2024年江西省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

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2024年江西省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1．〔5分〕〔2024?江西〕是z的共軛復(fù)數(shù)，假設(shè)z+=2，〔z﹣〕i=2〔i為虛數(shù)單位〕，那么z=〔〕A．1+iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．1﹣i2．〔5分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=ln〔x2﹣x〕的定義域?yàn)椤病矨．〔0，1〕B．[0，1]C．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕D．〔﹣∞，0]∪[1，+∞〕3．〔5分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=5|x|，g〔x〕=ax2﹣x〔a∈R〕，假設(shè)f[g〔1〕]=1，那么a=〔〕A．1B．2C．3D．﹣14．〔5分〕〔2024?江西〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，假設(shè)c2=〔a﹣b〕2+6，C=，那么△ABC的面積是〔〕A．B．C．D．35．〔5分〕〔2024?江西〕一幾何體的直觀圖如以下列圖，以下給出的四個(gè)俯視圖中正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕〔2024?江西〕某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，那么與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是〔〕表1成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A．成績(jī)B．視力C．智商D．閱讀量7．〔5分〕〔2024?江西〕閱讀如圖程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，那么程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為〔〕A．7B．9C．10D．118．〔5分〕〔2024?江西〕假設(shè)f〔x〕=x2+2f〔x〕dx，那么f〔x〕dx=〔〕A．﹣1B．﹣C．D．19．〔5分〕〔2024?江西〕在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)以AB為直徑的圓C與直線2x+y﹣4=0相切，那么圓C面積的最小值為〔〕A．πB．πC．〔6﹣2〕πD．π10．〔5分〕〔2024?江西〕如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E〔4，3，12〕，遇長(zhǎng)方體的面反射〔反射服從光的反射原理〕，將第i﹣1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li〔i=2，3，4〕，l1=AE，將線段l1，l2，l3，l4豎直放置在同一水平線上，那么大致的圖形是〔〕A．B．C．D．二、選做題：請(qǐng)考生在以下兩題中任選一題作答，假設(shè)兩題都做，那么按所做的第一題記分，此題共5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．不等式選做題11．〔5分〕〔2024?江西〕對(duì)任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值為〔〕A．1B．2C．3D．4坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題12．〔2024?江西〕假設(shè)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，那么線段y=1﹣x〔0≤x≤1〕的極坐標(biāo)方程為〔〕A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分13．〔5分〕〔2024?江西〕10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，那么恰好取到1件次品的概率是_________．14．〔5分〕〔2024?江西〕假設(shè)曲線y=e﹣x上點(diǎn)P的切線平行于直線2x+y+1=0，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是_________．15．〔5分〕〔2024?江西〕單位向量與的夾角為α，且cosα=，向量=3﹣2與=3﹣的夾角為β，那么cosβ=_________．16．〔5分〕〔2024?江西〕過(guò)點(diǎn)M〔1，1〕作斜率為﹣的直線與橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，那么橢圓C的離心率等于_________．五、解答題：本大題共6小題，共75分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．〔12分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕當(dāng)a=，θ=時(shí)，求f〔x〕在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；〔2〕假設(shè)f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．18．〔12分〕〔2024?江西〕首項(xiàng)是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}〔bn≠0，n∈N*〕滿足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．〔1〕令cn=，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)bn=3n﹣1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．19．〔12分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=〔x2+bx+b〕〔b∈R〕〔1〕當(dāng)b=4時(shí)，求f〔x〕的極值；〔2〕假設(shè)f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．20．〔12分〕〔2024?江西〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．〔1〕求證：AB⊥PD；〔2〕假設(shè)∠BPC=90°，PB=，PC=2，問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P﹣ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．21．〔13分〕〔2024?江西〕如圖，雙曲線C：﹣y2=1〔a＞0〕的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA〔O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕．