實驗一：矩陣基本運算

數(shù)學(xué)實驗21小教優(yōu)師二班實驗一：矩陣基本運算1、相關(guān)符號及其代表A=[123;456；789]一行中數(shù)與數(shù)用，或空格分開A=123行與行用分號隔開A=123456789Y=[1234]Y(2)=2，Y(2)+Y(1)=3A=123456789A(1,2)=2A(:,1)表示第一列所有元素4A(1,:)表示第一行所有元素，23A(1,2:3)第一行2,3兩列_235A([12],3)第日3列12行A([12321],2)8Susum(A)行，列求和sum(A,2)第2個維度（列)求和Sum(A，1)列求和A'轉(zhuǎn)置y=[142]'y=1shift全選數(shù)據(jù)→新建腳本→保存數(shù)據(jù)2.極限與導(dǎo)數(shù)：symsnlimit((1+1/n)^n,n,inf)（雙側(cè)極限）symsxlimit(1/x,x,0,'left')（左極限）YY=diff(y,x,1)diff(f(x),x)（導(dǎo)數(shù)）3、 MATLAB可以將計算結(jié)果以不同的精度輸出，列表如下：4、MATLAB對使用變量名稱的規(guī)定：(1)變量名稱的英文大小寫是有區(qū)別的(apple、Apple、AppLe三個變量不同)；(2)變量的長度上限為19個字母；(3)變量名的第一個字母必須是英文，隨后可以摻雜英文字、數(shù)字或是下劃線。下表給出MATLAB所定義的特殊變量及其意義：5、常見數(shù)學(xué)函數(shù)round(x)按四舍五入，對x取整fix(x)將x值近似至最接近0的整數(shù)floor(x)將x值近似至最接近-0的整數(shù)ceil(x)將*值近似至最接近0的整數(shù)sign(x)檢驗x的符號，x<0返回值為-1，x=0返回值為0，x>0返回值為1rem(x，y)求x/y的余數(shù)exp(x)指數(shù)函數(shù)log(x)以e為底的對數(shù)函數(shù)即自然對數(shù)log10(x)以10為底的對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)：sin(x)、cos(x)、tan(x)、asin(x)、acos(x)、atan(x)、atan2(y,x)雙曲線函數(shù)sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)、asinh(x)、acosh(x)、atanh(x)多項式的四則運算>>a=[1234]；b=[14916]；%給出兩個多項式a和b>>c=a+b; %求兩個多項式的和的多項式 >>d=a-b; %求兩個多項式的差的多項式 >>e=conv(a，b) %求兩個多項式的積的多項式 >>[q，r]=deconv(a，b) %求兩個多項式的商和余數(shù)的多項式常用數(shù)據(jù)分析函數(shù)MATLAB提供了很多數(shù)據(jù)處理和分析的函數(shù)，常見的有:max(x)找出數(shù)組x中的最大值。max(x，y)找出數(shù)組x及y的最大值，產(chǎn)生一個由兩個數(shù)組中最大的元素組成的新數(shù)組。[y，i]=max(x)將數(shù)組x中的最大值賦給y，其所在位置賦給i。min(x)找出數(shù)組x中的最小值。min(xv)找出數(shù)組x及y的最小值，產(chǎn)生一個由兩個數(shù)組中最小的元素組成的新數(shù)組。[y，i]=min(x)將數(shù)組x中的最小值賦給y，其所在位置賦給i。mean(x)求出數(shù)組x中的平均值。、median(x)找出數(shù)組x的中位數(shù)。sum(x)計算數(shù)組x的總和。prod(x)計算數(shù)組x的連乘積。cumsum(x)產(chǎn)生新的數(shù)組，每一項都是原數(shù)組x中前項的累加和。cumprod(x)產(chǎn)生新的數(shù)組，每一項都是原數(shù)組x中前項的連乘積。例如:>>x=[12345];>>sum(x) %將x中的各項求和，結(jié)果為15 >>prod(x) %將x中的各項連乘，結(jié)果是120 >>cumsum(x) %將x的每一項與它的前項累加后生成新的數(shù)組[1361015] >>cumprod(x) %將x的每一項與它的前項連乘后生成新的數(shù)組[12624120]實驗二：曲線繪圖1.以直角坐標(biāo)方程y=sinx,y=cosx表示的正、余弦線。