新高考新結構命題下的概率統(tǒng)計解答題綜合訓練-2025年高中數(shù)學一輪復習

第10講新高考新結構命題下的

概率統(tǒng)計解答題綜合訓練

(9類核心考點精講精練)

考情探究?

在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。

當前的高考試題設計，以''三維"減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：

(1)三考

題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實

際水平。

(2)三重

強調(diào)對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨

特見解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。概率統(tǒng)計版

塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適

中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時

的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。

面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學策略。本文基于新高考新

結構試卷的特點，結合具體的概率統(tǒng)計解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計解答題綜合

訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績。

|\?考點梳理?

1

考點8概率統(tǒng)計與數(shù)列雜糠

考點9概率統(tǒng)計與導數(shù)雜裸

考點一、條件概率

1.（2024?江蘇?模擬預測）某設備由相互獨立的甲、乙兩個部件組成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設備停

止運轉(zhuǎn)；若有且只有一個部件出現(xiàn)故障，則設備出現(xiàn)異常.在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為g,

乙部件出現(xiàn)故障的概率為;.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費用為2千元，

在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，甲、乙兩個部件至多各出現(xiàn)一次故障.

（1）試估算一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費用；

（2）求在設備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.

【答案］⑴1.1千元

（2）1

【分析】（1）由題意知，設一個周期內(nèi)檢修費用為X,X取值為0,2,3,5,依次求出相應的概率，再利用期

望公式計算￡（X）,即可得到答案；

（2）由條件概率公式即可得到結果.

【詳解】（1）一個周期內(nèi)檢修費用X的所有可能取值為0,2,3,5

2

尸（X=3）=衿

3131

，一個周期內(nèi)的平均檢修費用E（X）=0x）+2x5+3x萬+5x切=1.1千元.

（2）記設備出現(xiàn)異常為事件A,甲部件出現(xiàn)故障為事件B

、7P（/）-52020?r20

，尸（劇⑷=呼=］

2.（2024?遼寧?一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于［15,25］之間，現(xiàn)對

植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.

1頻率/組距

0.150r------------1—I

晨二匚L

0.0751——一

dm11.

O\151719212325高度/cm

（1）求。的值；

（2）以頻率估計概率，完成下列問題.

⑺若從所有花卉中隨機抽4株，記高度在［19,21）內(nèi)的株數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望E（X）；

㈤若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的條件下，至多1株高度低于23cm的概率.

【答案】⑴0025

（2）⑺分布列見解析,E（X）=1；（萬）

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；

（2）⑺依題意可得X~3（4,0.25）,根據(jù)二項分布的概率公式求出分布列與數(shù)學期望；（/利用條件概率的概

率公式計算可得.

【詳解】（1）依題意可得（0.05+0.075+0+0.15+0.1）x2=1,解得°=0」25；

（2）⑺由（1）可得高度在［19,21）的頻率為0.125x2=0.25,

所以X~3（4,0.25）,

所以P（X=°）=G［=**=

3

尸(X=2)=C；

P(X=4)=C：

所以X的分布列為:

X01234

81272731

p

2566412864256

所以E（X）=4x：=l；

㈤在歐陽花卉中隨機抽取3株，記至少有2株高度在［21,25］為事件”,

至多1株高度低于23cm為事件N,

13

尸(MH)=125=26

所以「（N|M）=

P(M)—1-125

2

3.（2022?全國?高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為

良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾

病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

⑴能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好"，8表示事件"選到的人患有該疾

病”.的與言的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為兄

尸(/!B)P(A\B)

證明:

(i)P(A|B)'P(A|B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（川3）/（川方）的估計值，并利用（i）的結果給出R的估計值.

附K2="(4-6c)2

(〃+6)(c+d)(4+c)(6+4)

4

P(K2>k'0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患

該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)

(i)結合已知數(shù)據(jù)求R.