〔1〕求雙曲線C的方程；〔2〕過(guò)C上一點(diǎn)P〔x0，y0〕〔y0≠0〕的直線l：﹣y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=相交于點(diǎn)N．證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值．22．〔14分〕〔2024?江西〕隨機(jī)將1，2，…，2n〔n∈N*，n≥2〕這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2；記ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．〔1〕當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；〔2〕C表示時(shí)間“ξ與η的取值恰好相等〞，求事件C發(fā)生的概率P〔C〕；〔3〕對(duì)〔2〕中的事件C，表示C的對(duì)立時(shí)間，判斷P〔C〕和P〔〕的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

2024年江西省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1．〔5分〕〔2024?江西〕是z的共軛復(fù)數(shù)，假設(shè)z+=2，〔z﹣〕i=2〔i為虛數(shù)單位〕，那么z=〔〕A．1+iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．1﹣i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：由題，先求出z﹣=﹣2i，再與z+=2聯(lián)立即可解出z得出正確選項(xiàng)．解答：解：由于，〔z﹣〕i=2，可得z﹣=﹣2i①又z+=2②由①②解得z=1﹣i應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，屬于根本計(jì)算題2．〔5分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=ln〔x2﹣x〕的定義域?yàn)椤病矨．〔0，1〕B．[0，1]C．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕D．〔﹣∞，0]∪[1，+∞〕考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可求出函數(shù)的定義域．解答：解：要使函數(shù)有意義，那么x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函數(shù)的定義域?yàn)椤博仭蓿?〕∪〔1，+∞〕，應(yīng)選：C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)定義域的求法，比較根底．3．〔5分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=5|x|，g〔x〕=ax2﹣x〔a∈R〕，假設(shè)f[g〔1〕]=1，那么a=〔〕A．1B．2C．3D．﹣1考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可得到結(jié)論．解答：解：g〔1〕=a﹣1，假設(shè)f[g〔1〕]=1，那么f〔a﹣1〕=1，即5|a﹣1|=1，那么|a﹣1|=0，解得a=1，應(yīng)選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用條件直接代入解方程即可，比較根底．4．〔5分〕〔2024?江西〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，假設(shè)c2=〔a﹣b〕2+6，C=，那么△ABC的面積是〔〕A．B．C．D．3考點(diǎn)：余弦定理．專題：解三角形．分析：將“c2=〔a﹣b〕2+6〞展開(kāi)，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比較兩式，得到ab的值，計(jì)算其面積．解答：解：由題意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題是余弦定理的考查，在高中范圍內(nèi)，正弦定理和余弦定理是應(yīng)用最為廣泛，也是最方便的定理之一，高考中對(duì)這局部知識(shí)的考查一般不會(huì)太難，有時(shí)也會(huì)和三角函數(shù)，向量，不等式等放在一起綜合考查．5．〔5分〕〔2024?江西〕一幾何體的直觀圖如以下列圖，以下給出的四個(gè)俯視圖中正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：通過(guò)幾何體結(jié)合三視圖的畫(huà)圖方法，判斷選項(xiàng)即可．解答：解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見(jiàn)線段，所以C、D不正確；幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查三視圖的畫(huà)法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．6．〔5分〕〔2024?江西〕某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，那么與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是〔〕表1成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A．成績(jī)B．視力C．智商D．閱讀量考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．專題：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用公式，求出X2，即可得出結(jié)論．解答：解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大，應(yīng)選：D．點(diǎn)評(píng)：此題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．7．〔5分〕〔2024?江西〕閱讀如圖程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，那么程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為〔〕A．7B．9C．10D．11考點(diǎn)：程序框圖．專題：計(jì)算題；算法和程序框圖．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值．解答：解：由程序框圖知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循環(huán)的i值為9，∴輸出i=9．應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵．8．〔5分〕〔2024?江西〕假設(shè)f〔x〕=x2+2f〔x〕dx，那么f〔x〕dx=〔〕A．﹣1B．﹣C．D．