18.2平行四邊形的判定（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.2平行四邊形的判定知識點一知識點一平行四邊形的判定◆1、平行四邊形的判定方法類別判定方法圖形幾何語言邊兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.∴AB∥CD，AD∥BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.∵AB=CD，AD=CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.∵AO=CO，DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形.◆2、平行四邊形有5種判定方法，在判定一個四邊形是平行四邊形時，應(yīng)選擇哪一種方法需要根據(jù)具體情況而定，當幾種方法都能判定時，應(yīng)選擇較簡單的方法.◆3、平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：由平行四邊形這一條件得到邊、角、對角線的關(guān)系是性質(zhì).由邊、角、對角線的關(guān)系得到平行四邊形是判定.聯(lián)系：平行四邊形的性質(zhì)題設(shè)和結(jié)論正好與判定的題設(shè)和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系.知識點二三角形的中位線知識點二三角形的中位線◆1、定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.幾何語言：在△ABC中，∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線.◆2、性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.幾何語言：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，且DE=12BC◆3、一個三角形有三條中位線，如圖DE,DF,EF都是△ABC的中位線，中位線是一條線段.◆4、三角形的三條中位線把原三角形分成四個全等的小三角形，三個面積相等的平行四邊形；四個全等小三角形的周長都是原三角形周長的一半.◆5、三角形的中線與中位線相同點：都是與中點有關(guān)的線段.不同點：中位線是連接三角形兩邊中點的線段.中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段.題型題型一利用定義進行平行四邊形的判定【例題1】如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D解題技巧提煉當已知條件中涉及或易得出四邊形的對邊分別平行時，應(yīng)考慮使用平行四邊形的定義這種判定方法.【變式11】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【變式12】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點O，則圖中平行四邊形的個數(shù)是．【變式13】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：四邊形ABED是平行四邊形．【變式14】已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC邊上，EF∥BC交AC于點F，連結(jié)BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．題型二題型二利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定【例題2】（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解題技巧提煉已知一組對邊平行，可通過證明這組對邊相等來證明平行四邊形，“一組對邊平行且相等”與“一組對邊平行，另一組對邊相等”不同，前者指的是同一組對邊，后者指的不是同一組對邊，不能用來判定平行四邊形.【變式21】如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，已知AB＝CD，添加列其中一個條件，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD【變式22】（2022?海淀區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，延長BC至點F，使CF=12BC，連接DE、CD、【變式23】（2022春?舒城縣校級月考）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，以O(shè)D，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點F，連接BE．求證：四邊形ABEO是平行四邊形．【變式24】（2021?射陽縣二模）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）連接AD，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．題型三題型三利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題3】（2022春?南召縣期末）如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作CD∥AB，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．求證：四邊形DBEC是平行四邊形．解題技巧提煉當出現(xiàn)的已知要證明的四邊形有一組對邊相等，可選擇證另一組對邊相等，利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定.【變式31】下面給出的是四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長度之比，其中能滿足四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3【變式32】如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式33】如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．題型四題型四利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題4】一個四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，我們判定其為平行四邊形的依據(jù)是（）A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解題技巧提煉當已知條件出現(xiàn)在要證明的四邊形的角上時，可選擇“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法來證明.【變式41】下面給出的四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3【變式42】如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式43】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于點G，交AD于點E，交BC的延長線于點F，∠DEF＝∠CFG．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．題型五題型五利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題5】（2022?天河區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，（1）求證；四邊形ABCD為平行四邊形；（2）求四邊形ABCD的面積．解題技巧提煉當要證明的四邊形的對角線交于一點，且易得出其對角線互相平分時，應(yīng)選擇用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的判定方法來證明.【變式51】（2022春?巴中期末）已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個條件是：．（只需填一個你認為正確的條件即可）【變式52】（2021春?柳南區(qū)校級期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，連接DE并延長，交AB的延長線于點F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式53】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，直線AE交DC的延長線于點F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式54】（2021春?黑山縣期末）如圖，AB，CD相交于點O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分別是OC，OD中點．（1）求證：OD＝OC．（2）求證：四邊形AFBE平行四邊形．題型六題型六應(yīng)用中位線定理求線段的長度定【例題6】如圖，在?ABCD中，AD＝10，點E、F分別是BD、CD的中點，則EF等于（）A．3 B．4 C．5 D．6解題技巧提煉運用中位線定理求線段長的方法：當題目有中點，特別是一個三角形中出現(xiàn)兩邊中點時，常考慮用三角形的中位線來解決，先證出它是三角形的中位線，在利用中位線構(gòu)造線段之間的關(guān)系，并由此建立待求線段與已知線段的聯(lián)系，從而求出線段長.【變式61】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC＝16，F(xiàn)是線段DE上一點，連接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，則AC的長度是．【變式62】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為（）A．12 B．1 C．72 D【變式63】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式64】如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【變式65】（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．題型七題型七應(yīng)用中位線定理推理證明定【例題7】如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.解題技巧提煉當題中出現(xiàn)有三角形的中點時，聯(lián)想到三角形中位線定理，應(yīng)用定理證明兩直線的位置關(guān)系或線段之間的關(guān)系.有時需要添加輔助線構(gòu)造.【變式71】（2022?濉溪縣校級開學(xué)）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E為AD的中點，CE延長線交AB于點F．求證：AF=12【變式72】（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點．請你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式73】（2022春?城固縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB上一點，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點E．（1）求證：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，點F為BC的中點，連接EF，求EF的長．【變式74】如圖，已知AO是△ABC的∠A的平分線，BD⊥AO的延長線于D，E是BC的中點．求證：DE=12（AB﹣【變式75】在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點，作∠B的角平分線（1）如圖1，若∠B的平分線恰好經(jīng)過點E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說明理由．（2）如圖2，若∠B的平分線交線段DE于點F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的長度．（3）若∠B的平分線交直線DE于點F，直接寫出AB、BC、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系．題型八題型八平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運用【例題8】（2022春?張家港市校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上不同的兩點，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF解題技巧提煉平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^證明四邊形是平行四邊形達到上述目的；凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．【變式81】如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，線段EF與對角線AC交于點O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，則四邊形ABCD的周長是（）A．26 B．32 C．34 D．36【變式82】（2022?豐順縣校級開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有個．【變式83】（2022秋?萊陽市期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于點F．求證：BE＝CF．【變式84】（2022秋?煙臺期末）如圖，在?ABCD中，∠C＝60°，M、N分別是AD、BC的中點．（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的長．【變式85】（2022秋?泰山區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．（1）求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；（2）過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．題型九題型九平行四邊形的判定與動點運動問題定【例題9】（2022春?蓮池區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，點P在AD邊上以每秒2cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒1cm的速度從點C向點B運動，當一點到達終點停止運動時，另一點也停止運動，則運動時間為秒時，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個平行四邊形．解題技巧提煉運用數(shù)形結(jié)合的思想，化動為靜，根據(jù)題意結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、判定列出方程，進行相關(guān)的計算或證明，解決有關(guān)平行四邊形中的動點問題.【變式91】（2021春?魏縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q以每秒3cm的速度從點D出發(fā)，沿DC，CB向B運動，兩個點同時出發(fā)，在運動秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．【變式92】（2022春?社旗縣期末）在四邊形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點，且BM＝4cm，點E從A出發(fā)以1cm