導數(shù)知識點總結及應用

《導數(shù)及其應用》知識點總結

一、導數(shù)的概念和幾何意義

1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)/(X)在區(qū)間囚,引上的平均變化率為：/(-)1/(西)。

2.導數(shù)的定義：設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(〃/)上有定義，玉)￡(〃力)，若無限趨近于0時，比值

孚=/(%+?—"%)無限趨近于一個常數(shù)4則稱函數(shù)八刈在x=/處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)/(x)在

ArAx

x=x0處的導數(shù)，記作r(%)。函數(shù)/(X)在X=X0處的導數(shù)的實質(zhì)是在該點的瞬時變化率。

3.求函數(shù)導數(shù)的基本步驟：(1)求函數(shù)的增量緲=〃/+-)-/(%)；(2)求平均變化率：

/(x0+Ax)-/(x0)；(3)取極限，當AX無限趨近與0時，"X。+。)-/(與)無限趨近與一個常數(shù)A,則

AxAx

f\x0)=A.

4.導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)就是曲線)，=/(X)在點/J(%))處的切線的斜率。由此，可以利用導數(shù)求

曲線的切線方程，具體求法分兩步：

(1)求出y=/(x)在施處的導數(shù)，即為曲線y=/(x)在點(%,/(%))處的切線的斜率；

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-%=/'(x0)(x-%)。

當點尸(%,%)不在y=Ax)上時，求經(jīng)過點夕的y=/(x)的切線方程，可設切點坐標，由切點坐標得到

切線方程，再將一點的坐標代入確定切點。特別地，如果曲線y=/(x)在點(%,/(%))處的切線平行與y軸,

這時導數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=%。

5.導數(shù)的物理意義：

質(zhì)點做直線運動的位移S是時間t的函數(shù)S"),則丫=5'⑴表示瞬時速度，a=v'(f)表示瞬時加速度。

二、導數(shù)的運算

1.常見函數(shù)的導數(shù)：

⑴(區(qū)+切'=左(左。為常數(shù))；(2)C=0(C為常數(shù))；

(3)(X)'=1；(4)(x2y=2x；

(5)(X3)'=3X2；(6)中’=十

⑺(6)，=%；(8)(xay=axal(a為常數(shù))

2\[x

(9)(a*)'=a*lna(“>0,ax1)；(10)(log,,=-log?e=-i—(a>0,a1)；

xx\na

(11)(")'="；(12)(Inx)(=—；

x

(13)(sinx)'=cosx；(14)(cosx)1=-sinx?

2.函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)：

(1)"⑴土g(x)]'=/'(x)±g'(x);(2)[Cf(x)]'=Cf'(x)(C為常數(shù))；

(3)"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+f(x)gXx);

(4)[g(%x)r=rg⑴"&》)㈤『/⑴￡：⑴(g(x)w0)

3.簡單復合函數(shù)的導數(shù)：

若y=f("),〃=ax+b,則乂=y：U，即乂=y：a。

三、導數(shù)的應用

1.求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,加內(nèi)可導，

(1)如果恒尸(幻>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3,?上為增函數(shù);

(2)如果恒((x)<0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,力上為減函數(shù);

(3)如果恒尸(x)=0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,。)上為常數(shù)函數(shù)。

利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)y=/(x)的定義域；②求導數(shù)尸(x)；

③解不等式:(x)>0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式:(x)<0,解集在定義域內(nèi)的

不間斷區(qū)間為減區(qū)間。

反過來，也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關問題(如確定參數(shù)的取值范圍)：

設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)可導，

⑴如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,h)上為增函數(shù),則f'(x)W0(其中使廣(x)=0的X值不構成區(qū)間)；

(2)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)上為減函數(shù),則/'(x)40(其中使/'(x)=0的X值不構成區(qū)間)；

(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(aS)上為常數(shù)函數(shù),則尸(x)=0恒成立。

2.求函數(shù)的極值：

設函數(shù)y=/(x)在/及其附近有定義，如果對與附近的所有的點都有(或/(x)<f(x。))，

則稱/(%)是函數(shù)/*)的極小值(或極大值)。

可導函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域；(2)求導數(shù)/'(x)；(3)求方程/'(x)=0的全部實根，%,<x2<??■<%?,

順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，/'(X)和/(x)值的變化情況：

???