2.以參數(shù)方程x=cost,y=sint,t∈[0,2π]表示的平面曲線(單位圓)3.以參數(shù)方程x=e-0.2tcosπ/2t,y=π/2e-0.2tsint,z=t,t∈[0,20]表示的空間曲線。4.以極坐標(biāo)方程r=a(1+cosφ),a=1,φ∈[0,2π]表示的心臟線。x=-2*pi:0.01:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)這段代碼用于生成一個以x為自變量，y為因變量的正弦函數(shù)圖形，并將其繪制在圖表上。具體來說，代碼中的變量x范圍從-2π到2π，以0.01為間隔進行步進。y是對x中每個值計算出的正弦函數(shù)值。通過執(zhí)行`plot(x,y)`命令，將會生成一個包含正弦函數(shù)圖像的圖表。圖表橫軸表示x的取值范圍，縱軸表示對應(yīng)的正弦函數(shù)值?？梢允褂迷搱D表來觀察正弦函數(shù)的周期性變化以及其在給定范圍內(nèi)的波動。腳本代碼：x=-2*pi:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y,'rd')title('正弦函數(shù)圖像'),xlabel('自變量'),ylabel('y=sinx')holdonx=-2*pi:0.1:2*pi;y=cos(x);plot(x,y,'bd')title('正弦函數(shù)圖像'),xlabel('自變量'),ylabel('y=sinx')首先定義了變量x的取值范圍從-2π到2π，步長為0.1，然后使用sin函數(shù)計算對應(yīng)的y值，并將結(jié)果保存在變量y中。接下來，使用plot函數(shù)將x和y的值繪制成散點圖，散點的樣式設(shè)置為紅色的圓點（'rd'）。同時，使用title函數(shù)設(shè)置圖表的標(biāo)題為"正弦函數(shù)圖像"，xlabel函數(shù)設(shè)置橫軸的標(biāo)簽為"自變量"，ylabel函數(shù)設(shè)置縱軸的標(biāo)簽為"y=sinx"。使用holdon命令可以在同一張圖上繪制多個數(shù)據(jù)。因此，接下來的代碼重新定義了x和y，并計算了對應(yīng)的cos函數(shù)值，并將結(jié)果以藍色方塊（'bd'）的形式繪制在圖表上。最后，使用title、xlabel和ylabel函數(shù)對第二組圖像進行標(biāo)題和軸標(biāo)簽的設(shè)置。執(zhí)行以上代碼后，將會生成一張圖表，包含了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像，分別用紅色圓點和藍色方塊表示，圖表包括了標(biāo)題和軸標(biāo)簽。腳本代碼：x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x)plot(x,y1,'rd',x,y2,'b*')title('正弦函數(shù)圖像'),xlabel('自變量'),ylabel('y=sinx')首先定義了變量x的取值范圍從-2π到2π，步長為0.1。接著，使用sin函數(shù)計算出對應(yīng)x值的正弦函數(shù)值，并將結(jié)果保存在變量y1中。使用cos函數(shù)計算出相同x值的余弦函數(shù)值，并將結(jié)果保存在變量y2中。然后，通過調(diào)用plot函數(shù)，使用紅色圓點('rd')表示正弦函數(shù)的散點圖，同時使用藍色星號('b*')表示余弦函數(shù)的散點圖。在這個函數(shù)調(diào)用中，我們將x,y1和x,y2作為輸入，表示要繪制兩組不同的散點圖。接下來，使用title函數(shù)設(shè)置圖表的標(biāo)題為"正弦函數(shù)圖像"，xlabel函數(shù)設(shè)置橫軸的標(biāo)簽為"自變量"，ylabel函數(shù)設(shè)置縱軸的標(biāo)簽為"y=sinx"。執(zhí)行以上代碼后，將會生成一張圖表，包含正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像。其中，正弦函數(shù)的圖像由紅色圓點表示，余弦函數(shù)的圖像由藍色星號表示。圖表還包括了標(biāo)題和軸標(biāo)簽。腳本代碼：t=0:0.01:8*pi;b=8;a=9;c=10;y=b*sin(t);x=a*cos(t);z=c*t;plot3(x,y,z)定義了變量t的取值范圍從0到8π，步長為0.01。