工程力學(xué)簡(jiǎn)明教程 課件 第12章 彎曲內(nèi)力

第12章彎曲內(nèi)力一、平面彎曲的概念和梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖132工程實(shí)例梁力學(xué)模型簡(jiǎn)化對(duì)稱(chēng)彎曲的概念1.工程實(shí)例1.工程實(shí)例1.工程實(shí)例1.工程實(shí)例1.工程實(shí)例彎曲變形基本特征受力特征變形特征外力作用線垂直于桿軸線原為直線的軸線變?yōu)榍€

以彎曲變形為主的桿件梁倫敦橋橋梁古建中國(guó)月梁廠房頂梁2.對(duì)稱(chēng)彎曲的概念2.對(duì)稱(chēng)彎曲的概念T型截面梁工字型截面梁AB對(duì)稱(chēng)軸縱向?qū)ΨQ(chēng)面梁的軸線等截面直梁模型2.對(duì)稱(chēng)彎曲的概念Me---集中力偶q(x)---分布載荷F---集中力對(duì)稱(chēng)彎曲作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面曲線，這種彎曲稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲。2.對(duì)稱(chēng)彎曲的概念3.梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化（2）載荷類(lèi)型集中力集中力偶分布載荷（1）梁的簡(jiǎn)化通常取梁的軸線來(lái)代替梁固定鉸支座固定端AAA（3）支座的類(lèi)型

可動(dòng)鉸支座AAA3.梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化靜定梁的基本形式懸臂梁外伸梁

簡(jiǎn)支梁3.梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化3.梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化3.梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化第12章彎曲內(nèi)力二、彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩132彎曲時(shí)的內(nèi)力彎曲內(nèi)力計(jì)算規(guī)律彎曲內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定1.彎曲時(shí)的內(nèi)力已知:如圖簡(jiǎn)支梁，F(xiàn)，a，l.求距A端x處截面上內(nèi)力。解:(1)求支座反力BAalFABFFRBFRAxFRAy由靜力平衡方程，可求得：xMFRAyFRAxFRBABFmmxFQFRAyCFFRBCFQM豎直方向靜力平衡：力矩平衡：彎曲內(nèi)力彎矩M:

橫截面上垂直于截面的內(nèi)力偶矩。剪力FQ:

橫截面上平行于截面的內(nèi)力。MFQFRAyCFFRBCFQMFQMFQM’FQMFQM’2.彎曲內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定dxFQFQ+剪力符號(hào)正值剪力規(guī)定：dxFQFQ-負(fù)值剪力規(guī)定：左上右下，順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)左下右上，逆時(shí)針錯(cuò)動(dòng)正值彎矩規(guī)定：彎矩符號(hào)MM+MM-負(fù)值彎矩規(guī)定：

向下凸起向上凸起實(shí)用的正負(fù)約定：截面法，取左（右）側(cè)分析，剪力對(duì)梁左（右）端取矩，順時(shí)針為正。實(shí)用的正負(fù)約定：截面法，取左（右）側(cè)分析，剪力對(duì)梁左（右）端取矩，逆時(shí)針為負(fù)。實(shí)用的正負(fù)約定:截面法，取左（右）側(cè)分析，假設(shè)梁左（右）端固定，在彎矩作用下向下凸起，彎矩為正。反之為負(fù)。MMMMMM截面法計(jì)算時(shí)，通常假設(shè)剪力、彎矩為正。解：（1）求梁的支座反力FRA

和FRB例題

圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知F1、F2,且F2>F1

，尺寸a、b、c和l亦均為已知。試求梁在E

橫截面處的剪力和彎矩。BEDAabclCF1F2解得：FRBFRAFQEAEcFRAME（2）求梁E截面處的剪力FQE和彎矩MEFRBBEDAabclCF1F2FRA解得:

彎矩等于左側(cè)所有外力對(duì)截面的矩的代數(shù)和剪力等于左側(cè)所有外力的代數(shù)和。a-cb-cCDl-cBEFQEF1F2MEFRB解得:彎矩等于右側(cè)所有外力對(duì)截面的矩的代數(shù)和。剪力等于右側(cè)所有外力的代數(shù)和。若取左側(cè)梁段計(jì)算：向上的外力引起正值的剪力；向下的外力引起負(fù)值的剪力；若取右側(cè)梁段計(jì)算：向下的外力引起正值的剪力；向上的外力引起負(fù)值的剪力；3、彎曲內(nèi)力的計(jì)算規(guī)律(1)剪力的計(jì)算規(guī)律：左上右下；剪力為正。FQ=截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和(2)彎矩的計(jì)算規(guī)律若取左側(cè)梁段計(jì)算：

順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）矩引起正值的彎矩；逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）矩引起負(fù)值的彎矩；若取右側(cè)梁段計(jì)算：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）引起正值的彎矩；順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力（外力偶）引起負(fù)值的彎矩；左順右逆；彎矩為正。M=截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力及外力偶對(duì)截面形心的矩的代數(shù)和例題

