第三章量子力學初步1

1、H=E 第三章第三章 量子力學基礎量子力學基礎Chapter 3. Introduction to Quantum Mechanics 一個能量為E ，動量為P 的實物粒子同時具有波動性，波長和頻率分別是與粒子相聯(lián)系的波稱為物質(zhì)波或德布羅意波 - 德布羅意波長 愛因斯坦-德布羅意 關系式mhPhhmchE2指出:1. 1924.11.29，把題為“量子理論的研究”的博士論文提交給巴黎大學，二、德布羅意關系式二、德布羅意關系式教學內(nèi)容 3.1 波粒二象性 德布羅意物質(zhì)波3.2 波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋3.3 不確定關系3.4 力學量的算符及本征值方程3.5 薛定諤方程3.6 一維問題的薛定諤方程解3.

2、7 量子力學對氫原子的處理教學要求教學要求（1）掌握德布羅依假設和波粒二象性，了解戴維孫）掌握德布羅依假設和波粒二象性，了解戴維孫革末實革末實驗和雙縫干涉實驗。驗和雙縫干涉實驗。（2）掌握不確定關系，并能用其解決簡單的問題。）掌握不確定關系，并能用其解決簡單的問題。（3）掌握波函數(shù)的物理意義。）掌握波函數(shù)的物理意義。（4）了解薛定諤方程在量子力學中的作用，掌握定態(tài)的概念，）了解薛定諤方程在量子力學中的作用，掌握定態(tài)的概念，了解求解定態(tài)薛定諤方程（本征問題）的基本步驟。了解求解定態(tài)薛定諤方程（本征問題）的基本步驟。（5）掌握運用定態(tài)薛定諤方程求解氫原子問題的基本步驟，）掌握運用定態(tài)薛定諤方程求解

3、氫原子問題的基本步驟，掌握描述電子空間運動的三個量子數(shù)。掌握描述電子空間運動的三個量子數(shù)。 重點重點 德布羅依假設和微觀粒子的波粒二象性德布羅依假設和微觀粒子的波粒二象性 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 不確定關系不確定關系 定態(tài)的概念定態(tài)的概念 求解定態(tài)薛定諤方程（本征問題）的基本步驟求解定態(tài)薛定諤方程（本征問題）的基本步驟 量子力學對氫原子的描述及三個量子數(shù)量子力學對氫原子的描述及三個量子數(shù) 難點難點 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 不確定關系不確定關系 量子力學對氫原子的描述量子力學對氫原子的描述 1）十九世紀末經(jīng)典物理學的成功 2）經(jīng)典物理學上空所漂浮的兩朵烏云 3）舊量子論的形成

4、(沖破經(jīng)典 量子假說) 1900 Planck 黑體輻射 振子能量量子化 1905 Einstein 光電效應 電磁輻射能量量子化 1913 N.Bohr 玻爾理論 原子能量量子化量子力學發(fā)展量子力學發(fā)展 4）量子力學誕生 1924 de Broglie 所有實物粒子具有波動性 1925 Heisenberg 矩陣力學 1926 Schroedinger 波動方程 1927 Heisenberg 不確定原理 1928 Dirac 相對論波動方程玻爾理論玻爾理論 玻爾理論的成功 玻爾理論的缺陷玻爾理論的成功玻爾理論的成功 量子定態(tài)得到實驗驗證量子定態(tài)得到實驗驗證 成功解釋氫原子光譜成功解釋氫原子

5、光譜 理論上計算理論上計算Rydberg常量常量 成功預測了類氫離子光譜成功預測了類氫離子光譜 說明特征說明特征X射線光譜射線光譜 部分闡明了元素周期表部分闡明了元素周期表玻爾理論的局限玻爾理論的局限 電子作軌道運動庫侖力提供向心力電子作軌道運動庫侖力提供向心力 有向心加速度而不輻射能量，定態(tài)有向心加速度而不輻射能量，定態(tài) 為什么定態(tài)？如何躍遷？為什么定態(tài)？如何躍遷？ 盧瑟福，薛定諤提出問題盧瑟福，薛定諤提出問題玻爾理論的局限玻爾理論的局限 無法解釋氦原子光譜無法解釋氦原子光譜 無法解釋氫原子精細結構光譜無法解釋氫原子精細結構光譜 無法解釋分子的組成無法解釋分子的組成 無法解釋原子如何形成液體

6、、固體無法解釋原子如何形成液體、固體“這一理論還是十分初步的理論，許多基本問題還有待解決這一理論還是十分初步的理論，許多基本問題還有待解決”放棄玻爾理論？回歸經(jīng)典？放棄玻爾理論？回歸經(jīng)典？尋找新的思想尋找新的思想 （1）經(jīng)典物理中的波和粒子）經(jīng)典物理中的波和粒子波和粒子是兩種完全不同的能量傳播方式波和粒子是兩種完全不同的能量傳播方式波：波：特征量波長、頻率具有干涉、衍射性質(zhì)；理想的波可以特征量波長、頻率具有干涉、衍射性質(zhì)；理想的波可以精確測量其波長、頻率精確測量其波長、頻率粒子：粒子：可以精確地測量位置、動量、質(zhì)量等遵從牛頓運動定可以精確地測量位置、動量、質(zhì)量等遵從牛頓運動定律律3.1 （2）