1考點(diǎn)：定積分．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：利用回代驗(yàn)證法推出選項(xiàng)即可．解答：解：假設(shè)f〔x〕dx=﹣1那么：f〔x〕=x2﹣2，∴x2﹣2=x2+2〔x2﹣2〕dx=x2+2〔〕=x2﹣，顯然A不正確；假設(shè)f〔x〕dx=，那么：f〔x〕=x2﹣，∴x2﹣=x2+2〔x2﹣〕dx=x2+2〔〕=x2﹣，顯然B正確；假設(shè)f〔x〕dx=，那么：f〔x〕=x2+，∴x2+=x2+2〔x2+〕dx=x2+2〔〕=x2+2，顯然C不正確；假設(shè)f〔x〕dx=1那么：f〔x〕=x2+2，∴x2+2=x2+2〔x2+2〕dx=x2+2〔〕=x2+，顯然D不正確；應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查定積分以及微積分根本定理的應(yīng)用，回代驗(yàn)證有時(shí)也是解答問(wèn)題的好方法．9．〔5分〕〔2024?江西〕在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)以AB為直徑的圓C與直線2x+y﹣4=0相切，那么圓C面積的最小值為〔〕A．πB．πC．〔6﹣2〕πD．π考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)AB為直徑，∠AOB=90°，推斷O點(diǎn)必在圓C上，由O向直線做垂線，垂足為D，那么當(dāng)D恰為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)圓C的半徑最小，即面積最小，利用點(diǎn)到直線的距離求得O到直線的距離，那么圓的半徑可求，進(jìn)而可求得此時(shí)圓C的面積．解答：解：∵AB為直徑，∠AOB=90°，∴O點(diǎn)必在圓C上，由O向直線做垂線，垂足為D，那么當(dāng)D恰為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)圓C的半徑最小，即面積最小此時(shí)圓的直徑為O到直線的距離為，那么圓C的面積為：π×〔〕2=．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．用數(shù)形結(jié)合的思想，解決問(wèn)題較為直觀．10．〔5分〕〔2024?江西〕如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E〔4，3，12〕，遇長(zhǎng)方體的面反射〔反射服從光的反射原理〕，將第i﹣1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li〔i=2，3，4〕，l1=AE，將線段l1，l2，l3，l4豎直放置在同一水平線上，那么大致的圖形是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：真題集萃；空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題：空間向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)平面反射定理，列出反射線與入射線的關(guān)系，得到入射線與反射平面的交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出距離，即可求解．解答：解：根據(jù)題意有：A的坐標(biāo)為：〔0，0，0〕，B的坐標(biāo)為〔11，0，0〕，C的坐標(biāo)為〔11，7，0〕，D的坐標(biāo)為〔0，7，0〕；A1的坐標(biāo)為：〔0，0，12〕，B1的坐標(biāo)為〔11，0，12〕，C1的坐標(biāo)為〔11，7，12〕，D1的坐標(biāo)為〔0，7，12〕；E的坐標(biāo)為〔4，3，12〕〔1〕l1長(zhǎng)度計(jì)算所以：l1=|AE|==13．〔2〕l2長(zhǎng)度計(jì)算將平面A1B1C1D1沿Z軸正向平移AA1個(gè)單位，得到平面A2B2C2D2；顯然有：A2的坐標(biāo)為：〔0，0，24〕，B2的坐標(biāo)為〔11，0，24〕，C2的坐標(biāo)為〔11，7，24〕，D2的坐標(biāo)為〔0，7，24〕；顯然平面A2B2C2D2和平面ABCD關(guān)于平面A1B1C1D1對(duì)稱．設(shè)AE與的延長(zhǎng)線與平面A2B2C2D2相交于：E2〔xE2，yE2，24〕根據(jù)相識(shí)三角形易知：xE2=2xE=2×4=8，yE2=2yE=2×3=6，即：E2〔8，6，24〕根據(jù)坐標(biāo)可知，E2在長(zhǎng)方形A2B2C2D2內(nèi)．根據(jù)反射原理，E2在平面ABCD上的投影即為AE反射光與平面ABCD的交點(diǎn)．所以F的坐標(biāo)為〔8，6，0〕．因此：l2=|EF|==13．〔3〕l3長(zhǎng)度計(jì)算設(shè)G的坐標(biāo)為：〔xG，yG，zG〕如果G落在平面BCC1B1；這個(gè)時(shí)候有：xG=11，yG≤7，zG≤12根據(jù)反射原理有：AE∥FG于是：向量與向量共線；即有：=λ因?yàn)椋?〔4，3，12〕；=〔xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0〕=〔3，yG﹣6，zG〕即有：〔4，3，12〕=λ〔3，yG﹣6，zG〕解得：yG=，zG=9；故G的坐標(biāo)為：〔11，，9〕因?yàn)椋海?，故G點(diǎn)不在平面BCC1B1上，所以：G點(diǎn)只能在平面DCC1D1上；因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12此時(shí)：=〔xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0〕=〔xG﹣8，1，zG〕即有：〔4，3，12〕=λ〔xG﹣8，1，zG〕解得：xG=，zG=4；滿足：xG≤11，zG≤12故G的坐標(biāo)為：〔，7，4〕所以：l3=|FG|==〔4〕l4長(zhǎng)度計(jì)算設(shè)G點(diǎn)在平面A1B1C1D1的投影為G’，坐標(biāo)為〔，7，12〕因?yàn)楣饩€經(jīng)過(guò)反射后，還會(huì)在原來(lái)的平面內(nèi)；即：AEFGH共面故EG的反射線GH只能與平面A1B1C1D1相交，且交點(diǎn)H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根據(jù)以上解析，可知l1，l2，l3，l4要滿足以下關(guān)系：l1=l2；且l4＞l3比照ABCD選項(xiàng)，可知，只有C選項(xiàng)滿足以上條件．故此題選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察的空間中點(diǎn)坐標(biāo)的概念，兩點(diǎn)間的距離公式，解法靈巧，屬于難題．二、選做題：請(qǐng)考生在以下兩題中任選一題作答，假設(shè)兩題都做，那么按所做的第一題記分，此題共5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．不等式選做題11．〔5分〕〔2024?