軸的計(jì)例算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知F1=F2=60kN，a=230mm，b=100mm

和c=1000mm。

求C、D點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。F2ACDBbacF1

解：（1）求支座反力FRAFRBF2ACDBbacF1FRAFRB（2）計(jì)算C橫截面上的剪力FQC

和彎矩MC取橫截面左側(cè)梁段計(jì)算:取橫截面左側(cè)梁段計(jì)算:（3）計(jì)算D橫截面上的剪力FQD

和彎矩MD

第12章彎曲內(nèi)力三、彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力——剪力方程彎矩方程12基本概念方程法畫(huà)剪力圖、彎矩圖用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。

剪力方程：FQ

=FQ(x)

彎矩方程：M=M(x)剪力方程和彎矩方程1.基本概念剪力圖和彎矩圖以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩。這種圖線分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。正值的剪力和彎矩畫(huà)在x軸上側(cè),負(fù)值畫(huà)在x軸下側(cè)xFQ(x)FQ

圖的坐標(biāo)系OM

圖的坐標(biāo)系xOM(x)1.基本概念

剪力方程：FQ

=FQ(x)

彎矩方程：M=M(x)2.方程法做內(nèi)力圖繪出函數(shù)曲線剪力圖彎矩圖任意截面x的剪力和彎矩,采用截面法，按照總結(jié)的規(guī)律表示出來(lái)就是剪力方程、彎矩方程解:（1）求梁的支反力例題

圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載

F作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。lFABCabFRAFRB

因?yàn)锳C段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程。2.方程法畫(huà)剪力圖彎矩圖將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線.xxlFABCabFRAFRB++由（2），（4）式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線.xxlFABCabFRAFRB++ 集中力作用的地方剪力圖有突變集中力作用的地方彎矩圖存在一個(gè)尖點(diǎn)仔細(xì)觀察內(nèi)力圖的特點(diǎn)解：求梁的支反力例題

圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端.

因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以全梁只有一個(gè)剪力方程lABCabFRAFRBM

由(1)式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線.+AC段CB段AC段和BC

段的彎矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB

兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線.

x=a,

x=0,AC段CB段x=a,x=l,M=0++仔細(xì)觀察內(nèi)力圖的特點(diǎn)xxlABCabFRAFRBM+集中力偶作用的地方剪力圖沒(méi)有任何變化集中力作用的地方彎矩有突變+

（1）.以集中力、集中力偶作用處、分布載荷開(kāi)始或結(jié)束處,及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段.分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程,然后繪出剪力圖和彎矩圖.

（2）.梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值.在此處彎矩圖則形成一個(gè)尖角.

（3）.梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖沒(méi)有變化.3.小結(jié)4mq=1kN/mF=2kNF=2kNM=10kN/m思考題第12章彎曲內(nèi)力四、微積分關(guān)系12微分關(guān)系積分關(guān)系設(shè)梁上作用有任意分布荷載，其集度為

q(x),向上為正方向。1.剪力、彎矩與分布荷載集度間的微分關(guān)系xyq(x)FMnxmmn

dxFQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)由微段梁的靜力平衡：可得：xyq(x)FMnxmmn

dxFQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)微梁段dx受力分析q(x)略去二階無(wú)窮小量即得：Cxyq(x)FMnxmmn

dx剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小;彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小;根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來(lái)判斷彎矩圖的凹凸性；荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系(1)(2)(3)圖形幾何意義M(x)圖為二次拋物線;FQ(x)圖為一傾斜的直線;xFQ(x)O2、載荷集度與剪力圖、彎距圖的關(guān)系（1）若梁段上作用均布載荷xOM(x)斜率為xFQ(x)OxOM(x)載荷向下()載荷向上()載荷向下()載荷向上()彎矩圖的凸起方向和載荷集度方向相反M(x)圖為一傾斜的直線;FQ(x)圖為一水平的直線;xFQ(x)O正剪力()負(fù)剪力()xFQ(x)O正剪力時(shí)()負(fù)剪力時(shí)()xMOxMO（2）若梁段上無(wú)載荷作用，即(3)、若在梁的某一截面上，剪力為0xFQ(x)OxOM(x)彎矩的極值發(fā)生于剪力為零的截面上極值點(diǎn)xFQ(x)OxOM(x)極值點(diǎn)(4)、在集中力作用處FCxFQ(x)OxOM(x)(5)、在集中力偶作用處CxFQ(x)OxOM(x)MFM剪力圖突變彎矩圖轉(zhuǎn)折剪力圖無(wú)變化彎矩圖突變無(wú)荷載集中力FC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FS=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有轉(zhuǎn)折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特0征Mmax所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變m在C處無(wú)變化C例題

作梁的內(nèi)力圖.解：（1）支座反力為3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN1kN7kN3kN3kN2kN++x=5m1666+20.520單位kN·m圖示是一梁的剪力圖，假設(shè)無(wú)集中力偶作用，試根據(jù)此圖求出