第01講 菱形的性質(zhì)（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第01講菱形的性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握菱形的概念和菱形的性質(zhì)以及菱形的面積公式的推導(dǎo)；2．能運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明；3．在進(jìn)行探索、猜想、證明過程中，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力，體會證明的必要性.一、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點(diǎn)就是對稱中心.要點(diǎn)：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.考點(diǎn)一：菱形的性質(zhì)例1．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．四邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．每條對角線平分一組對角【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷．【詳解】解：∵菱形四邊相等、對角線互相垂直、每條對角線平分一組對角，∴A、B、D選項(xiàng)不符合題意，∵菱形的對角線不一定相等，∴菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等，∴選項(xiàng)C符合題意，故選：C【變式1-1】（23-24八年級下·河南商丘·期中）關(guān)于菱形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（

）A．四條邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線相等【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷即可．此題主要考查對菱形的性質(zhì)及判定的理解，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，正確不符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，正確不符合題意；C、菱形的對角線互相平分，正確不符合題意；D、菱形的對角線不一定相等，錯誤符合題意；故選：D．【變式1-2】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求解．本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不正確，菱形和平行四邊形都有兩組對邊都分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選：D．【變式1-3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）下列性質(zhì)中菱形具有而平行四邊形不具有的是（

）A．對角線互相平分 B．兩組對角分別相等C．面積為底與高的積 D．每一條對角線平分一組對角【答案】D【分析】此題主要考查菱形的性質(zhì)，菱形的對角線垂直和每一條對角線平分一組對角是菱形的重要性質(zhì)，而平行四邊形不具備這樣的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形與菱形的關(guān)系．【詳解】解：、菱形和平行四邊形的對角線互相平分，原選項(xiàng)不符合題意；、菱形和平行四邊形的兩組對角分別相等，原選項(xiàng)不符合題意；、菱形和平行四邊形的面積為底與高的積，原選項(xiàng)不符合題意；、由菱形性質(zhì)可知，每一條對角線平分一組對角；而平行四邊形不具備這樣的性質(zhì)，原選項(xiàng)符合題意；故選：．考點(diǎn)二：利用菱形的性質(zhì)求角度例2.（2024·陜西西安·三模）如圖，點(diǎn)E是菱形的對角線上一點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為．【答案】45【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握菱形的四邊相等是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)可求，由菱形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，四邊形是菱形，，，，故答案為：45．【變式2-1】（2024·重慶九龍坡·二模）如圖，在菱形中，，依次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形，則°．【答案】35【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：連接四邊形為菱形，F(xiàn)、G分別為和的中點(diǎn)故答案為：．【變式2-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在菱形中，，分別是，上的點(diǎn)，且，連接，．若，，則的大小為．【答案】/40度【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法“”即可證明，再得到，因?yàn)椋剩驹斀狻俊咚倪呅问橇庑?，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為．【變?-3】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖，在菱形中，M，N分別在上，且，與交于點(diǎn)O，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/62度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)以及，利用可得，可得，然后可得，繼而可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．考點(diǎn)三：利用菱形的性質(zhì)求長度例3.（2024·重慶·二模）如圖，在菱形中，過點(diǎn)作交AC于點(diǎn)，若，則的長是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)．連接交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，則利用勾股定理開始計(jì)算出，利用面積計(jì)算長，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)即可解決問題．【詳解】解：連接交于，∵菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式3-1】（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，菱形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且，若，則．【答案】【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出解答．延長，相交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：延長，相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在與中，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，即，解得：，，故答案為：．【變式3-2】（23-24八年級下·河南信陽·期中）中國結(jié)，象征著中華民族的歷史文化與精神．小明家有一中國結(jié)掛飾，他想求兩對邊的距離，利用所學(xué)知識抽象出如圖所示的菱形，測得，，直線交兩對邊于E、F，則的長為．

【答案】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，故的長為，故答案為：．【變式3-3】（23-24八年級下·湖南岳陽·期中）如圖，在菱形中，，，分別是上的動點(diǎn)，連接，分別為，的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，垂線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接，由三角形中位線性質(zhì)得，可得要使取最小值，則應(yīng)取最小值，由可知當(dāng)時，即時，最小，利用勾股定理求出即可求解，掌握菱形和三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵分別為，的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，要使取最小值，則應(yīng)取最小值，∵四邊形為菱形，∴，∴當(dāng)時，即時，最小，∵，∴，∵，即，∴，此時，，∴的最小值為，故答案為：．考點(diǎn)四：利用菱形的性質(zhì)求面積例4.（23-24八年級下·北京東城·期中）在菱形中，若，周長是16，則菱形的面積是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積；由菱形的性質(zhì)得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出，由即可求解；掌握菱形的性質(zhì)及面積的求法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，與交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，；故答案：．【變式4-1】（2024·陜西榆林·二模）已知在菱形中，，對角線與相交于點(diǎn)O，若，則該菱形的面積為．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，則，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，根據(jù)菱形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形為菱形，∴，∵，設(shè)，則，在中，，∵，∴，∴，∴，∴菱形的面積為．