同時，定義了變量b為8，a為9，c為10。然后，使用sin函數(shù)計算出變量t對應(yīng)的正弦函數(shù)值，并將結(jié)果乘以b，保存在變量y中。使用cos函數(shù)計算出變量t對應(yīng)的余弦函數(shù)值，并將結(jié)果乘以a，保存在變量x中。變量z的取值為c乘以t。最后，使用plot3函數(shù)將變量x、y和z繪制成三維圖形。這個函數(shù)將使用x和y的值表示圖形的平面坐標(biāo)，而z的值則用于表示圖形的高度。執(zhí)行以上代碼后，將會生成一個三維圖形，圖形由曲線組成。曲線的形狀由x、y和z的取值決定。其中，x坐標(biāo)由a*cos(t)決定，y坐標(biāo)由b*sin(t)決定，z坐標(biāo)由c*t決定。實驗三：極限與導(dǎo)數(shù)1、待解決的問題：2、解決方法a.作出函數(shù)y=cosx在區(qū)間[-1，-0.01]，[0.01,1],[-1，-0.001],[0.001,1]等區(qū)間上的圖形，觀測圖形在x=0附近的形狀。b.作出函數(shù)y=sinx/x在區(qū)間[-1，-0.01]，[0.01,1],[-1，-0.001],[0.001,1]等區(qū)間上的圖形，觀測圖形在x=0附近的形狀。c.d.先求函數(shù)y=x-6x+3，然后在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)y=x*-6x+3及其導(dǎo)函數(shù)y'=3x*-6的圖形。3、代碼(1)、極限的存在性（y=cos(1/x)y=sin(1/x)）在區(qū)間[-1,-0.001]繪圖的MATLAB代碼為：>>x=-1:0.0001:-0.01;y=cos(1./x);plot(x,y)clear;symsx;limit(cos(1/x),x,0)結(jié)果為ans=-1..1(既極限值在-1,1之間，而極限如果存在必唯一，故極限不存在)(2)、驗證極限a：在區(qū)間[-1,-0.01]繪圖的MATLAB代碼為：>>x=-1:0.0001:-0.01;y=sin(x)./x;plot(x,y)clear;symsx;limit(sin(x)/x,x,0)結(jié)果為ans=1(3)、驗證數(shù)列極當(dāng)n=1,2,……，400時，MATLAB代碼為：x=10:0.1:400;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)symsnlimit((1+1/n)^n,n,inf)(4)、函數(shù)求導(dǎo)symsxy=x^3-6*x+3;YY=diff(y,x,1);clearx=-4:0.01:4;y1=x.^3-6*x+3;y2=3*x.^2-6;plot(x,y1,x,y2,':')symsxa=fzero('x^3-6*x+3',[-4,-2])b=fzero('x^3-6*x+3',[0,1.5])c=fzero('x^3-6*x+3',[1.5,3])cleary='x^3-6*x+3';xmin=fminbnd(y,0,3);x=xminymin=eval(y)xmax=fminbnd('-(x^3-6*x+3)',-3,0);x=xmaxymax=eval(y)實驗四：級數(shù)1、待解決的問題2、解決方法a.先用taylor命令觀測函數(shù)y=sinx的Maclaurin展開式的前幾項。b.c.3、代碼symsxtaylor(sin(x),x,1,'order',1)提供的代碼通過使用符號計算工具箱中的`taylor`函數(shù)，計算了正弦函數(shù)在`x=1`處的一階泰勒展開式。symsxy1=taylor(sin(x),x,0,'order',1)y2=taylor(sin(x),x,0,'order',2)y3=taylor(sin(x),x,0,'order',3)y4=taylor(sin(x),x,0,'order',4)y5=taylor(sin(x),x,0,'order',5)y6=taylor(sin(x),x,0,'order',6)x=0:0.01:pi;y=sin(x);y1=x;y2=-x.^3/6+x;y3=x.^5/120-x.^3/6+x;plot(x,y,'g',x,y1,'b',x,y2,'y',x,y3,'r')設(shè)置`x`的取值范圍為從0到π，以步長0.01進行均勻取樣，分別計算出正弦函數(shù)的真實值`y`，以及不同階數(shù)的泰勒展開近似值`y1`、`y2`、`y3`、`y4`、`y5`、`y6`。