7、光的波粒二象性）光的波粒二象性 l 1672年年 Newton光的微粒學說光的微粒學說l 1678年年 Huygens光的波動學說光的波動學說l 19世紀世紀 Young驗證光的波動學說驗證光的波動學說l 19世紀末世紀末 Maxwell Hertz確定光是電磁波確定光是電磁波l 1905年年 Einstein光量子說光量子說 （3）德布羅意假設德布羅意假設1924 11 29德布羅意把題為德布羅意把題為“量子理論的研究量子理論的研究”的博士論文的博士論文提交巴黎大學，獲得評委會的高度評價和愛因斯坦的稱贊提交巴黎大學，獲得評委會的高度評價和愛因斯坦的稱贊“揭開了自然界巨大帷幕的一角揭開了自然界

8、巨大帷幕的一角”1929獲得諾貝爾物理獎獲得諾貝爾物理獎1. 實物微粒的波粒二象性實物微粒的波粒二象性 實物微粒是指靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子實物微粒是指靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子(m00),如電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等，以區(qū)別于如電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等，以區(qū)別于靜止質(zhì)量等于零的光子。靜止質(zhì)量等于零的光子。 De Brogile 1924年年 de Broglie 受光的波粒二象性的啟示，大膽受光的波粒二象性的啟示，大膽提出了實物微粒也具有波性的假設。提出了實物微粒也具有波性的假設。在光學上，是否太在光學上，是否太多針對波動的研究方法而忽略了粒子的研究方法？多針對波動的研究方法而忽略了

9、粒子的研究方法？在實物微粒上，是不是把粒子的圖象想得太多而過于忽在實物微粒上，是不是把粒子的圖象想得太多而過于忽略了波的圖象？略了波的圖象？（1）德布羅依（德布羅依（De Brogile）假設）假設EhmvhphDe Brogile關系式關系式普朗克常數(shù)的物理意義：普朗克常數(shù)的物理意義：它是量子化的量度，即它是不連續(xù)程度的最小量度單位；在物它是量子化的量度，即它是不連續(xù)程度的最小量度單位；在物質(zhì)的波粒性中起著橋梁作用；在量子化和波粒性中起著非常重質(zhì)的波粒性中起著橋梁作用；在量子化和波粒性中起著非常重要的作用要的作用 De Broglie提出實物微粒也具有波性，以此作為克服提出實物微粒也具有波性

10、，以此作為克服舊量子論的缺點，探求微觀粒子運動的根本途徑，這種實舊量子論的缺點，探求微觀粒子運動的根本途徑，這種實物微粒所具有的波就稱為物質(zhì)波或德布羅依波。物微粒所具有的波就稱為物質(zhì)波或德布羅依波。 這個假設形式上與這個假設形式上與Einstein關系式相同，但它實際上是一個完關系式相同，但它實際上是一個完全嶄新的假設，因為它不僅適用于光，而且對實物微粒也適全嶄新的假設，因為它不僅適用于光，而且對實物微粒也適用。用。 動量為動量為 p 的在一維方向運動的自由粒子（位能的在一維方向運動的自由粒子（位能V=常數(shù)常數(shù)或或V=0），其波函數(shù)可與一維平面單色波相聯(lián)系得到：），其波函數(shù)可與一維平面單色波相

11、聯(lián)系得到：1cos2 ()cos2 ()2 cos()cos()xxxxpEAtAthhAxpEtAxpEth 一維實物波的波函數(shù)：一維實物波的波函數(shù)：（2）德布羅意波長的估算）德布羅意波長的估算 動量為動量為P的自由粒子，當它的運動速度比光速小得多時（的自由粒子，當它的運動速度比光速小得多時（c） 221PET+V22mvmP2mE3431199 P2E2V6.626 10 2 9.11 101.602 10V1.22612.26 10 ( )VVhhhmmemA若若V=1000V，則波長為，則波長為39pm?？梢妼﹄娮拥葘嵨锪Ｗ?，其德布羅意?？梢妼﹄娮拥葘嵨锪Ｗ樱涞虏剂_意波長具有波長具有

12、數(shù)量級，與數(shù)量級，與x射線相近，用普通光柵無法檢出其波性。射線相近，用普通光柵無法檢出其波性。 （V 為加速電子運動為加速電子運動的電場電勢差）的電場電勢差）求以求以1.0106ms-1的速度運動的電子，其的速度運動的電子，其de Broglie波波長。波波長。大小相當于分子大小的數(shù)量級，說明原子中和分子中電子運大小相當于分子大小的數(shù)量級，說明原子中和分子中電子運動的波效應是重要的。但與宏觀體系的線度相比，波效應是動的波效應是重要的。但與宏觀體系的線度相比，波效應是微小的。微小的。 =（6.610-34J.s）/(9.110-31kg1.0106m.s-1)= 710-10m = 7 mvh例

13、a. 1000 kg 重的汽車以重的汽車以100ms-1的速度運動，其的速度運動，其de Broglie波波波波長為長為6.610-39 m。s-1b. 10g 重的子彈以重的子彈以500ms-1的速度運動，其的速度運動，其de Broglie波波長波波長為為1.310-34 m。c. 10-6g 重的灰塵以重的灰塵以1cms-1的速度運動，其的速度運動，其de Broglie波波長波波長為為6.610-23 m。宏觀粒子也具有波動性，m大時, 0（3）De Brogile 波的實驗證實波的實驗證實 當當V=102104V時，從理論上已估算出電子德布羅依波時，從理論上已估算出電子德布羅依波長為

14、長為1.20.12，與，與x光相近（光相近（0.1100 ），用普通的光），用普通的光學光柵學光柵（周期（周期 ）是無法檢驗出其波動性的。是無法檢驗出其波動性的。戴維遜戴維遜- -革末實驗革末實驗單晶鎳單晶鎳（C.J.Davisson - L.H.Germer）湯姆遜實驗湯姆遜實驗金金- -釩多晶釩多晶（G.P.Thomson）兩個證實的實驗：兩個證實的實驗：適用條件：適用條件：(1)(1)電子，電子，(2)(2)非相對論非相對論(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhmhph粒子的德布羅意波長：1當 時，2當 時， o