故答案為：【變式4-2】（23-24八年級下·新疆伊犁·期中）如圖，在菱形中，、相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，則菱形的面積是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記名性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得，然后求出，從而得到是等邊三角形，再根據(jù)菱形的對角線互相平分求出，再根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得的長，則得對角線的長，根據(jù)菱形面積公式：兩條對角線乘積一半可得結(jié)論．【詳解】解：∵為的中點(diǎn)，，，∵四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形．∵四邊形是菱形，∴于，在中，，∴，∴，∴菱形的面積，故答案為：．【變式4-3】（23-24八年級下·河北承德·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，，分別是邊，的中點(diǎn)，連接．若，則(用含的代數(shù)式表示)；若，，則菱形的面積為【答案】【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)和菱形的面積公式，連接，根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得；根據(jù)是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理求的的長，然后根據(jù)菱形的面積公式求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，、是和的中點(diǎn)，∴∵、是和的中點(diǎn)，即是的中位線，∴∴菱形的面積為故答案為：，．考點(diǎn)五：利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)例5.（2024·河南南陽·二模）如圖，將菱形繞其對角線的交點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，再向右平移3個單位，則兩次變換后點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與平移，先求出菱形繞其對角線的交點(diǎn)為，旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，再根據(jù)點(diǎn)的平移：左減右加，上加下減即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖和題意可知，，設(shè)菱形的對角線的交點(diǎn)為，則：為點(diǎn)的中點(diǎn)，∴，∴設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則：，∴，將再向右平移3個單位，得到，即：；故選C．【變式5-1】（2024·河南南陽·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對角線的中點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，，軸，將菱形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第100秒旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，證得是等邊三角形，得到，由O是對角線的中點(diǎn)，得到，根據(jù)，得到，勾股定理求出，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律得第100秒旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，菱形旋轉(zhuǎn)了，一周是，旋轉(zhuǎn)了12周半，此時點(diǎn)D到達(dá)了點(diǎn)B的初始位置，即可得到點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，

∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵O是對角線的中點(diǎn)，∴，∵軸，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵將菱形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，∴第100秒旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，菱形旋轉(zhuǎn)了，一周是，∴旋轉(zhuǎn)了12周半，此時點(diǎn)D到達(dá)了點(diǎn)B的初始位置，∴點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)都在第一象限，若，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識．過點(diǎn)作于，由菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，四邊形是菱形，點(diǎn)，，，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【變式5-3】（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是．若頂點(diǎn)B在第一象限的角平分線上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，得到，勾股定理得到，則，得到，在中，由勾股定理得到，求出，則，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是∴，∴∵，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴∵頂點(diǎn)B在第一象限的角平分線上，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，，即，解得（不合題意舍去）∴，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：考點(diǎn)六：利用菱形的性質(zhì)求解折疊問題例6.（2024九年級下·江蘇南京·專題練習(xí)）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，沿翻折后，點(diǎn)B落在邊上的G處，若，，則的長為．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．作交的延長線于點(diǎn)H，因?yàn)?，所以，由四邊形是菱形，得，則四邊形是平行四邊形，所以，由折疊得，則，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：作交的延長線于點(diǎn)H，則，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，由折疊得，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：．【變式6-1】（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在菱形中，，，M是上，，N是點(diǎn)上一動點(diǎn)，四邊形沿直線翻折，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)最小時，．【答案】7【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E在上時，的值最?。饔贖，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得，，在中，利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)E在上時，的值最小，然后證明即可．【詳解】解：作于H，如圖，∵菱形的邊，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，，在中，，∵四邊形沿直線翻折，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為E，，∴，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在上時，的值最小，由折疊的性質(zhì)得，而，∴，∴，∴．故答案為：7．【變式6-2】（23-24九年級下·寧夏銀川·期中）如圖，在菱形紙片中，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在上，連接．已知，，則的度數(shù)為．【答案】/85度【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)菱形性質(zhì)可知，，，根據(jù)折疊可知，，，求出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，根據(jù)折疊可知，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【變式6-3】（23-24八年級下·河北邢臺·期中）如圖，在菱形紙片中，．（1）．（2）點(diǎn)E在邊上，將菱形紙片沿折疊，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且是的垂直平分線，則的大小為．【答案】6075【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義．（1）直接根據(jù)菱形的對角相等即可求解；（2）如圖，由垂直平分線的定義得到，從而，由菱形的性質(zhì)得到，從而由折疊有，因此，再根據(jù)菱形的對邊平行即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形，∴．故答案為：60（2）如圖，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵在菱形中，，∴，由折疊可得，∴，∵在菱形中，，∴．故答案為：75考點(diǎn)七：利用菱形的性質(zhì)求解動點(diǎn)問題例7.（2024·北京朝陽·二模）如圖1，在菱形中，，P是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，動點(diǎn)M從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿線段運(yùn)動到點(diǎn)P，再沿線段運(yùn)動到頂點(diǎn)A，停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的路程為x，，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，則菱形的邊長是（