最后，使用`plot`函數(shù)將真實值`y`和泰勒展開近似值`y1`~`y6`分別以不同顏色的曲線顯示在同一張圖中。綜上所述，提供的代碼通過使用符號計算工具箱中的`taylor`函數(shù)，計算了正弦函數(shù)在`x=0`處的不同階數(shù)的泰勒展開式，并繪制了展開式和真實函數(shù)的圖像。>clear;symsk;>>simple(symsum(1/k^2,1,inf))ans=1/6*pi^2實驗五：積分【實驗內(nèi)容】1.用符號積分命令int計算積分∫?〖x2sinxdx〗2.計算數(shù)值積分∫_2^2?x^4dx，∫_0^1?1(sinx^2)/(1+x)dx3.計算數(shù)值積分∫_(x^2+y^2≤1)?1（∫?〖1+x+y〗）dxdy練習(xí)1用符號積分命令int計算積分∫?〖x2sinxdx〗，MATLAB代碼為:>>clear;symsx;>>int(x^2*sin(x))結(jié)果為ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)如果用微分命令diff驗證積分正確性，MATLAB代碼為:>>clear;symsx;>>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))結(jié)果為ans=x^2*sin(x)練習(xí)2計算數(shù)值積分∫_2^2?x^4dx，∫_0^1?1(sinx^2)/(1+x)dx，先用梯形積分法命令trapz計算積分∫_2^2?x^4dx，MATLAB代碼為:>>clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;%積分步長為0.1>>trapz(x，y)結(jié)果為ans=12.8533實際上，積分∫_2^2?x^4dx的精確值為64/5=12.8·如果取積分步長為0.01,MATLAB代碼為:>>clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;%積分步長為0.01>>trapz(x，y)結(jié)果為ans=12.8005如果用quad8命令計算積分∫_2^2?x^4dx，得先編寫被積函數(shù)f(x)=x^2的M函數(shù)%M函數(shù)fun1mfunctiony=fun1(x)y=x.^4;保存后,在命令窗口用MATLAB代碼:>>clear;>>quad8('fun1',-2,2)>>vpa(quad8('fun1',-2,2)10)%以10位有效數(shù)字顯示結(jié)果結(jié)果為ans=12.8000ans=1280000000如果用符號積分法命令int計算積分∫_2^2?x^4dx，MATLAB代碼為:>>clear;symsx;>>int(x^4,x,-2,2)結(jié)果為ans=64/5對于定積分∫_0^1?1(sinx^2)/(1+x)dx,用步長為0.1,0.01的梯形積分命令trapz計算的結(jié)果分別為(MATLAB代碼略去)ans=0.1811ans=0.1808用quad8命令計算結(jié)果為(顯示10位有效數(shù)字)ans=.1807896039】練習(xí)3計算數(shù)值積分∫_(x^2+y^2≤1)?1（∫?〖1+x+y〗）dxdy用int符號計算求解，MATLAB代碼為:>>clear;symsxy;>>iy=int(1+x+y，y，-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));>>int(iy,x,-1,1)結(jié)果為ans=pi實驗六：常微分方程1、概念未知的函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量都由一已知方程聯(lián)系在一起的方程稱為微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱為常微分方程。常微分方程的一般形式為Ft,y,y',y'',…）＝02、解微分方程的MATLAB命令MATLAB中主要用dsolve求符號解析解，ode45，ode23，ode15s求數(shù)值解。s=dsolve(‘方程1’，‘方程2…’，‘初始條件1’，‘初始條件2’…，‘自變量’)導(dǎo)數(shù)用D表示，2階導(dǎo)數(shù)用D2表示，以此類推。