新高考數(shù)學(xué)人教版一輪課件第九章第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理知識點一分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．?

溫馨提醒?分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．m＋n1．從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有(

)A．30

B．20 C．10 D．62．(易錯題)a，b，c，d，e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當副組長，不同選法的種數(shù)是(

)A．20 B．16 C．10 D．6DB知識點二分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．

?

溫馨提醒

?

分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的．

m×n1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為(

)A．16 B．13 C．12 D．102．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為__________．答案：504C3．(易錯題)如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有__________條不同的路線．題型一分類加法計數(shù)原理自主探究1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(

)A．3

B．4

C．6

D．8D2．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為__________．答案：363．如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為__________．解析：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)……，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．答案：240使用分類加法計數(shù)原理時兩個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).題型二分步乘法計數(shù)原理自主探究1．(2021·新余模擬)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為(

)A．120

B．240

C．360

D．480C解析：第一步，從甲、乙、丙三人中選一個加到前排，有3種方法；第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種方法；第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人，有5種方法，此時形成了6個空，任選一個空加一人，有6種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的加入方法種數(shù)為3×4×5×6＝360.2．(2021·石家莊模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(

)A．10種 B．25種C．52種 D．24種解析：每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法．D3．(2020·高考全國卷Ⅱ)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有________種．利用分步乘法計數(shù)原理解題時三個注意點(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．(3)對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準確確定．題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用合作探究[例]

(1)(2021·重慶模擬)某地行政區(qū)域如圖，請你用4種不同的顏色為每個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有__________種不同的涂色方法．(用具體數(shù)字作答)[解析]

(1)假設(shè)按a→b→c→d→e順序涂色．對于a有4種涂色的方法，對于b有3種涂色方法，對于c有2種涂色方法，對于e：若c與d顏色相同，則有2種涂色方法，若c與d顏色不相同，則只有1種涂色方法．故共有4×3×2×(2＋1)＝72種不同的涂色方法．(2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個．由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)．[答案]

(1)72

(2)40

應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類和分步．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問題可借助圖表完成．[題組突破]1．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(

)A．40

B．16

C．13

D．10C2.用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為1,5,9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有__________種．邏輯推理——兩個計數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用[例]若m，n均為非負整數(shù)，在做m＋n的加法時各位均不進位(例如：134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序?qū)Γ瑒tm＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是__________．[解析]

第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3種組合方式．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)為2×10×5×3＝300.[答案]

300

解決兩個計數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用問題的關(guān)鍵是要抓住題中給的新定義信息分步或分類進行推理．[對點訓(xùn)練]定義集合A與