江西〕對(duì)任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值為〔〕A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式；函數(shù)最值的應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：把表達(dá)式分成2組，利用絕對(duì)值三角不等式求解即可得到最小值．解答：解：對(duì)任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[0，]，y∈[0，1]成立．應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查利用分段函數(shù)或特殊值求解不等式的最值的方法．坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題12．〔2024?江西〕假設(shè)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，那么線段y=1﹣x〔0≤x≤1〕的極坐標(biāo)方程為〔〕A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x〔0≤x≤1〕化為極坐標(biāo)方程．解答：解：根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x〔0≤x≤1〕，可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=，θ∈[0，]，應(yīng)選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，注意極角θ的范圍，屬于根底題．三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分13．〔5分〕〔2024?江西〕10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，那么恰好取到1件次品的概率是．考點(diǎn)：等可能事件的概率．專題：計(jì)算題．分析：此題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從10件中取4件有C104種結(jié)果，滿足條件的事件是恰好有1件次品有C72C31種結(jié)果，得到概率．解答：解：由題意知此題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從10件中取4件有C104種結(jié)果，滿足條件的事件是恰好有1件次品有CC31種結(jié)果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查等可能事件的概率，此題解題的關(guān)鍵是利用組合數(shù)寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，此題是一個(gè)根底題．14．〔5分〕〔2024?江西〕假設(shè)曲線y=e﹣x上點(diǎn)P的切線平行于直線2x+y+1=0，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔﹣ln2，2〕．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：先設(shè)P〔x，y〕，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：設(shè)P〔x，y〕，那么y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P〔﹣ln2，2〕，故答案為：〔﹣ln2，2〕．點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點(diǎn)P處的切線的斜率是該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用．15．〔5分〕〔2024?江西〕單位向量與的夾角為α，且cosα=，向量=3﹣2與=3﹣的夾角為β，那么cosβ=．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：轉(zhuǎn)化向量為平面直角坐標(biāo)系中的向量，通過(guò)向量的數(shù)量積求出所求向量的夾角．解答：解：?jiǎn)挝幌蛄颗c的夾角為α，且cosα=，不妨=〔1，0〕，=，=3﹣2=〔〕，=3﹣=〔〕，∴cosβ===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查向量的數(shù)量積，兩個(gè)向量的夾角的求法，考查計(jì)算能力．16．〔5分〕〔2024?江西〕過(guò)點(diǎn)M〔1，1〕作斜率為﹣的直線與橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，那么橢圓C的離心率等于．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為﹣，即可求出橢圓C的離心率．解答：解：設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，，∵過(guò)點(diǎn)M〔1，1〕作斜率為﹣的直線與橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，∴兩式相減可得，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查橢圓C的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．五、解答題：本大題共6小題，共75分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．〔12分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕當(dāng)a=，θ=時(shí)，求f〔x〕在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；〔2〕假設(shè)f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域．專題：三角函數(shù)的求值．分析：〔1〕由條件利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f〔x〕=﹣sin〔x﹣〕，再根據(jù)x∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．〔2〕由條件可得θ∈〔﹣，〕，cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由這兩個(gè)式子求出a和θ的值．解答：解：〔1〕當(dāng)a=，θ=時(shí)，f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕=sin〔x+〕+cos〔x+〕=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin〔﹣x〕=﹣sin〔x﹣〕．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin〔x﹣〕∈[﹣，1]，∴﹣sin〔x﹣〕∈[﹣1，]，故f〔x〕在區(qū)間[0，π]上的最小值為﹣1，最大值為．〔2〕∵f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，a∈R，θ∈〔﹣，〕，f〔〕=0，f〔π〕=1，∴cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根據(jù)cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．