練習(xí)1求常微分方程的解析解練習(xí)2求解微分方程y'＝-y＋t＋1,y0）＝1cleary1=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t');求出解析解t=0:0.01:1;y1=t+exp(-t);plot(t,y1)畫出解析解的圖像f=@(t,y)-y+t+1;[t,y]=ode45(f,[0,1],1);求數(shù)值解holdonplot(t,y,'ro')畫出數(shù)值解的圖像，對比cleary1=dsolve('D2y=9.8*sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t')沒有解析解f=@(t,y)[y(2);9.8*sin(y(1))];[t,y]=ode45(f,[0,10],[15,0]);求出數(shù)值解plot(t,y(:,1),'r')實驗七：pi的近似計算1、用劉徽的迭代公式計算pi的近似值2、用韋達公式計算pi的近似值3、用萊布尼茲級數(shù)計算pi的近似值腳本代碼：A=[1111;12-14;2-3-1-5;31211];b=[5-2-20]';symsxyzwS=solve(x+y+z+w==5,x+2*y-z+4*w==-2,2*x-3*y-z-5*w==-2,3*x+y+2*z+11*w==0)[S.wS.xS.yS.z]這段代碼解決了一個線性方程組的求解問題。給定一個系數(shù)矩陣`A`和一個常數(shù)向量`b`，代碼中使用`solve`函數(shù)求解了線性方程組。在這段代碼中，我們定義了四個未知數(shù)`x,y,z,w`，并使用四個方程描述了線性方程組的關(guān)系。通過調(diào)用`solve`函數(shù)，并將方程組傳遞給它作為參數(shù)，可以得到該線性方程組的解`S`。`S`是一個結(jié)構(gòu)體數(shù)組，其中每個元素表示方程組的一個解。通過`[S.wS.xS.yS.z]`，我們將解結(jié)構(gòu)體數(shù)組`S`中的每個解的`w,x,y,z`值提取出來，并組成一個解向量。因此，這段代碼的目的是求解給定線性方程組的解向量`[w,x,y,z]`。腳本代碼：A=[1111;12-14;2-3-1-5;31211];b=[5-2-20]det(A)D=det(A)AA=A;A(:,1)=bAA=A;A(:,1)=b,D1=det(A),X1=D1/DAA=A;A(:,1)=b,D2=det(A),X2=D2/DAA=A;A(:,1)=b,D3=det(A),X3=D3/DAA=A;A(:,1)=b,D4=det(A),X4=D4/DAA*[X1X2X3X4]'這段代碼解決了一個線性方程組的求解問題和計算行列式的問題。首先，給定了一個系數(shù)矩陣`A`和一個常數(shù)向量`b`。代碼中使用了`det`函數(shù)來計算系數(shù)矩陣`A`的行列式，即`det(A)`。接下來，定義了一個與系數(shù)矩陣`A`相同的臨時矩陣`AA`，并將矩陣`A`的第一列替換為向量`b`。然后，分別計算了替換第一列后的矩陣`A`的行列式，并分別賦值給`D1`、`D2`、`D3`、`D4`。繼續(xù)計算了`X1=D1/D`、`X2=D2/D`、`X3=D3/D`、`X4=D4/D`，其中`D`是未替換第一列之前矩陣`A`的行列式。最后，通過矩陣乘法`AA*[X1X2X3X4]'`，將臨時矩陣`AA`乘以解向量`[X1,X2,X3,X4]`的轉(zhuǎn)置，從而得到了原始線性方程組的解向量。因此，這段代碼的目的是求解給定的線性方程組，并計算解向量。實驗八：線性方程組1、解方程組{█(x+2y=23@4x-3y=2)┤相應(yīng)的MATLAB代碼為>>clear;>>A=[12;4-3];b=[23;2];>>X=A\b%左除法，解方程組AX=b算得(x，y)=(6.6364,8.1818)如果用inv命令，相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>clear;>>A=[12;4-3];b=[23;2];x=inv(A)*b仍算得(x，y)=(6.6364,8.1818)2、代碼：%x^3+x^2+x-1=0formatlongn=5;x=0.5;A=zeros(1,n);fori=1:nA(i)=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1);x=A(i);endA這段代碼解決了一個非線性方程的數(shù)值求解問題。給定一個非線性方程`x^3+x^2+x-1=0`，代碼中使用了牛頓迭代法來逐步逼近方程的解。