）

A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后由圖象判斷出點(diǎn)P在對角線上，，，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，

由圖象可得，當(dāng)x從0到4時，∴∵四邊形是菱形∴點(diǎn)P在對角線上∴由圖象可得，，∴∵在菱形中，，∴，∴設(shè)，則∴∴∴在中，∴解得，負(fù)值舍去∴∴菱形的邊長是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象正確分析出點(diǎn)P在對角線上．【變式7-1】（2024·山東聊城·三模）如圖1，點(diǎn)從菱形的邊上一點(diǎn)開始運(yùn)動，沿直線運(yùn)動到菱形的中心，再沿直線運(yùn)動到點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，點(diǎn)到的距離為到的距離為，且（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，），點(diǎn)運(yùn)動時隨的變化關(guān)系如圖2所示，則菱形的面積為（

）

A． B． C．10 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)以及勾股定理．連接交于點(diǎn)，連接，由當(dāng)時，的值恒等于1，推出點(diǎn)的運(yùn)動路徑是的中位線，則可得到，再由當(dāng)時，，求出，由菱形的性質(zhì)求出的長即可得到答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，連接，如圖，

由題意知，當(dāng)時，的值恒等于1，∴．∴點(diǎn)的運(yùn)動路徑是的中位線，且．∵當(dāng)時，，∴．由菱形的性質(zhì)可得，，，，，故選：A．【變式7-2】（2024·廣東深圳·三模）如圖（1），點(diǎn)P為菱形對角線上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上一定點(diǎn)，連接，，．圖（2）是點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時，的面積y隨的長度x變化的關(guān)系圖象（當(dāng)點(diǎn)P在上時，令），則菱形的邊長為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時，進(jìn)而求出菱形的面積，當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，連接，利用菱形的性質(zhì)，求出邊長，即可得出結(jié)果．本題考查菱形的性質(zhì)和動點(diǎn)的函數(shù)圖象．熟練掌握菱形的性質(zhì)，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可知：當(dāng)時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時，∴，當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，連接，交于點(diǎn)，則：，∴，∴，∴，∴，∴菱形的邊長為；故選A．【變式7-3】（23-24九年級下·山東淄博·期中）如圖1，點(diǎn)從菱形的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動時的面積隨時間變化的關(guān)系如圖，則的值為（

