解析函數(shù)及其判定

解析函數(shù)及其判定在定義中應(yīng)注意:第2頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2解第3頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例3解第5頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（2）.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(i)函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù).（a)可導(dǎo)連續(xù)(ii)函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).(b)(i)實(shí)函數(shù)中構(gòu)造一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子非常困難；(ii)復(fù)變函數(shù)中處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)隨處可見第7頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（3）.求導(dǎo)法則:由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:第8頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.微分的概念:復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.（1）微分的定義第10頁,共71頁，2024年2月25日，星期天特別地,（2）可導(dǎo)與可微的關(guān)系第11頁,共71頁，2024年2月25日，星期天二、解析函數(shù)的概念1.解析函數(shù)的定義2.奇點(diǎn)的定義第12頁,共71頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)定義可知:(1)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,(2)函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.3.復(fù)變函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系第13頁,共71頁，2024年2月25日，星期天的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)在解析在可導(dǎo)在在連續(xù)（1）（2）在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域D內(nèi)解析第14頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例4解由本節(jié)例1和例3知:第15頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例6解第18頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共71頁，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)答案處處不可導(dǎo),處處不解析.第20頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定理以上定理的證明,可利用求導(dǎo)法則.4.解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有理運(yùn)算性質(zhì)：復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)：第21頁,共71頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.第22頁,共71頁，2024年2月25日，星期天三、判定函數(shù)解析性的方法定理一第23頁,共71頁，2024年2月25日，星期天成立存在在可微在C—R方程定理一第24頁,共71頁，2024年2月25日，星期天并且給出了求復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一種方法1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的表示形式（2)已知求注:(1)已知求第25頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2、函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件第26頁,共71頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)成立在區(qū)域D內(nèi)解析在內(nèi)可微在C—R方程定理二第27頁,共71頁，2024年2月25日，星期天解析函數(shù)的判定方法:第28頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3、充分條件成立存在在連續(xù)在C—R方程第29頁,共71頁，2024年2月25日，星期天成立在D內(nèi)解析在內(nèi)連續(xù)在C—R方程第30頁,共71頁，2024年2月25日，星期天4、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿足柯西－黎曼方程,第31頁,共71頁，2024年2月25日，星期天四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)第32頁,共71頁，2024年2月25日，星期天四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)第33頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2證第34頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例3解第35頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.復(fù)變指數(shù)函數(shù)（1）定義:稱為復(fù)變數(shù)的指數(shù)函數(shù)，記作：第36頁,共71頁，2024年2月25日，星期天（2）復(fù)變指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)<1><2>第37頁,共71頁，2024年2月25日，星期天<3>.加法定理例1解<4>第38頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:第40頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例3解第43頁,共71頁，2024年2月25日，星期天二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義第44頁,共71頁，2024年2月25日，星期天其余各值為特殊地,第45頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例4解注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.第46頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例5解第47頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例6解第48頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第49頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.性質(zhì)第50頁,共71頁，2024年2月25日，星期天三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪的定義注意:第51頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第52頁,共71頁，2024年2月25日，星期天特殊情況:第53頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第54頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例7解答案課堂練習(xí)第55頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例8解第56頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,第57頁,共71頁，2024年2月25日，星期天它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,第58頁,共71頁，2024年2月25日，星期天四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.第59頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例9解第61頁,共71頁，2024年2月25日，星期天有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).第62頁,共71頁，2024年2月25日，星期天(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)第63頁,共71頁，2024年2月25日，星期天其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義第64頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例11解第65頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例12解第66頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第67頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.雙曲函數(shù)的定義第68頁,共71頁，2024年2月25日，星期天它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以