首先，通過設(shè)置變量`n`和初值`x`，確定了循環(huán)的次數(shù)和初始值。然后，定義了一個長度為`n`的空數(shù)組`A`，用來存儲每次迭代求得的逼近解。在循環(huán)中，通過牛頓迭代公式`x_{i+1}=x_i-f(x_i)/f'(x_i)`，其中`f(x)=x^3+x^2+x-1`，求得`x`的下一個逼近解，并將其存入數(shù)組`A`中。迭代的過程會重復(fù)執(zhí)行`n`次。最后，通過輸出數(shù)組`A`，得到了每次迭代求解得到的逼近解向量。因此，這段代碼的目的是通過牛頓迭代法求解給定非線性方程的數(shù)值逼近解，并將逼近解存儲在數(shù)組`A`中。3、相關(guān)練系練習(xí)1輸入矩陣相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>a=[1234;5678；9101112;13141516]結(jié)果為練習(xí)2輸入A與B（1）A的轉(zhuǎn)置A^';（2）6A;（3）AB;（4）A的逆A^(-1)相應(yīng)的MATLAB代碼為A’；6*A；A*B；C=inv（A）實驗8.3行列式實驗內(nèi)容實驗九：迭代法實驗內(nèi)容實驗9.1牛頓迭代法用牛頓迭代法求解方程x^3+x^2+x-1=0的近似根，誤差不超過10^(-3)求解步驟牛頓迭代法的迭代函數(shù)為g(x)=x-(f(x))/(f^'(x))=x-(x^3+x^2+x-1)/(3x^2+2x+1)相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>clear;>>x=0.5;>>fori=1:3>>x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1)>>end實驗9.2迭代與不動點實驗內(nèi)容計算數(shù)列√3，√(√3)，√(√(√3))，……的極限實驗方法及步驟可用for語句，for循環(huán)允許一組命令以固定的和預(yù)訂的次數(shù)重復(fù).For循環(huán)的一般形式為:forx=表達式1表達式2表達式3語句體end其中表達式1的值為循環(huán)的初值表達式2的值為步長表達式3的值為循環(huán)的終值.如果表達式2省略,則默認為1.本練習(xí)中，相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>clear;>>x=3>>fori=1:10>>x=sqrt(x)>>end可算得迭代數(shù)列的前10項:7321,13161,1.1472,10711,1034910173,1008610043,1.0021,1.0011可見此數(shù)列的極限為1.本練習(xí)也可用while語句，while循環(huán)一般用于事先不能確定循環(huán)次數(shù)的情況,while循環(huán)的一般形式為:while表達式語句體end只要表達式的值為1(真)就執(zhí)行while與end之間的語句體，直到表達式的值為0(假)時終止該循環(huán)通常,表達式的值為標(biāo)量，但對數(shù)組值也同樣有效，此時數(shù)組的所有元素都為真才執(zhí)行while與end之間的語句體。本練習(xí)中，相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>n=0；eps=1.0e-5；x=3;>>whileabs(x-sqrt(x))>eps>>x=sqrt(x);n=n+1;>>end>>x,n結(jié)果為x=10000，n=16這說明迭代到第16次后，數(shù)列的前后兩項之間的誤差小于10^(-5)，數(shù)列收斂到1.一般說來在事先不知道迭代是否收斂時，可用for語句，如果知道迭代是收斂的為了控制迭代計算的誤差，用while語句是比較合適的迭代過程啟發(fā)我們，設(shè)法將方程y=f(x)=0變形為不動點方程x=g(x)就有可能利用迭代法求出方程的根.實驗9.3迭代與分叉、混沌實驗內(nèi)容在受環(huán)境制約的情況下，生物種群的增長變化行為變得復(fù)雜。例如在一個池塘中，環(huán)境可供2000條魚生存。在魚的數(shù)量遠遠低于此數(shù)時，魚群的增長接近于指數(shù)增長。但是當(dāng)魚群數(shù)量接近于生存限2000時，由于生態(tài)環(huán)境逐漸惡化，魚群增長逐漸變慢，幾乎停止增長。如果魚群群數(shù)量超過了生存限，由于環(huán)境不堪重負，魚群會出現(xiàn)負增長。