15、mm經(jīng)過電場加速的電子： cc若 V =100伏 則得 =1.225 X 射線波段a. 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實驗，測量了電子波的波長，證實了德布羅意假設。1實驗裝置 2實驗結果實驗結果(1)當U不變時，I與的關系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當不變時，I與U的關系如圖當U改變時，I亦變；而且隨了U周期性的變化3實驗解釋 晶體結構：2)12(sin2nnd波程差： 對對Dovissn和和Germer單晶電子衍射實驗，由布拉格單晶電子衍射實驗，由布拉格（Bragg）方程）方程 和和 可分別計算出衍射電子的波長可分別計算出衍射電子的波長。兩種方法的計算結果非常吻。兩種方

16、法的計算結果非常吻合，證實電子確實具有波動性。合，證實電子確實具有波動性。 2dsinhklh k ln 12.26V 實驗證明了電子確實具有波動性，也證明了德布羅意公式的正確性。)(225. 1VUnm2 , 1n 可見，當、滿足此式時，測得電流的極大值。 對于通過電壓U加速的電子：當U不變時，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值 當不變時，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。對對Thomson 多晶電子衍射實驗，由花紋的半徑及底片多晶電子衍射實驗，由花紋的半徑及底片到衍射源之間的距離等數(shù)值，也可以求出到衍射源之間的距離等數(shù)值，也可以求出 。都證明實驗結。都證明實驗結果與理論推斷一致，電子

17、確實具有波動性。果與理論推斷一致，電子確實具有波動性。后來，人們采用電子、質(zhì)子、氫原子和氦子等粒子流，也觀察到衍后來，人們采用電子、質(zhì)子、氫原子和氦子等粒子流，也觀察到衍射現(xiàn)象，充分證明了實物微粒具有波性，而不只限于電子。電子顯微鏡射現(xiàn)象，充分證明了實物微粒具有波性，而不只限于電子。電子顯微鏡以及用電子衍射和中子衍射測定分子結構都是實物微粒波性的應用。以及用電子衍射和中子衍射測定分子結構都是實物微粒波性的應用。電子在電子在金金- -釩釩多晶上的多晶上的衍射衍射 Thomson 多晶電子衍射實驗多晶電子衍射實驗單電子雙縫實驗單電子雙縫實驗 現(xiàn)代實驗技術可以做到一次一個電子通過縫現(xiàn)代實驗技術可以做

18、到一次一個電子通過縫7 7個電子在觀察屏上個電子在觀察屏上的圖像的圖像100100個電子在屏個電子在屏上的圖像上的圖像屏上出現(xiàn)的電子說明了電子的粒子性屏上出現(xiàn)的電子說明了電子的粒子性（4）微觀粒子的波粒二象性的理解微觀粒子的波粒二象性的理解 隨著電子數(shù)目的增多，在屏上逐漸形成了衍射圖樣隨著電子數(shù)目的增多，在屏上逐漸形成了衍射圖樣說明說明 “一個電子一個電子”就具有的波動性就具有的波動性30002000070000微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性；在另一些條件下表微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性；在另一些條件下表現(xiàn)出波動性?，F(xiàn)出波動性。兩種性質(zhì)雖寓于同一體中卻不能同時表現(xiàn)出來兩種性質(zhì)雖寓于同一體

19、中卻不能同時表現(xiàn)出來少女？少女？老婦？老婦？兩種圖像不會同時兩種圖像不會同時出現(xiàn)在你的視覺中出現(xiàn)在你的視覺中 de Broglie 如何得到軌道角動量量子化條件如何得到軌道角動量量子化條件由這一條件導出的由這一條件導出的表明圓軌道周長表明圓軌道周長S是波長的整數(shù)倍，這正是在圓周上形是波長的整數(shù)倍，這正是在圓周上形成穩(wěn)定的駐波所需要的。成穩(wěn)定的駐波所需要的。 盡管這種軌跡確定的軌道被不確定原理否定了，盡管這種軌跡確定的軌道被不確定原理否定了，但但“定態(tài)與駐波相聯(lián)系定態(tài)與駐波相聯(lián)系”的思想還是富有啟發(fā)性的的思想還是富有啟發(fā)性的. 2hnmvr nphnmvnhrS 2（5）德布羅意波和量子態(tài)）德布

20、羅意波和量子態(tài)波粒二象性的意義（1）把物質(zhì)粒子與光子這兩者物質(zhì)存在 的形式的理論統(tǒng)一起來（2）把原子定態(tài)和駐波聯(lián)系起來，即能 量量子化與駐波頻率、波長的分立 性聯(lián)系起來。 de Broglie波波不僅對建立量子不僅對建立量子力學和原子、分子結構理論有重要力學和原子、分子結構理論有重要意義，而且在技術上有重要應用意義，而且在技術上有重要應用. . 使用使用de Broglie波的電子顯微鏡分辨波的電子顯微鏡分辨率達到光學顯微鏡的千倍率達到光學顯微鏡的千倍, ,為我們打開了微為我們打開了微觀世界的大門觀世界的大門. . de Broglie波的提出是類比法的成功典范波的提出是類比法的成功典范 從科