綜上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．18．〔12分〕〔2024?江西〕首項(xiàng)是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}〔bn≠0，n∈N*〕滿足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．〔1〕令cn=，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)bn=3n﹣1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：〔1〕由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，en=，可得數(shù)列{cn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；〔2〕用錯(cuò)位相減法來(lái)求和．解答：解：〔1〕∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，∴cn﹣cn+1+2=0，∴cn+1﹣cn=2，∵首項(xiàng)是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，∴數(shù)列{cn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴cn=2n﹣1；〔2〕∵bn=3n﹣1，cn=，∴an=〔2n﹣1〕?3n﹣1，∴Sn=1×30+3×31+…+〔2n﹣1〕×3n﹣1，∴3Sn=1×31+3×32+…+〔2n﹣1〕×3n，∴﹣2Sn=1+2?〔31+32+…+3n﹣1〕﹣〔2n﹣1〕?3n=﹣2﹣〔2n﹣2〕3n，∴Sn=〔n﹣1〕3n+1．點(diǎn)評(píng)：此題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，用好錯(cuò)位相減法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．19．〔12分〕〔2024?江西〕函數(shù)f〔x〕=〔x2+bx+b〕〔b∈R〕〔1〕當(dāng)b=4時(shí)，求f〔x〕的極值；〔2〕假設(shè)f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：〔1〕把b=4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值；〔2〕求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間〔0，〕上大于等于0恒成立，得到對(duì)任意x∈〔0，〕恒成立．由單調(diào)性求出的范圍得答案．解答：解：〔1〕當(dāng)b=4時(shí)，f〔x〕=〔x2+4x+4〕=〔x〕，那么=．由f′〔x〕=0，得x=﹣2或x=0．當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔﹣∞，﹣2〕上為減函數(shù)．當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔﹣2，0〕上為增函數(shù)．當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，〕上為減函數(shù)．∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，f〔x〕取極小值為0．當(dāng)x=0時(shí)，f〔x〕取極大值為4；〔2〕由f〔x〕=〔x2+bx+b〕，得：=．由f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上單調(diào)遞增，得f′〔x〕≥0對(duì)任意x∈〔0，〕恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0對(duì)任意x∈〔0，〕恒成立．∴對(duì)任意x∈〔0，〕恒成立．∵．∴．∴b的取值范圍是．點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．20．〔12分〕〔2024?江西〕如圖，四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．〔1〕求證：AB⊥PD；〔2〕假設(shè)∠BPC=90°，PB=，PC=2，問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P﹣ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．考點(diǎn)：二面角的平面角及求法．專題：空間角；空間向量及應(yīng)用．分析：〔1〕要證AD⊥PD，可以證明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)，即可證明AB⊥PD．〔2〕過(guò)P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，連接PM，由邊長(zhǎng)關(guān)系得到BC=，PM=，設(shè)AB=x，那么VP﹣ABCD=，故當(dāng)時(shí)，VP﹣ABCD取最大值，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夾角的余弦值．解答：解：〔1〕∵在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．〔2〕過(guò)P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，連接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM==，BM=，設(shè)AB=x，∴OM=x∴PO=，∴VP﹣ABCD=×x××=當(dāng)，即x=，VP﹣ABCD=，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣AMP，如以下列圖，那么P〔0，0，〕，D〔﹣，0，0〕，C〔﹣，，0〕，M〔0，，0〕，B〔，，0〕面PBC的法向量為=〔0，1，1〕，面DPC的法向量為=〔1，0，﹣2〕∴cosθ===﹣．點(diǎn)評(píng)：此題考查線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系、線面角的度量，考查分析解決問(wèn)題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力與方程思想．21．〔13分〕〔2024?江西〕如圖，雙曲線C：﹣y2=1〔a＞0〕的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA〔O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕．〔1〕求雙曲線C的方程；〔2〕過(guò)C上一點(diǎn)P〔x0，y0〕〔y0≠0〕的直線l：﹣y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x=相交于點(diǎn)N．