試建立魚群增長的數(shù)學(xué)模型。實驗步驟與方法(1)初值x_0=0相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>clear;>>x=0;>>fori=1:30>>x=x+0.001*x*(1500-x)；x1(i)=i；y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'o')計算結(jié)果見下圖，由圖中可知，迭代恒等于0，0是迭代式的不動點。(2)初值x_0=50相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>x=50;>>fori=1:30>>x=x+0.001*x*(1500-x)；x1(i)=i；y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'o')計算結(jié)果見下圖，由圖中可知，迭代收斂于1500，1500是迭代式的不動點。>>x=1500;>>fori=1:30>>x=x+0.001*x*(1500-x)；x1(i)=i；y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'o')計算結(jié)果見下圖，由圖中可知，迭代恒等于1500，1500是迭代式的不動點。(4)初值x_0=1800相應(yīng)的MATLAB代碼為:>>x=1800;>>fori=1:30>>x=x+0.001*x*(1500-x)；x1(i)=i；y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'o')計算結(jié)果見下圖，由圖中可知，迭代仍收斂于1500，1500是迭代式的不動點。2、代碼functionW=Wsp5_n(n)x=linspace(0,1,n+1);h=(1-0)/n;w=zeros(1,n);fori=2:n+1w(i-1)=x(i)^2-x(i-1)^2-2*x(i-1)*h;endW=sum(w);end這段代碼解決了一個數(shù)值積分的問題。代碼中定義了一個參數(shù)n，然后使用linspace函數(shù)生成一個長度為n+1的等間距向量x，范圍從0到1。接下來，計算了一個步長h，通過將1減去0并除以n得到。在循環(huán)中，根據(jù)數(shù)值積分的公式計算了每個小區(qū)間的積分值，并將結(jié)果存儲在數(shù)組w中。最后，使用sum函數(shù)對w數(shù)組中的元素進行求和得到最終的積分值W。這段代碼的目的是數(shù)值地計算給定函數(shù)在0到1范圍內(nèi)的積分值。實驗十：連續(xù)計息問題【實驗?zāi)康摹?.加深對極限、微分求導(dǎo)、極值等基本概念的理解。2.討論了微分學(xué)中的實際應(yīng)用問題。3.掌握MATLAB軟件中有關(guān)極限、級數(shù)、導(dǎo)數(shù)等命令?！緦嶒瀮?nèi)容】若銀行一年活期年利率為r，那么儲戶存10萬元的人民幣，一年到期后結(jié)算額為10×(1+)萬元。如果銀行允許儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計利息稅的情況下，若每三月結(jié)算一次，由于復(fù)利，儲戶存的10萬元一年后可得10×(1+r/4)萬元，顯然這比一年結(jié)算一次要多，因為多次結(jié)算增加了復(fù)利。結(jié)算越頻繁，獲利越大?，F(xiàn)在我們已進入電子商務(wù)時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續(xù)不斷存款取款，結(jié)算本息的頻率趨于無窮大，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行要不斷地向儲戶支付利息.稱為連續(xù)復(fù)利問題。連續(xù)復(fù)利會造成總結(jié)算額無限增大嗎？隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？如果活期存款年利率為2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定為多少才是等價的？【實驗準備】1.極限和連續(xù)極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念，它帶來了很多深刻的結(jié)果。