21、學方法論的角度講從科學方法論的角度講, , 由光的波粒二象性到實物微由光的波粒二象性到實物微粒的波粒二象性是一種類比推理粒的波粒二象性是一種類比推理. . 類比是由兩個或兩類對類比是由兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推出它們在其他方面也象之間在某些方面的相似或相同，推出它們在其他方面也可能相似或相同的思想方法，是一種由特殊到特殊、由此可能相似或相同的思想方法，是一種由特殊到特殊、由此類及彼類的過類及彼類的過程程 . . 類比可以提供重要線索，啟迪思想，類比可以提供重要線索，啟迪思想，是發(fā)展科學知識的一種有效的試探方法是發(fā)展科學知識的一種有效的試探方法. .我們在研究工作我們在研究工作

22、中需要重視這種方法中需要重視這種方法. . 然而，它是一種或然性推理，而不然而，它是一種或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其結論的正確與否必須由是必然性推理，因而有局限性，其結論的正確與否必須由實踐來檢驗實踐來檢驗. .德布羅意獲1929年諾貝爾物理獎戴維遜、湯姆遜共同獲1937年諾貝爾物理獎又稱測不準關系或測不準原理，是由微觀粒子本質(zhì)特性決定的物理量間的相互關系的原理，它反映物質(zhì)波的一種重要性質(zhì)。P4xhx P4yhy P4zhz 同理Heisenberg 3.2 不確定原理（不確定原理（uncertainty principle） 因為實物微粒具有波粒二象性，從微觀體系得到的信息

23、會受到某些限制。例如一個粒子不能同時具有確定的坐標和相同方向的動量分量 。 這 一 關 系 是 1 9 2 7 年 首 先 由 海 森 堡（Heisenberg）推導得出的。電子束縫寬衍射圖樣電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應的動量變化分量 粗估其動量的不確定程度從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動量的不確定關系從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動量的不確定關系衍射圖樣單縫衍射一級暗紋條件德布羅意波長1. 從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動量的不確定關系從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動量的不確定關系2. 不確定關系的物理表述及物理意義不確定關系的物理表述及物理意義xpxtE x表示表示粒子

24、在粒子在x方向上的位置的不確定方向上的位置的不確定范圍，范圍， px表示表示粒子粒子在在x方向上動量的不方向上動量的不確定范圍，其乘積不得小于一個常數(shù)。確定范圍，其乘積不得小于一個常數(shù)。若一個粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，若一個粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即即 E=0 ，則粒子停留在該態(tài)的時間為，則粒子停留在該態(tài)的時間為無限長，無限長， t= 。不確定關系是自然界的客觀規(guī)律，不是測量技術和主觀能力的問題，不確定關系是自然界的客觀規(guī)律，不是測量技術和主觀能力的問題，是量子理論中的一個重要概念。是量子理論中的一個重要概念。1927年海森堡提出了不確定關系坐標與同一方向上的動量分量不能同時確定。坐標與

25、同一方向上的動量分量不能同時確定。 x與與 Py 之間不存在上述關系。之間不存在上述關系。不確定原理在宏觀體系中也適用，只不過是不確定量不確定原理在宏觀體系中也適用，只不過是不確定量小到了可忽略的程度。小到了可忽略的程度。 說明不確定原理可用于判斷哪些物體其運動規(guī)律可用經(jīng)不確定原理可用于判斷哪些物體其運動規(guī)律可用經(jīng)典力學處理，而哪些則必須用量子力學處理。典力學處理，而哪些則必須用量子力學處理。 應用 、一維自由粒子具有確定的動量 p0，自由粒子動量的不確定度p=0，則位置不確定度？思考題、一維粒子位于x0處，即 x=0。相應波函數(shù))()(00 xxxx則動量不確定度？對對質(zhì)量質(zhì)量m=10-15

26、kg的微塵，求速度的測不準量。的微塵，求速度的測不準量。設微塵位置的測量準確度為設微塵位置的測量準確度為x=10-8m。34111586.6 106.6 10/1010 xxphJ svm smm xkgm比起微塵運動的一般速度（比起微塵運動的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略）是完全可以忽略的，至于質(zhì)量更大的宏觀物體，的，至于質(zhì)量更大的宏觀物體，v就更小了。由此可見，就更小了。由此可見，可以認為宏觀物質(zhì)同時具有確定的位置和動量，因而服可以認為宏觀物質(zhì)同時具有確定的位置和動量，因而服從經(jīng)典力學規(guī)則。從經(jīng)典力學規(guī)則。 由測不準關系式得 ：例例求原子、分子中運動的電子的速度不確定度。電子

27、求原子、分子中運動的電子的速度不確定度。電子的質(zhì)量的質(zhì)量m =9.110-31kg，原子的大小為，原子的大小為10-10m。v = h/(xm) =（6.62610-34J.s）/(10-10m9.110-31kg) 106107m.s-1已知電子的運動速度約為106ms-1，即當電子的位置的不確定程度x=10-10m時，其速度的不確定程度已大于電子本身的運動速度。因此，原子、分子中電子的不能用經(jīng)典力學處理。 例例原子大小為原子大小為10-10m，電子位置測量的精確度至少，電子位置測量的精確度至少x=10-10m才有意義。才有意義。x = 10-10m后來發(fā)現(xiàn)的質(zhì)子射線、射線、中子射線、原子射

28、線和分子射線均符合測不準關系式。當今采用的電子顯微鏡，電子衍射、中子衍射測定分子結構的實驗方法都是微粒波動性的具體應用。 質(zhì)量速度速度不確定量某飛行中的子彈m = = 0.01 kgv = = 500 m / / sv = = 0.1 v 某原子中的電子m e = = 9.110 31 kgv e = = 210 6 m / / sv e = = 0.1 v e 試應用不確定關系分別估算下述電子和子彈的位置不確定量根據(jù)位置和動量不確定關系 子 彈0.10.41.110 34(m) 電 子0.10.42.910 10(m)電子的位置不確定量大到與原子的線度數(shù)量級（10 10 m ）同，因此，不可