）A． B． C．9 D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，過點(diǎn)作，根據(jù)函數(shù)圖象求出菱形的邊長為a，再根據(jù)圖像的三角形的面積可得，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理列方程可求即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于E，∵在菱形中，，，∴當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，的值不變，，即菱形的邊長是，，即．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，逐漸增大，，．在中，，，解得．故選：B．考點(diǎn)八：利用菱形的性質(zhì)證明和求解綜合問題例8.（2024·湖北武漢·二模）如圖，已知E、F分別是的邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若四邊形是菱形，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】該題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，從而得出，進(jìn)而求解即可．（2）利用菱形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，且，，，，四邊形是平行四邊形．（2）如圖，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【變式8-1】（23-24八年級下·安徽池州·階段練習(xí)）在菱形中，對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)①求證：；②若，求的長．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）由菱形性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得到，再由直角三角形兩銳角互余即可得到答案；（2）①由菱形性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定得到，再由全等性質(zhì)即可得到；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，由角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)，在等腰直角三角形與中應(yīng)用勾股定理列式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，，，；（2）證明：①四邊形是菱形，，，又，，，②過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是菱形，平分，又，，設(shè)，，與均為等腰直角三角形，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查菱形綜合，涉及菱性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握幾何圖形的判定與性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）在菱形和等邊中，，P是的中點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)G在邊上時，①判斷的形狀，并證明；②請連接，若，，求的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在的延長線上時，連接、．試判斷、有怎樣的關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)①是直角三角形，證明見解析；②(2)，證明見解析【分析】（1）①證明，可知：是直角三角形；②如圖2，過作于，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，得的長，根據(jù)等邊三角形的定義得，根據(jù)勾股定理可得的長，最后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得的長；（2）延長交于點(diǎn)，連接，，先證明，再證得，利用在中，，所以．【詳解】（1）①如圖1，是直角三角形，理由是：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，是直角三角形；②如圖2，過作于，，，，，中，，，，，是等邊三角形，，由勾股定理得：，由①知：是直角三角形，且是的中點(diǎn)，；（2）如圖3，，理由是：延長交于點(diǎn)，連接，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，第二問題有難度，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1，四邊形是菱形，，．（1）求的長．應(yīng)用拓展（2）如圖2，為上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．①直接寫出點(diǎn)到距離的最小值；②如圖3，連接，若的面積為6，求的長．【答案】（1），；（2）①；②【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，，，再進(jìn)一步的解答即可；（2）①證明為等邊三角形，可得，求解，如圖，過作于，可得，當(dāng)最小時，最小，可得當(dāng)時，最小，再進(jìn)一步解答即可；②證明，可得，，證明，可得，再進(jìn)一步解答可得答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形，，．∴，，，，∴，∴；（2）①∵四邊形是菱形，，∴，，∴為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∴，如圖，過作于，∴，當(dāng)最小時，最小，∴當(dāng)時，最小，此時，∴，∴，∴點(diǎn)到距離的最小值為；②∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，的面積為6，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，二次根式的除法運(yùn)算，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，在菱形中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查菱形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等．根據(jù)題意可知，繼而得到，再利用角平分線性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，故選：C．2．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O．若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先證是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，∵，∴是等邊三角形，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，，故選：C．3．如圖，在菱形中，作垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，利用三角形內(nèi)角和定理可以求得，從而得到的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

，∵四邊形是菱形，，，垂直平分垂直平分，，，，，即，，，則，，故選：D．4．如圖，在菱形中，按如下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，；②作直線，與交于點(diǎn)，連接，若，直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則的長為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理．由作圖可知，直線為線段的垂直平分線，則，，結(jié)合菱形的性質(zhì)，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形為菱形，，．由作圖可知，直線為線段的垂直平分線，，，在中，由勾股定理得，，∵，，．在中，由勾股定理得，．故選：C．5．如圖1，在菱形中，對角線交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P沿從點(diǎn)B勻速運(yùn)動到點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動距離為x，，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時y隨x變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖2中最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)a的值為（

）

A． B． C． D．3【答案】C【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)等，作點(diǎn)N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，連接，由菱形的性質(zhì)可知，點(diǎn)N與點(diǎn)關(guān)于對稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)M、P、三點(diǎn)共線時，的最小值為，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，連接，

∵四邊形為菱形，，，∴是等邊三角形，，，∵四邊形為菱形，∴點(diǎn)在上，，∴垂直平分，∴，∴，∴當(dāng)M、P、三點(diǎn)共線時，的最小值為，此時點(diǎn)重合，在中，，即．故選：C．二、填空題6．菱形的對角線長12和16，則菱形的周長．【答案】40【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，結(jié)合勾股定理求出菱形的邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，菱形中，對角線交于點(diǎn)，，則：，∴，∴菱形的周長為；故答案為：．7．如圖，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)，若，，則菱形的面積等于．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；利用菱形的性質(zhì)求出，再證是等邊三角形，得到菱形的邊長，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴∴∴菱形的面積為：，故答案為：．8．如圖，菱形的對角線交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)．菱形的對角線相互平分可知點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而得結(jié)論．【詳解】解：四邊形是菱形，，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．9．如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在，，上，，．若菱形的邊長為6，則的長為．【答案】6【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，由等邊對等角得出，證明四邊形為平行四邊形，，得出，，從而推出，即可得解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，，∴，，∴，∴，故答案為：6．10．如圖，在邊長為2的菱形中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接，將菱形翻折，使點(diǎn)A落在線段上的點(diǎn)E處，折痕交于點(diǎn)N，則線段的長為．【答案】【分析】過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)F，解直角三角形得出的長，再根據(jù)勾股定理求得，即可解答．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)F，∵在邊長為2的菱形中，，，

，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，將菱形翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在上，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含有角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，在菱形中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）欲證明，只需要證得即可；（2）根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，．∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴．在和中∴．∴．（2）∵四邊形是菱形，∴，．∴∵，∴∵，∴∴．∴∵，∴．12．如圖，在菱形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)請僅用無刻度的直尺作圖，作出邊的中點(diǎn)F；（