直觀上表示：n趨于無窮大時，×，無限接近a。函數(shù)極限：如果當(dāng)X→×。時，有f(x)→A.則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)X→×。時時的極限。記為limf(x)=Ax+Xo數(shù)當(dāng)x一且x>8（或X<Xg）時有f（x）→A，則稱A為f（x）當(dāng)x→Xg時的右極限(或左極限)，記為f(x。+0)(或f(x。-0))。當(dāng)f(x。+0)=f(x。-0)時，f(x)的極限存在且等于這個值。連續(xù)：若f(x。+0)=f(x)(f(xa-0)=f(x))，則f(x)在x。處右連續(xù)(或左連續(xù))。若f(x)在×。處右連續(xù)且左連續(xù)國，則稱f(x)在xg處連續(xù)·若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱f(x)在開區(qū)間(a，b)連續(xù)。進一步，若f(x)還在Q處右連續(xù)而且在b處左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)。定理1連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必然能達到最大值和最小值，且可取得最大值和最小值間的任意值。2.微分與導(dǎo)數(shù)設(shè)x與y是相關(guān)聯(lián)的兩個變量，用函數(shù)表示為y=f(x)。對于X的一個無限小的增量Ax=X-Xg(稱為差分)，引起y的一個無限小的增量Ay=f(x)-f(x。).若Δy=AΔx+o(Δx)其中A是不依賴于Ax的常數(shù)，而o(Ax)是Ax的高階無窮小量(即o(Ax)/△x→0)，那么稱f(x)在x。可微，并記為dy=Adx其中dx，dy分別稱為X和y的微分。函數(shù)f(x)在點X=x。它反映了在Xg點附近函數(shù)f(x)的變化率。當(dāng)f(xg)＞0，函數(shù)在xg點附近是上升的，反之f(xg)<0，函數(shù)在×。點附近是下降的，而當(dāng)f(x。)=0.往往(但不一定)標(biāo)志函數(shù)在×。點達到局部極小或局部極大。定理2函數(shù)f(x)在×。點附近達到局部極小(或局部極大)的充分條件是f(x。)=0.且f(x)＞0.(或f”(xg)＜0)。從幾何意義上說，f(K）是函數(shù)在點x。切線的斜率，顯然有1(x)=，可見導(dǎo)數(shù)是微分的商，所以也稱微商。Taylor公式是微分學(xué)中一個非常重要的結(jié)論，當(dāng)f(x)在含有x。某個開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，那么當(dāng)xE(a，b)有3.求極限、導(dǎo)數(shù)和MATLAB命令求函數(shù)的極限，使用命令limitlimit(F,x,a)返回符號表達式F當(dāng)x→a時的極限；.limit(F,x,a,right')返回符號表達式F當(dāng)x→a時的右極限；limit(F,x,a,'left')返回符號表達式F當(dāng)x→a時的左極限。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和Taylor展開式，可使用命令diff、polyder和TaylorY=diff(X)返回向量X的差分；Y=diff(X，n)返回向量X的n階差分；diff(S,V)返回符號表達式S對變量v的導(dǎo)數(shù)；diff(S,v,n)返回符號表達式S對變量v的n階導(dǎo)數(shù)；k=polyder(p)返回多項式p的導(dǎo)數(shù)；k=polyder(a，b)返回多項式axb的導(dǎo)數(shù)；r=taylor(f,n,v,a)返回符號表達式f關(guān)于變量v在a點處Taylor展開到n次式；有關(guān)上述命令的詳細用法可查閱MATLAB幫助。例1.導(dǎo)函數(shù)的值能反映函數(shù)的變化。當(dāng)當(dāng)f(xg)＞0.函數(shù)在xg點附近是上升的.反之fx。)<0，函數(shù)在×。點附近是下降的，而當(dāng)f(xg)=0.往往(但不一定)標(biāo)志函數(shù)在×g點達到局部極小或局部極大，下面我們通過圖象來認識?？紤]函數(shù)f(x)=x2cos(x+3x-4)在[-2，2]內(nèi)的圖象，MATLAB命令窗口