29、能精確測定電子處在原子中的位置。子彈的位置不確定量比原子的線度還要小許多個數(shù)量級，小到任何精密儀器都無法觀測。因此，對宏觀物體運動的描述，不受位置和動量的不確定關系的限制。 宏觀物體宏觀物體 微觀粒子微觀粒子具有確定的坐標和動量，具有確定的坐標和動量， 沒有確定的坐標和動量，沒有確定的坐標和動量，可用牛頓力學描述?？捎门ｎD力學描述。 需用量子力學描述。需用量子力學描述。 有連續(xù)可測的運動軌道，可有連續(xù)可測的運動軌道，可 有概率分布特性，不可能分辨有概率分布特性，不可能分辨 追蹤各個物體的運動軌跡。追蹤各個物體的運動軌跡。 出各個粒子的軌跡。出各個粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連體系能量可以

30、為任意的、連 能量量子化。能量量子化。續(xù)變化的數(shù)值。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關系無實際意義。不確定度關系無實際意義。 遵循不確定度關系。遵循不確定度關系。微觀粒子和宏觀物體的特性對比微觀粒子和宏觀物體的特性對比 但它不是經(jīng)典粒子：不能用但它不是經(jīng)典粒子：不能用( )確定粒子狀確定粒子狀態(tài)，沒有軌道概念；態(tài)，沒有軌道概念；pr, 也不是經(jīng)典波：拋棄了物理量在空間周期性也不是經(jīng)典波：拋棄了物理量在空間周期性分布的概念，但具有波動的相干疊加性。分布的概念，但具有波動的相干疊加性。兩者統(tǒng)一于兩者統(tǒng)一于 Bohn 的幾率波概念中。的幾率波概念中。一、微觀粒子具有波粒二象性一、微觀粒子具有波粒二象性 3.3

31、 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義、幾率波幾率波 (1)幾率波 分析電子的雙縫衍射實驗發(fā)現(xiàn)，衍射圖樣與發(fā)射電子流強度無關。且多個電子一次行為與一個電子的多次行為結果相同。 多個電子的一次行為 干涉圖樣明條紋暗條紋“粒子”觀點到達電子多少“波動”觀點波強度大小結論：到達屏某處電子數(shù)正比于波強度。結論：到達屏某處電子數(shù)正比于波強度。 若總發(fā)射電子數(shù)為若總發(fā)射電子數(shù)為M，到達某處的電子數(shù)為，到達某處的電子數(shù)為N，則到達某處的電子幾率為，則到達某處的電子幾率為N/ M單個電子的多次行為單個電子的多次行為結論：這種波是一種幾率波結論：這種波是一種幾率波“波動波動”觀點觀點波強度大波強度大小小“粒子粒

32、子”觀點觀點發(fā)現(xiàn)電子幾率大發(fā)現(xiàn)電子幾率大小小干涉圖樣干涉圖樣明條紋明條紋暗條紋暗條紋兩者統(tǒng)一于兩者統(tǒng)一于 Bohn 的幾率波概念中。的幾率波概念中。 物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。19261926年玻恩提出波年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個假設得幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個假設得到散射實驗的支持，取得了人們認可，玻恩因此獲得到散射實驗的支持，取得了人們認可，玻恩因此獲得19541954年諾貝爾物理獎。年諾貝爾物理獎。回顧：

33、德布羅意關于物質(zhì)的波粒二象性假設速度為質(zhì)量為的自由粒子一方面可用 能量 和 動量 來描述它的粒子性另一方面可用 頻率 和 波長 來描述它的波動性1. 波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識。觀客體的全部知識。下面從量子力學的基本觀點出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。二二. . 假設假設 波函數(shù)波函數(shù) 在量子力學中用復數(shù)表達式：應用歐拉公式取實部 應用德布羅意公式即即即的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運動 在波動學中，描述波

34、動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程沿 方向勻速直線運動的自由粒子的波函數(shù)為續(xù)上在量子力學中用復數(shù)表達式：應用歐拉公式取實部 應用德布羅意公式即即即沿 方向勻速直線運動的自由粒子的波函數(shù)為的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運動 在波動學中，描述波動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程自由粒子的波函數(shù) 自由粒子的能量和動量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動

35、狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是微觀客體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學的一個基本假設量子力學的一個基本假設。2、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 設描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則 空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復數(shù)德布羅意波又稱 概率波概率波波函數(shù)又稱 概率幅概率幅取比例系數(shù)為1，即1926 年提出了對 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋Born因概率密度故在 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 在波函數(shù)存在的全部空間 V 中必能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現(xiàn)的概率為1。此條件稱為 波函數(shù)的

36、歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質(zhì)應具備三個標準條件：波函數(shù)的三個標準條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件符合不符合不符合不符合某粒子的波函數(shù)為歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置令求積分得：積分得：得得 到到 歸歸 一一 化化 波波 函函 數(shù)數(shù) ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標坐標解得解得另外兩個解另外兩個解處題設處題設處處最大F uvF232

37、2( )1( )2111( )3211( )2222f xxxdAf xxAdxBf xxxxcBdxxxCf xC22212( , )( ),2121( , )22nEitnnnnitnnnntN eHeHitnnHN H et 本征方程本征方程AA本征值本征值本征值波函數(shù)本征值波函數(shù)力學量算符力學量算符例如：諧振子例如：諧振子60三.態(tài)疊加原理假設II 若若 1 1, , 2, n為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得 的也是該的也是該體系可能存在的狀態(tài)，即體系可能存在的狀態(tài)，即 1122iinnicccc式中式中c c1 1, ,c2,

