2023-2024學(xué)年江西省部分學(xué)校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第二冊第一章至第二章第5節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則．故選：B.3.在公差為的等差數(shù)列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，因為，所以，解得，故，故B正確.故選：B4.已知，隨機變量的分布列為468設(shè)，則（）A.數(shù)列單調(diào)遞增 B.數(shù)列單調(diào)遞減C.數(shù)列先增后減 D.數(shù)列先減后增〖答案〗A〖解析〗，，當，時，數(shù)列單調(diào)遞增．故選：A.5.若則（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗對等式兩邊同時求導(dǎo)，得，即，令，得.故選：A.6.設(shè)等比數(shù)列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項和為（）A.64 B.72 C.80 D.92〖答案〗C〖解析〗設(shè)是該等比數(shù)列的前項和，依題意可知，則成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則，解得．故選：C.7.設(shè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為．若，且，則為曲線的拐點．下列結(jié)論正確的是（）A.曲線有拐點 B.曲線有拐點C.曲線無拐點 D.曲線無拐點〖答案〗B〖解析〗對于A，和零點均為0，所以曲線無拐點，故A錯誤；對于B，，和的零點不相等，所以曲線有拐點，故B正確；對于C，，，，所以曲線有拐點，故C錯誤；對于D，，，，故是的拐點，即D錯誤．故選：B.8.若數(shù)列相鄰兩項的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱是“鄰和等差數(shù)列”．例如，數(shù)列，為“鄰和等差數(shù)列”．已知數(shù)列是“鄰和等差數(shù)列”，是其前項和，且，，則（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由，得，則，故．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次英語四級考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨立，則（）A.B.甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C.甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D.乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96〖答案〗BD〖解析〗對A，依題意可得，解得，故A錯誤；對B，甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；對C，甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯誤；對D，乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.的零點之和為3B.的圖象關(guān)于點對稱C.曲線不存在傾斜角為切線D.曲線在處的切線的斜率為432〖答案〗BCD〖解析〗因為，其中，，所以只有一個零點，所以零點之和為0，故A錯誤．因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確．因為，所以曲線不存在傾斜角為的切線，故C正確．設(shè)，則，則，所以，故D正確．故選:BCD.11.表示數(shù)列的前項積，如．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.！C. D.滿足的的最小值為41〖答案〗ACD〖解析〗，A正確．，B錯誤．因為，所以，C正確．，由，得，則，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得，由導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點，則，解得．故〖答案〗為：13.若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則______，數(shù)列的前項和為______．〖答案〗①②〖解析〗令，則，所以等比數(shù)列的公比為2，所以，故．數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和為．故〖答案〗為：；14.某質(zhì)點的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式，則該質(zhì)點的瞬時速度的最小值為______．〖答案〗2〖解析〗由求導(dǎo)得，，因，則當，即，即時，取得最小值2，故該質(zhì)點的瞬時速度的最小值為．故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為.（1）求的表達式；（2）若自變量從變到，求的平均變化率；（3）若，求在處的瞬時變化率.解：（1）因為四邊形的周長為12，所以，所以，因為，所以，所以.（2）若自變量從變到，則的平均變化率為.（3）由，得.，則，所以在處的瞬時變化率為-30.16.已知函數(shù)的圖象在點處的切線經(jīng)過點．（1）當時，求的方程．（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（3）求數(shù)列的前項和．解：（1）當時，則，所以，又，所以切點為，切線的斜率為，則切線的方程為，即.（2）因為，則，，所以，則切線方程為，即，令，解得，所以，則，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）可得，所以，所以，則，所以，所以.17已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）求過點且與曲線相切的切線方程．解：（1），由，得，解得，則所求不等式的解集為．（2）因為，所以曲線在點處的切線方程為．將點的坐標代入，并整理得，解得或1或．當時，切線方程為；當時，切線方程為，即；當時，切線方程為，即．18.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調(diào)遞增；若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調(diào)遞減．若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的凹凸性，并說明理由；（2）若函數(shù)為上的凹函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）因為在上為增函數(shù)，所以在上為凹函數(shù)，，設(shè)，則，當時，，，則在上為減函數(shù)，所以在上為凸函數(shù)．（2），設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，則對恒成立．則．當時，（不恒成立），單調(diào)遞減；當時，（不恒成立），單調(diào)遞增．所以，所以，解得，故的取值范圍是．19.函數(shù)稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：．