X(-8,西)芭(%,占)4

廣(X)正負0正負0正負

/(X)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性

(4)檢查:(x)的符號并由表格判斷極值。

3.求函數(shù)的最大值與最小值：

如果函數(shù)/*)在定義域/內(nèi)存在看,使得對任意的xe/,總有/(X)4/(為)，則稱/(與)為函數(shù)在定義

域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。

求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值和最小值的步驟：

(1)求f(x)在區(qū)間3,b)上的極值;

(2)將第一步中求得的極值與/(a)"(b)比較，得到/(x)在區(qū)間團,切上的最大值與最小值。

4.解決不等式的有關問題：

(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。

/(x)(xeA)的值域是匕,句時，不等式/(x)<0恒成立的充要條件是f(x)1rax<0,即》<0；不等式

f(x)>0恒成立的充要條件是f(x)min>0,即a>0。

/(x)(xeA)的值域是(a,與時，不等式f(x)<0恒成立的充要條件是b$0；不等式/(%)>0恒成立的

充要條件是。20。

(2)證明不等式/(x)<0可轉化為證明/(初四<0，或利用函數(shù)JS)的單調(diào)性，轉化為證明

5.導數(shù)在實際生活中的應用：

實際生活求解最大(小)值問題，通常都可轉化為函數(shù)的最值.在利用導數(shù)來求函數(shù)最值時，一定要

注意，極值點唯一的單峰函數(shù)，極值點就是最值點，在解題時要加以說明.

1.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=其中aeR

ar+4x+4

(I)若a=0,求函數(shù)F(x)的極值；

(ID當a>l時，試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=［ax：-lnx,aeR.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間3

(H)若函數(shù)/Xx)在區(qū)間口向的最小值為1,求a的值.

3.(本小題共13分)

已知曲線/(x)=4?-e*(a*0).

<I)求曲線在點(0J(。))處的切線方程；

(II)若存在使得/1(X。)N0,求a的取值范圍.

1.(本小題滿分13分)

X*1

3)解：函數(shù)〃力=薪有的定義域為3XCR,且XHf.1分

ex*1(4x+4)-4ex*1_4*工"

分

r(x)(4x+4):=(4x+4)：.....................3

令/'(x)=0,得x=0,

當x變化時，/(x)和f'(x)的變化情況如下：

X—)(-L0)00+8)

/,(X)—一0+

/

.....................5分

故/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(TC,-1),(-1.0);單調(diào)增區(qū)間為(0,+8).

所猾x=0B寸，酬/(x)有極小值/(0)=；................................6分

4

(II)解：因為a>\,

所以car+4x+4=(x+2):+(o-l)x:>0,

所以函數(shù)/(x)的定義域為R,7分

+4氏+4)-廣：(2爾+4)e、ox+4-2a)

求導，得/'(力=8分

(acJ+4x+4)2(a?+4x+4)2

令/'(x)=0,得%=0,=2--,.....................9分

a

當lva<2時，毛〈須，

當x變化時，/(x)和/(幻的變化情況如下:

(f2-±)2-i(2-1.0)

X0(0,+8)

aaa

/r(x)+0一0+

/(X)zXz

故函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(2-±0),單調(diào)增區(qū)間為(YO.2-±),(0.+x).

aa

...........11分

當a=2時，毛=巧=0,

2K

因為/'(X)=(2：云4x+4130，(當且僅當x=0時，Z(x)=0)

所以函數(shù)/(x)在R單調(diào)遞熠.............12分

當a>2時，x2>x1,

當x變化時，，(x)和/'(力的變化情況如下:

42,4

X(f0)0(0,2—)(2——，+8)

aaa

/'(X)+0—0+

/(X)/

故函數(shù)"X)的單調(diào)減區(qū)間為(。,2-》，單調(diào)增區(qū)間為S。)，(2-*+8).

2.(本小題滿分13分)

解：函數(shù)/(X)的定義域是?70),r(x)=G-L=竺二1.

XX

(1)(1)當a=0時，r(x)=-l<0,故困數(shù)/(x)在(0,y)上單調(diào)遞減.

X

(2)當a<0B寸，/'(x)<0恒成立，所以函數(shù)/(x)在(0,y)上單調(diào)遞減.

(3)當a>0時，令f'(x)=0,又因為x>0,解得x=JJ.

①當xw?◎時,Hx)<0,所以函數(shù)/(X)在?J)單調(diào)遞減.

Y)時，/,(X)>0,所以1的數(shù)/(X)在(/,?)單調(diào)遞增.

等上所述，當&W0時，函數(shù)TV)的單調(diào)城區(qū)間是Of),

當a>0時，函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0.J),單調(diào)增區(qū)間為@2……7分

(II)<1)當a40時，由(I)可知，/(x)在口由上單調(diào)遞履,

所以/⑶的最小值為/(e)?；G：-l=l,解得a=3>0,舍去.

(2)當a>0時，由(I)可知，

①當Jwi,即4Ml時，函數(shù)/(X)在［"］上單調(diào)遞增，

所以蹦f(x)的最小值為/Q)=ga=1,解得a=2.

②當1<J<e,即±<a<l時，出數(shù)/(x)在aj)上單調(diào)遞減，在(J,e)上單

調(diào)遞熠，

所以1巡/(x)的最小值為/(()=