38、cn為線性組合常數(shù)，為線性組合常數(shù)， 狀態(tài)中各個狀態(tài)中各個 i出現(xiàn)的幾率為出現(xiàn)的幾率為| |ci| |2 2 。*22A()A() A iiijjijijiiiijiiiadccdc cdc adc a 顯然，體系在狀態(tài) 時，平均值 是 的權重平均值。 aia由非本征態(tài)力學量的平均值公式可得微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)完全來描述微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)完全來描述考慮電子雙縫干涉考慮電子雙縫干涉 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是電子的可能狀態(tài)。也是電子的可能狀態(tài)。 l空間找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+

39、C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2電子源電子源感感光光屏屏電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度相干項相干項 正是由于相干項的正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生

40、了干出現(xiàn)，才產(chǎn)生了干涉花紋。涉花紋。一個電子有一個電子有 1 1 和和 2 2 兩種可能的狀態(tài)，兩種可能的狀態(tài)， 是是這兩種狀態(tài)的疊加。這兩種狀態(tài)的疊加。 上式中的后兩項代表相干項，顯示出波動性。所以微觀上式中的后兩項代表相干項，顯示出波動性。所以微觀世界的統(tǒng)計規(guī)律是幾率幅相加律世界的統(tǒng)計規(guī)律是幾率幅相加律( (不是經(jīng)典幾率直接相加不是經(jīng)典幾率直接相加) )。物理學大師費曼把幾率幅疊加稱為物理學大師費曼把幾率幅疊加稱為“量子力學的第一原量子力學的第一原理理”。他這樣寫到。他這樣寫到“如果一個事件可能有幾種方式實現(xiàn)，如果一個事件可能有幾種方式實現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單獨實現(xiàn)的幾率幅之和，于

41、是則該事件的幾率幅就是各種單獨實現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉出現(xiàn)了干涉”。顯示了波動性。顯示了波動性。 波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導致了干涉、衍射所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導致了干涉、衍射的波動性。的波動性。 態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)1是系統(tǒng)的一個可是系統(tǒng)的一個可能態(tài)，能態(tài)， 2也是系統(tǒng)的另一個可能態(tài)，那么也是系統(tǒng)的另一個可能態(tài)，那么c1c11+c2 2 也也是系統(tǒng)的可能態(tài)是系統(tǒng)的可能態(tài)。這個態(tài)既不完全是。這個態(tài)既不完全是1 ，也不完全是態(tài)，也不

42、完全是態(tài)2 。而是它們各占幾率為。而是它們各占幾率為| |c c1 1| |2 2| |c c2 2 | |2 2的混合態(tài)。這種混的混合態(tài)。這種混合態(tài)導致了量子干涉效應。也導致了在疊加態(tài)下測量結果合態(tài)導致了量子干涉效應。也導致了在疊加態(tài)下測量結果的不確定性。的不確定性。德布羅意波（概率波）不同于 經(jīng)典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經(jīng) 典 波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值。 因此，將波函數(shù)在空間各點的

43、振幅同時增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。 因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大 C倍，則個處的能流密度增大 C 倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。，直接疊加就可以了。是確定的，比如對位置合成，所得力學量經(jīng)典波的疊加導致波的須滿足線性方程。必性關系，所以表示。因為疊加滿足線的態(tài)用是隨時間變化的，完全一般),(),(trtr的不確定性。疊加導致了觀測結果但如前所述，波函數(shù)的的疊加波函數(shù)的疊加與經(jīng)典波例例 根據(jù)不確定關系估計氫原子的玻爾半徑和基態(tài)能量值。根據(jù)不確定關系估計氫原子的玻爾半徑和基

44、態(tài)能量值。解：設氫原子的電子在解：設氫原子的電子在 其原子半徑其原子半徑 r 范圍內(nèi)運動，即范圍內(nèi)運動，即 x r。根據(jù)不確定關系：根據(jù)不確定關系：p x = h - - p = h / x = h / r- - - 基態(tài)氫原子呈對稱性，即基態(tài)氫原子呈對稱性，即 動量平均值動量平均值 p = 0- - p = p - p = p - 0 = p - - 電子動能為電子動能為：EK = p2 / 2me = h2 / 2me r2- - 電子勢能為電子勢能為：EP = - e2 /4 o rEK = h2 / 2me r2 , EP = - e2 /4 o r- -基態(tài)能量為基態(tài)能量為 E 的極

45、小值的極小值 , 即：即： 電子總能量電子總能量：E = h2 / 2me r2 - e2 /4 o r- - E / r = - h2 / me r3 + e2 /4 o r2 = 0- - = 0.529 A o= - 13.6 eV 基態(tài)能量基態(tài)能量：Eo = h2 / 2me ro2 - e2 /4 o ro- -= - h2 / 2me ro2- - 玻爾半徑：玻爾半徑：re = 4h2 o / me e2 = o h2 / me e2 - - -1.力學量算符的引出如何在坐標表象的態(tài)函數(shù) 中求粒子的動量px的平均值。式中的px(x)是在坐標取值的動量值。海森伯不確定關系指出這是不可

46、能的， px(x)是沒有意義的。我們必須引入動量(表象)波函數(shù) 是粒子動量在p pdp間隔內(nèi)的幾率，那么動量的平均值方可寫成*( )( ) ( )xxpx pxx dxyy+ - =*( )( )pp pp dpff+ - =)(xdppp2| )(|),( 3.4 力學量算符及其力學量算符及其 本正值本正值 但又出現(xiàn)了一個問題，如果物理量既含動量又含坐標，如能量E=p2/2m+V(x) ，又如何求能量的平均值呢?所以我們必須給出一個更一般的表達式。其實(x) 和(px)之間有一種變換關系傅立葉變換，即 2)()(2)()(/dxexpdpepxhxipxxhxipxxx這樣dxdppepxp