對于任意的實數(shù)，定義數(shù)列滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，從全體正整數(shù)中除去所有，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列．①求的通項公式；②證明：對任意的，都有．解：（1）由，得，則，所以；由，得，則，所以.（2）①依題意，，則，對于給定的，存在唯一確定的，使得，即，而，則當時，，設(shè)，此時，即；當時，，設(shè)，此時，即，因此，恰好跳過，即所有正整數(shù)中恰好少了，因為，所以.②由，得，則為遞增數(shù)列，，當時，，則，所以對任意的，都有.江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第二冊第一章至第二章第5節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則．故選：B.3.在公差為的等差數(shù)列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，因為，所以，解得，故，故B正確.故選：B4.已知，隨機變量的分布列為468設(shè)，則（）A.數(shù)列單調(diào)遞增 B.數(shù)列單調(diào)遞減C.數(shù)列先增后減 D.數(shù)列先減后增〖答案〗A〖解析〗，，當，時，數(shù)列單調(diào)遞增．故選：A.5.若則（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗對等式兩邊同時求導(dǎo)，得，即，令，得.故選：A.6.設(shè)等比數(shù)列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項和為（）A.64 B.72 C.80 D.92〖答案〗C〖解析〗設(shè)是該等比數(shù)列的前項和，依題意可知，則成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則，解得．故選：C.7.設(shè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為．若，且，則為曲線的拐點．下列結(jié)論正確的是（）A.曲線有拐點 B.曲線有拐點C.曲線無拐點 D.曲線無拐點〖答案〗B〖解析〗對于A，和零點均為0，所以曲線無拐點，故A錯誤；對于B，，和的零點不相等，所以曲線有拐點，故B正確；對于C，，，，所以曲線有拐點，故C錯誤；對于D，，，，故是的拐點，即D錯誤．故選：B.8.若數(shù)列相鄰兩項的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱是“鄰和等差數(shù)列”．例如，數(shù)列，為“鄰和等差數(shù)列”．已知數(shù)列是“鄰和等差數(shù)列”，是其前項和，且，，則（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由，得，則，故．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次英語四級考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨立，則（）A.B.甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C.甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D.乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96〖答案〗BD〖解析〗對A，依題意可得，解得，故A錯誤；對B，甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；對C，甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯誤；對D，乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.的零點之和為3B.的圖象關(guān)于點對稱C.曲線不存在傾斜角為切線D.曲線在處的切線的斜率為432〖答案〗BCD〖解析〗因為，其中，，所以只有一個零點，所以零點之和為0，故A錯誤．因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確．因為，所以曲線不存在傾斜角為的切線，故C正確．設(shè)，則，則，所以，故D正確．故選:BCD.11.表示數(shù)列的前項積，如．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.！C. D.滿足的的最小值為41〖答案〗ACD〖解析〗，A正確．，B錯誤．因為，所以，C正確．，由，得，則，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得，由導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點，則，解得．故〖答案〗為：13.若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則______，數(shù)列的前項和為______．〖答案〗①②〖解析〗令，則，所以等比數(shù)列的公比為2，所以，故．數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和為．故〖答案〗為：；14.某質(zhì)點的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式，則該質(zhì)點的瞬時速度的最小值為______．〖答案〗2〖解析〗由求導(dǎo)得，，因，則當，即，即時，取得最小值2，故該質(zhì)點的瞬時速度的最小值為．故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為.（1）求的表達式；（2）若自變量從變到，求的平均變化率；（3）若，求在處的瞬時變化率.解：（1）因為四邊形的周長為12，所以，所以，因為，所以，所以.（2）若自變量從變到，則的平均變化率為.（3）由，得.，則，所以在處的瞬時變化率為-30.16.已知函數(shù)的圖象在點處的切線經(jīng)過點．（1）當時，求的方程．（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（3）求數(shù)列的前項和．解：（1）當時，則，所以，又，所以切點為，切線的斜率為，則切線的方程為，即.（2）因為，則，，所以，則切線方程為，即，令，解得，所以，則，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）可得，所以，所以，則，所以，所以.17已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）求過點且與曲線相切的切線方程．解：（1），由，得，解得，則所求不等式的解集為．（2）因為，所以曲線在點處的切線方程為．將點的坐標代入，并整理得，解得或1或．當時，切線方程為；當時，切線方程為，即；當時，切線方程為，即．18.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調(diào)遞增；若在上恒成立，且在上不恒成立，則在上單調(diào)遞減．若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的凹凸性，并說明理由；（2）若函數(shù)為上的凹函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）因為在上為增函數(shù)，所以在上為凹函數(shù)，，設(shè)，則，當時，，，則在上為減函數(shù)，所以在上為凸函數(shù)．（2），設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，則對恒成立．則．當時