長(zhǎng)度.

22、如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為菱形，NBA。=60°,Q是AD的中

點(diǎn).

(I)若PA=PD,求證：平面PQBJ_平面PAD；

(11)若平面APD,平面ABCD,且B4=PD=A￡>=2,點(diǎn)M在線段PC上，試確定

點(diǎn)M的位置，使二面角M-8Q—C的大小為60°,并求出名的值.

參考答案

1、答案B

利用向量共線定理即可得出.

詳解

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解：若方=(-4,6,-2),則b=-2(2,-3,1)=-2%所以a〃瓦

故選：B.

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查空間向量共線的充要條件，熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵.

2、答案D

要表示向量福，只需要用給出的基底ab,C表示出來(lái)即可，要充分利用圖形的直觀

性，熟練利用向量加法的三角形法則進(jìn)行運(yùn)算.

解答：解:4月_AjA+AB=—OCj+CB—CA

=-a+b-c

故選D

3、答案D

根據(jù)空間向量的共面定理，一組不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)選項(xiàng)中的向量進(jìn)

行判斷即可。

詳解

對(duì)于4:2,2瓦32,B:R+Mb+/+2,C:怎+5+2石+工￡,每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空

間的一個(gè)基底，

對(duì)于0：a+232日+3c,3a-9c滿足：

3a-9c=3[(^+2b)-(2b+3^],是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

故選D

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了向量的相關(guān)知識(shí)，考查了空間向量共面的判斷與應(yīng)用問(wèn)題，熟練掌握向

量基底的定義以及判斷條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。

4、答案A

5、答案A

6、答案B

7、答案C?

1=(1以2)萬(wàn)二(2,7,2)

8、答案C

9、答案A

由題意得，a//b,所以Z=即(/1+1,0,2/1)=X(6,2M—1,2),解得a=；,“=(,

故選A.

考查目的：空間向量的運(yùn)算.

10、答案AC

根據(jù)向量數(shù)乘的概念，可知單位向量的求法，網(wǎng)，即可求出.

詳解

設(shè)與z共線的單位向量為工,所以力工,因而卜卜㈤=兇，得到'=±忖.

e=±TTn"<.____—^25/2—^2-

\a\a=Vi+T=V2e=(-^-,~y,O)、e=(--—,---,0)

故??,而"，所以22或22

故選：AC.

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查單位向量的求法以及共線向量定理的應(yīng)用.

11、答案D

不妨令5與e共線，a與5不共線，4與2不共線，滿足反反c共面，瓦機(jī)I也共

面，但。，瓦口，不一定共面，故①不正確；已知直線。的方向向量a與平面a,若G//2,

則直線a//a或aua,故②不正確；不妨令M,A,3三點(diǎn)共線，點(diǎn)尸史AB,則不存在

實(shí)數(shù)使旃=》詞+>碗成立，故③不正確，由共面向量基本定理的推論，可得

對(duì)空間任意點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A8,C，若。戶=xC4+y麗+zOC(其中

x+y+z=l),則P,A,8,C四點(diǎn)共面，由于缺少條件+x+y+z=\,故④不正確，正

確的命題個(gè)數(shù)是0,故選D.

12、答案D

根據(jù)1=(-3,4,12),且AB=2「，可得&的值，同時(shí)已知A(l,-2,0),可得B的坐標(biāo).

詳解

解：???a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),

???A(l,-2,0),???B=(-6+l,8-2,24+0)=(-5,6,24),

故選D.

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是牢記公式，在數(shù)字運(yùn)算的

時(shí)候要細(xì)心.

13、答案一138

因?yàn)閍〃b,

所以3m—2n—4p=X[(x+l)m+8n+2yp]

所以x(x+1)=3,8入=—2,2y入=-4,

所以x=-13,y—8.

14、答案一2

15、答案(T,0,2)

根據(jù)題意算出反，的，前的坐標(biāo)，由PA,平面ABC得

P^1京且反1■京，建立關(guān)于x、y的方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解

由題意得加(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-i),AC=(2,0,1),由PX1京，得PX-ALXT+Z=0,

由PAlAb,得pX-Ab=_2x-z=0,解得iz=2.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(T,0,2).

名師點(diǎn)評(píng)

本題給出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，在PA_L平面ABC的情況下求點(diǎn)P的坐標(biāo).著重考查了空間

向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量語(yǔ)言表述線面的垂直與平行的關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16、答案3

(龍+B)2=29,化簡(jiǎn)得：^a2+2Aab+b2=29,代入坐標(biāo)運(yùn)算，

22(O2+(-1)2+12)+2/1(0X4-1X1+1X0)+42+12+O2=29,22-A-6=0,(2>0),

解得：4=3.

考查目的：1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.模的運(yùn)算

17、答案:：(1)根據(jù)定義模為1的向量即為單位向量(2)在長(zhǎng)方體中求出對(duì)角線長(zhǎng)為

由，即可寫(xiě)出所求向量(3)根據(jù)大小相等，方向相同即為相等向量可寫(xiě)出(4)大小相

等，方向相反的向量即為相反向量.

詳解

(1)模為1的向量有A1A，AA1，B1B,BB],C￡CC1，D1D,DD1,共8個(gè)單位向量.

(2)由于這個(gè)長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)的對(duì)角線長(zhǎng)均為小,因此模為小的向量為AD1，D1A,A1U

DA],BC],C]B,B]C,CB]

->->->

(3)與向量6B相等的向量(除它自身之外)為A[B],DC及D]C].