47、dppdxexpdppppxxhxipxxxxhxpixxxxxxx2)()(*)()(2)()()()(*/*/（1）dxxxixdxdpepxixdxdppexixxhxipxxxhxipxx)()(*2)()(*2)()(*/(2)在推導（2）式時，利用了如下算符作用關系：hxipxhxipxxepexi/ （2）式指出，如果把動量px改換成算符形式 ，那么用坐標表象的波函數(shù) (x) ，也可求動量的平均值。上推導還給出動量算符px的本征值方程式:xi hxipxhxipxxepexi/ 2. 力學量算符及本征值方程 量子力學與經(jīng)典力學相比有兩個顯著的區(qū)別，一個是專門引入態(tài)函數(shù)(波函數(shù))描

48、述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力學量。在坐標表象中即在 (x) 中求動量的平均值,須把px換成算符形式 ,記為 ,xi xipxzippyippxxyy ip p22222mTmpEk類似的動量的算符是動能的算符是 在坐標表象中，凡x函數(shù)的力學量，其算符就是本身。如勢能V(x)的算符就是V(x) 。這樣總能量(動能加勢能)的算符是(r)VmH 222 在經(jīng)典力學中，由位置矢量和動量可組合成其他力學量，如角動量力學量L=rp。在量子力學里，相應的角動量算符是r)(rp rLii在直角坐標系中)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 在球坐標系

49、(r,) 中，借助于直角坐標和球坐標之間的如下關系（見下圖）xyrzrzryzyxrrxtancoscossinsincossin2222不難給出角動量各分量表達式iLiLiLzyx)sincot(cos)coscot(sin角動量平方算符在球坐標系的表示是22222222sin1sinsin1zyxLLLL 力學量算符有一個重要的性質(zhì)，即代表力學量的兩個算符的乘積一般是不對易的。用符號 的對易關系，若 兩個算符對易，即滿足交換率；若 ，兩個算符不對易。很容易證明FGGFFGFG,表示0,FG0,FG0,yxzxzyzyxpzpzpypypxpxipzpypx 利用上關系式和角動量直角坐標分量

50、算符的表達式,也不難證明0, 0,22 zyxzxzyzyxLLLLiLLLiLLLiLL例如L 在數(shù)學上,算符 的一般定義是,當它作用倒一個函數(shù)f上后,可以把f映射為另一個函數(shù)g,即 當函數(shù)f與g只差一個常數(shù)時,即 ,該方程稱函數(shù)f的本征方程，f稱本征函數(shù),一組數(shù) 稱本征值。例如能量的本征方程是角動量平方算符的本征方程是角動量 沿z方向的分量算符 的本征方程是自旋角動量的本征方程是gfffnnnEH),()(),(),(lllYllaYYL221 L iLz)()(mi21121212 zSS 薛定諤方程是量子力學的基本動力學方程，它在量子力學中的地位和作用相當于牛頓力學中的牛頓方程，電磁學

51、中的麥克斯韋方程，它描述了量子系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律。下面用一種直觀的方法引出薛定諤方程。 考察質(zhì)量為m，動量為p，能量為E=p2/2m的自由粒子的一維運動，它對應的德布羅意波是波矢為k圓頻率為 的平面波，即式中的k=2/,=2r按照德布羅意關系式=h/p和關系式E=h ,自由運動的粒子的動量pn和能量E與平波面波矢k和圓頻率有如下關系)(),(tkxioetxhEkhpx一、自由粒子的薛定諤方程 3.5 薛定諤方程薛定諤方程于是德布羅意平面波可改寫為/ )(),(Etxpioxetx 這個德布羅意波函數(shù)就是描述具有確定能量和動量的自由粒子運動的態(tài)函數(shù)。不難看出，若要從這個態(tài)函數(shù)中提取粒子的動能，

52、動量信息，則必須用時間和空間坐標的微分算符作用其上方可給出，即xpxiEti對于非相對論自由粒子能量動量關系式mkmpEx2222）（或 也可以通過如下算符作用在波函數(shù) 上得到),(),(txxmtxti2222 該式就是自由粒子一維運動的波方程,將其推廣到三維情況,E=p2/2m波動方程是),(),(tmttir2r22 2222222zyx式中 是拉普拉斯算符.如果粒子在勢場V(r,t)中作三維運動,粒子的總能量是)( ,tVmpEr22 )(t , x二、含時薛定諤方程 稱哈密頓算符，該式就是薛定諤方程，該方程是線性齊次方程，因而它保證了波函數(shù) (即態(tài)函數(shù))的疊加性。相應的波方程應該是)

53、,(),(),(),(tHttVmttirrr2r22 H式中如果勢場不顯含時間t ,即V=V(r),那么薛定諤方程成為),()(),(tVmttirr2r22 仔細觀察上式兩邊，不難發(fā)現(xiàn)方程的左邊只含對時間微商的運算，右邊只涉及對空間微商的運算，故可取分離變量式，即 )()(),(tftrr三、定態(tài)及定態(tài)薛定諤方程并將其代人上式后,得到如下等式EVmdttdftfi )()()()()(rr2r12 式中E是既不依賴時間又不依賴空間坐標的常量(能量)。由上式分離出)()(tEftfti它的解是/)(iEtoeftf/)(),(iEtetrr因此波函數(shù)具有形式（定態(tài)波函數(shù)）其中波函數(shù)的空間部分

