天津市紅橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-天津市紅橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再依據(jù)補(bǔ)集定義即可求出.【詳解】，，，故選：D.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定“改量詞，否結(jié)論”即可得出【詳解】全稱命題的否定是“改量詞，否結(jié)論”，故“”的否定為“”.故選：C.3.已知是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由是的內(nèi)角，，得出，再利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可.【詳解】解：是的內(nèi)角，，所以，若，則，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件，涉及到三角函數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用兩角和的余弦公式可求得的值.【詳解】，，所以，，因此，.故選：A.5.為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】先化簡函數(shù)，再依據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，所以為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.故選：B．6.設(shè)，向量，若//，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由可得，即得，即可求出.【詳解】，，即，，，，.故選：D.7.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“其次天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．8.設(shè)隨機(jī)變量，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性得結(jié)論．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所以．9.已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A.10 B.20 C.24 D.32【答案】C【解析】【分析】各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱，棱柱的體對角線即為球的直徑，再由球表面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)檎睦庵邽?，體積為16，所以正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長為，正四棱柱的底面的對角線為，正四棱柱的對角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即，,故選：C10.已知、是不重合的直線，、是不重合的平面，有下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則；⑦若，，則.其中真命題的個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)推斷①②③④⑤⑥⑦中線線、線面、面面位置關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】對于①，若，，則、平行或異面，①錯誤；對于②，若，，則、平行或相交，②錯誤；對于③，若，，則或，③錯誤；對于④，若，，由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；對于⑤，若，，則與平行、相交或，⑤錯誤；對于⑥，若，，由面面平行的性質(zhì)可得，⑥正確；對于⑦，若，，則或，⑦錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】對于空間線面位置關(guān)系的組合推斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論須要依據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯誤的結(jié)論須要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反對．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.11.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?12.的二項(xiàng)綻開式中，的系數(shù)是_________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式求的系數(shù).【詳解】依據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí),即r=2時(shí),可得.即項(xiàng)的系數(shù)為40故答案為：40【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：本題主要考查二項(xiàng)綻開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡潔題.二項(xiàng)綻開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)綻開式定理的應(yīng)用.13.平面對量，中，已知，，且，則向量_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出關(guān)于的一個方程，再由模得一方程，聯(lián)立后可解得，得結(jié)論．【詳解】設(shè)，則，解得：，即．故答案為：．14.某一天上午的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、體育共4節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有排法_________種.(用數(shù)字作答)【答案】14【解析】【分析】分析體育課在不在最終一節(jié)，采納分類加法計(jì)數(shù)原理以及排列思想計(jì)算出對應(yīng)的排法數(shù).【詳解】當(dāng)體育課在最終一節(jié)時(shí)，此時(shí)另外節(jié)課可在其余位置隨意排列，故有種排法；當(dāng)體育課不最終一節(jié)時(shí)，此時(shí)體育課只能在第節(jié)或第節(jié)，故有種排法，所以一共有：種排法，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理與排列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題實(shí)行“捆綁法”；（2）不相鄰問題實(shí)行“插空法”；（3）有限制元素實(shí)行“優(yōu)先法”；（4）特別元素依次確定問題，先讓全部元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).15.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，則這名射手在3次射擊恰好有1次擊中目標(biāo)的概率是_________.【答案】0.096【解析】【分析】依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式干脆求解出結(jié)果即可.【詳解】依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可知：，故答案為：.16.如圖，已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連結(jié)并延長到點(diǎn)，使得，則的值為________【答案】【解析】【分析】先由題意，得到，推出，再由，依據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題中條件，干脆計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，所以，因此，又，是邊長為的等邊三角形，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟記向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及平面對量基本定理即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5個題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行嘉獎，袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.規(guī)定：每位顧客從袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額.(I)求顧客所獲的嘉獎額為60元的概率；(II)求顧客所獲的嘉獎額的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(I)；(II)分布列見解析，40.【解析】【分析】(I)設(shè)顧客所獲得的嘉獎額為X，即摸出一張面值50元的和從3張面值10元摸出一張，由排列組合的學(xué)問可得概率；(II)X得全部可能取值為20，60，由(I)知兩個概率均為，從而可得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【詳解】(I)設(shè)顧客所獲得的嘉獎額為X，依題意，得，即顧客所獲得嘉獎額為60元的概率為；(II)依題意得X得全部可能取值為20，60，，即X的分布列為X2060P所以這位顧客所獲的嘉獎額的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝20×+60×＝40．18.在中，分別為內(nèi)角的對邊，已知，，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】(I)7；(II).【解析】【分析】(I)由余弦定理求；(II)由正弦定理求得，再由余弦二倍角公式求得．【詳解】（Ⅰ）由余弦定理所以；（Ⅱ）由正弦定理所以所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，正弦定理主要解決兩類問題：一是已知兩角用一角對邊解三角形，二是已知兩邊及一邊對角解三角形（這一類型可能出現(xiàn)兩解，須要進(jìn)行推斷），余弦定理主要解決兩類問題：一是已知兩邊及夾角解三角形，二是已知三邊解三角形．實(shí)質(zhì)上已知兩邊及一角都可用余弦定理求解三角形．19.已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值.【答案】(I)；(II)為，，.【解析】分析】（I）依據(jù)降冪公式以及協(xié)助角公式將化簡，然后依據(jù)周期計(jì)算公式求解出最小正周期；（II）采納整體替換的方法求解出在上的單調(diào)遞增區(qū)間，再結(jié)合的單調(diào)性求解出.【詳解】（Ⅰ）的最小正周期（Ⅱ）令所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)增區(qū)間為和，又在上，，，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題.利用三角恒等變換的公式化簡的思路：對于二次的正余弦形式，先采納降冪公式變形，再利用協(xié)助角公式進(jìn)行整合；已知區(qū)間求解三角函數(shù)最值的思路：先分析單調(diào)性，必要時(shí)須要結(jié)合端點(diǎn)值進(jìn)行分析.20.如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).（I）證明：直線MN//平面OCD；（II）求異面直線AB與MD所成角的余弦值.【答案】(I)證明見解析；(II).【解析】【分析】（I）取OD的中點(diǎn)E，通過證明四邊形MNCE是平行四邊形可得MN//EC，即可證明；（II）可得為異面直線AB與所成的角（或其補(bǔ)角），連接,求出三角形各邊長，即可依據(jù)余弦定理求出.【詳解】（Ⅰ）證明：取OD的中點(diǎn)E，∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，∵N為BC的中點(diǎn)，，，∴四邊形MNCE是平行四邊形，∴MN//EC，∵M(jìn)N平面OCD，EC平面OCD，∴MN//平面OCD.（Ⅱ）解：為異面直線AB與所成的角（或其補(bǔ)角），連接,,,是的中點(diǎn)，,平面ABCD，∴OAAD，,.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線面平行的方法是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常用的證明線線平行的方法是構(gòu)造平行四邊形或者利用三角形的中位線定理.21.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD//BC//FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.（I）證明：平面AMD⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.【答案】(I)證明見解析；(II).【解析】【分析】（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，利用平行四邊形及線面垂直的性質(zhì)定理證明相互垂直，從而可證明與垂直，然后可得線面垂直，面面垂直；（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可得為二面角的平面角，在中求得其余弦值．【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)則，∵，∴四邊形FAPE是平行四邊形，∴，同理，.又∵平