(4)向量AA1的相反向量為AIA,BIB,C]C,D]D

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，屬于中檔題.

18、答案⑴7&(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

試題分析：(1)先寫(xiě)出兩邊表示向量坐標(biāo)，再由向量夾角公式求角A的余弦值，由同角

關(guān)系求角A的正弦值，再由面積公式可求解。(2)設(shè)；=(x,y,z),由向量垂直則數(shù)量積為

0,待定系數(shù)法求得向量a坐標(biāo)。

詳解

(1)由題中條件可知,艙=(-2,-1,3),人工(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以cos〈融辰>=|AB||扇麻用2

于是sin<AB,AC>=2.

故以血和后為鄰邊的平行四邊形的面積為

S=|AB||AC|sin<AB,AC>=i4X2=7亞

,222c

x+y+z=3,

-2x-y+3z=0,

(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x-3y+2z=0,

(X=1,rX=-1,

y=1,或卜=-1,

解得|z=l(z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(-l,T,T).

名師點(diǎn)評(píng)

-?T

-?->a?b-?-?

COS<a,b>=-------—<a,b>6[0,n]

求平面向量夾角公式：Ia「|b|，若,二名必七沈二與叢馬)，則

「xz+yM+zR-

cos<a,b>=,——,：,<a,b>e[0,n]

x2+2+z2x2+2+z2

JiyiiJ2v22o

19、答案(I)證明：由題設(shè)可知AD,DE,取AE中點(diǎn)0,

連結(jié)0D、BE,VAD=DE=V2,A0D1AE,

又?.?二面角D—AE—B為直二面角，

.?.0口_1_平面ABCE,AODIBE,AE=BE=2,AB=2a,

.*.AB2=AE2+BE2,AE±BE,0DnAE=0,，BE，平面ADE,

.'.BELAD,BECDE=E,，AD_L平面BDE.

(II)取AB中點(diǎn)F,連結(jié)OF,則OF〃EB,...OF_1_平面ADE,

以0為原點(diǎn)，0A,OF,0D為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，

z

貝0,0),D(0,0,1),B(—1,2,0),AD=(-1,0,1),BO=(l,-2,1),

設(shè)m-(x,y,z)是平面ABD的一個(gè)法向量，則/n?BD=0,

m-AD=0,<X2)+z。取x=i,則y=l,z=1,則加=(1,1,1),平面ADE的法向

-x+z=0

量而=(0,1,0),cosd=藐?而_]_V|

'|m||OF|1-V33

(I)V0>D分別為AC、PC的中點(diǎn)：，0D〃PA,又PAB平面PAB,

，0D〃平面PAB.

(II)VABlBC,OA=OC,.*.OA=OC=OB,又?.?OP_L平面ABC,，PA=PB=PC.

取BC中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則BC_L平面POE,作0F1PE于F,連結(jié)DF,則()FJ_平面PBC

ZODF是0D與平面PBC所成的角.

又0D/7PA,APA與平面PBC所成角的大小等于NODF.

在RtaODF中，sinN0DF=427r

.?.PA與平面PBC所成角為arcsin

(III)由(II)知,0FL平面PBC,...F是0在平面PBC內(nèi)的射影.

YD是PC的中點(diǎn)，若F是APBC的重心，則B、F、D三點(diǎn)共線,直線0B在平面PBC內(nèi)的射

影為直線BD,VOB±PC.APC1BD,/.PB=BC,即k=l..反之,，當(dāng)k=l時(shí),三棱錐O-PBC為正

三棱錐，二。在平面PBC內(nèi)的射影為APBC的重心.

解法二：

：(^，平面ABC,OA=OC,AB=BC,AOAIOB,OA±OP,OB1OP.

以0為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)x軸,建立空間坐標(biāo)系0-xyz如圖），設(shè)AB=a,則A（。a,0,0）.

B(0,0a,0)，(-0a,0,0).設(shè)OP=h,則P(0,0,h).

I)D為PC的中點(diǎn)

PA=(—a,0,-//),OD=一一所,而〃PW,...OD〃平面PAB.

22

(H)：k=g,則PA=2a,.?.h=0,.?.閃=(等可求得平面PBC的法向量

-(\1-、PA-nJ210

n=(1,-1,-,口/-)、,..cos(PA,n)=——=-----.

V|PA||n|30

—■-J210

設(shè)PA與平面PBC所成角為9,剛sin0=|cos(PA,n)=-----.

30

PA與平面PBC所成的角為arcsin由3.

30

(HI)APBC的重心G(--a,—：.OG=(-

663663

?.?0GL平面PBC,.?.說(shuō)_L而,又而=(0,也兄一力)，；.OCPB=-a2--h2=0,

263

：.h=—a,：.PK=y]o^+lr,即k=l,反之，當(dāng)k=l時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐.

2

AO為平面PBC內(nèi)的射影為APBC的重心.

21、答案(1)詳見(jiàn)；(2)2根

試題分析：(1)根據(jù)空間坐標(biāo)系的定義，易得各點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)要求空間中兩點(diǎn)的距離,

可直接利用空間兩點(diǎn)的距離公式=+(丫1一丫29.七一Z2產(chǎn)求解出來(lái).

試題(1)正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)如下：

A](0,0,0),Bi(0,2,0),Ci(2,2,0),D](2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(222),D(2,0,2)

⑵解法-：子|=閃？77=2也

解法二：=2向