54、滿足EHEVm )()()(或rrr22式中)(r222VmH 稱定態(tài)薛定諤方程 一般說來該方程不是對任意的E(能量)值才有解，只對一系列特定、分立值才有解，故這些特定的E值可以用整數(shù)n編序成En，表明能量是量子化的?？梢娔芰苛孔踊匀惶N含在薛定諤方程中。方程 正是能量本征方程。En是系統(tǒng)的一切可能的能量本征值，即常稱的能級。n是本征值En對應的本征函數(shù)或本征態(tài)。力學量能量用哈密頓算符表示；哈密頓算符有本征方程，通過求解該方程給出力學系統(tǒng)的一切可能的能量本征值及對應的本征函數(shù)，這是量子力學的基本假設。求解能量本征方程是量子力學最主要的任務。nnnEH由粒子運動實際情況正確寫出勢函數(shù)V(x)代入

55、定態(tài)薛定諤方程解方程解出能量本征值和相應的本征函數(shù)求出概率密度分布及其他力學量量子力學解題的一般思路自由粒子方勢阱0)(xV方勢阱0)(xV)(xV0)(xV無限深方勢阱)(xV幾種勢函數(shù))(xV方勢阱0)(xV)(xV方勢阱是實際情況的極端化和簡化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢阱金屬中的電子例如勢壘)(xV梯形勢散射問題)(xV勢壘隧道貫穿)(xV)(xV其他形式超晶格諧振子a金屬V(x)V=V0V=V0EV=0 x極限V=0EVVV(x)x0a 無限深方勢阱(potential well)1、一維無限深方形勢阱 分立譜V=0EVVV(x)x0a特點：粒子在勢阱內(nèi)受力為零勢能為零在阱內(nèi)自由運動在阱

56、外勢能為無窮大在阱壁上受極大的斥力 不能到阱外例：一個粒子在如圖所示的勢場中運動，它的勢能為 這種勢場稱為一維無限深勢阱。在一維無限深勢阱中粒子如何運動？它的波函數(shù)如何？能量如何？ 0)(xUaxxax,00 勢函數(shù)粒子在阱內(nèi)自由運動不能到阱外(1)薛定諤方程和波函數(shù))(xV0(x)ax阱外a0)(xVx00)(xV阱內(nèi) )(ax0哈密頓量)(2222xVxmHdd定態(tài)薛定諤方程阱外：)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱內(nèi)：a0)(xVx0根據(jù)波函數(shù)有限的條件阱外0,0)(2xaxx1)阱外分區(qū)求通解)()(222222xExxmdd)()(dd2222xEx

57、xm令222mEk 2)阱內(nèi)0)()(2 xkx(為了方便將波函數(shù)腳標去掉)將方程寫成通解kxBkxAxsincos)(式中 A 和 B 是待定常數(shù)由波函數(shù)標準條件和邊界條件定特解通解是0A0)0()0(02處處xkxBxsin)(0sinkaB0)()(2aaax處處解的形式kxBkxAxsincos)(解的形式為能量取值)0(knka), 3 , 2 , 1(nank0sinkaB0BA已經(jīng)為零了 B不能再為零了即), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn222nmEk 222an只能 ka 等于零要求故能量可能值但由上式1 )每個可能的值叫能量本征值 2 )束縛態(tài) 粒子能量取值分立

58、 (能級概念) 能量量子化 3 )最低能量不為零-波粒二象性的必然結果 因為靜止的波是不存在的。 4 )當n 趨于無窮時,能量趨于連續(xù) 5 )通常表達式寫為討論, 2 , 122222nnmLEnL-阱寬), 3 , 2 , 1(22222nnmaEn本征函數(shù)系由歸一性質(zhì) 定常數(shù) B1xxxad )()(*01sin022axkxBdaB2得本征函數(shù)這組函數(shù)構成本征函數(shù)系。), 3 , 2 , 1(sin2)(.nxanaxn考慮到振動因子tEine（駐波解）tnEinnex)(定態(tài)波函數(shù)), 3 , 2 , 1(sin2 nexanatnEi概率密度*nnnnnP, 2 , 1sin22nx

59、ana本征能量和本征函數(shù)的可能取值nnnPEn32122212maExaasin21axaPsin221124EE xaaPxaa2sin22sin2222xaaPxaa3sin23sin2233139EE (2)小結：xanansin2,2, 1sin22nxanaPn22222nmaEn一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度 x4 x3 x2 x1 4E3E2E1E)(xoa 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a n時，量子經(jīng)典符合玻爾對應原理|2n|an很大En0平均效應明顯2. 隧道效應我們考慮粒子在勢能為的方勢壘中的運動，

60、勢能曲線如下圖所示。axUaxxxUo 000,)( 粒子通過一維方勢壘的運動是一般散射問題的基礎。所謂散射問題是指一定動量p和一定能量E的粒子經(jīng)過勢場，在勢場力作用下偏離原入射方向，被散射在各個方向上。粒子被一維方勢壘的散射，只出現(xiàn)在兩個方向上透射和反射方向。一維散射問題歸結為求粒子經(jīng)方勢壘后的透射系數(shù)|t|2和反射系數(shù)|r|2 。它們分別定義為粒子的透射幾率流密度J透與入射幾率流密度J入之比,反射幾率流密度J反與入射幾率流密度J入之比： 假設入射粒子的能量為E，被勢壘散射后能量保持不變，那么可認為體系的狀態(tài)是定態(tài)，幾率流密度僅取決|2,于是問題完全歸結求定態(tài)波函數(shù)上。幾率流密度是粒子幾率密