【詳解】⑴由已知力=—〃(——=200(40x90-60x10)；24

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

⑵⑴因為公空⑷.迪立絲竺1.3.必.0

P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以”還3.誦0

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以尺=嗎&

P(A\B)P(A|B)

(ii)

由己知尸(圖8)=^，p(/舊)=需，

-60--90

又尸(4|3)=——尸(m5)=——

100100

P(A\B)P(A\B)_

所以&=6

P(A\B)P(A|B)

4.(2024?廣東佛山?三模)隨著春季學期開學，某市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣

校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以"小餐桌"帶動"大文明"，同時踐行綠色發(fā)展理念.該

市某中學有A,B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在

學校就餐，近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下:

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(4，)(40(民⑷(瓦2)

王同學9天6天12天3天

張老師

6天6天6天12天

5

假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

⑴估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

⑵記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（x）；

⑶假設M表示事件2餐廳推出優(yōu)惠套餐"，N表示事件"某學生去A餐廳就餐”，尸（“）＞0,已知推出優(yōu)惠

套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：

P（Mw）＞尸伸忖）.

【答案】⑴0.6

（2）分布列見解析，E（X）=1.9

⑶證明見解析

【分析】（1）運用古典概型求概率即可.

（2）根據(jù)已知條件計算簡單離散型隨機變量的分布列及期望.

（3）運用條件概率及概率加法公式計算可證明結果.

【詳解】（1）設事件C為"一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，

因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

所以尸（0=而=0.6.

（2）由題意知，王同學午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3,

王同學午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1,

張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2,

張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4,

記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2,

所以*萬=1)=0.3*0.2+0.1義0.4=0.1,P(X=2)=l-P(X=l)=0.9,

所以X的分布列為

0nn

Enn

所以X的數(shù)學期望￡（X）=lxO.l+2xO.9=1.9

（3）證明：由題知P（NM）＞尸（NMB

、P（NM）P（N）-P（NM）

所以P（Af）〉尸（，）——1-P（A/）一

所以P(NM)>P(N).P(M),

所以P（JW）-P（N）尸（2W）＞尸（N＞P（M）-P（N）尸（2W）,

即：P（NM）-P（N）＞P（N）-P（NM）,

6

P（NM）P（NM］

所以

即尸仲W）.

5.（2024?河南駐馬店?二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售

情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

（1）求”的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表）；

⑵以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的天數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學期望；

⑶為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有42兩個盒

子，其中A盒中放有9張金卡"張銀卡，3盒中放有2張金卡、8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇

其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次

抽獎，中途可更換盒子），卡片結果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同,

求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.

【答案】（1）。=0.004,150

4

（2）分布列見解析，《

【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得。值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計算即得;

（2）理解題意，判斷分別計算X的所有可能指的概率，列出分布列，計算數(shù)學期望即得;

（3）根據(jù)條件概率的計算公式可求該概率.

【詳解】(1)依題意得(0.001+0.002+0.003+2。+0.006)x50=L

解得°=0.004.

所求平均數(shù)為25X0.1+75X0.15+125X0.2+175X0.3+225X0.2+275X0.05=150.

（2）因汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的概率為0.004x50=0.2=1,

7

在所有工作日中隨機選擇4天，相當于一個4重伯努利試驗，

貝l|P（X=O）=C：xP（X=1）=C；

P（^=3）=C：xWx|=16

尸（X=2）=C；

625

⑶設y為“小明在首次抽獎抽出銀卡",則尸⑺!青g**,

設J為"小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡"，

1121897437

貝iJP（X7）=—X——X-------F—x——x一

2101021010200100

故網(wǎng)〃￥)=給=37

38,

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應用，屬于較難題.

解題關鍵在于根據(jù)題設條件，確定伯努利概型并進行計算，設出相應的事件，正確理解題意，利用條件概

率公式計算.

考點二、全概率公式與貝葉斯公式

1.(2023?河南?三模)某學校安排甲、乙、丙三個班級同時到學校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術生占比

8%,乙班藝術生占比6%,丙班藝術生占比5%.學生自由選擇座位，先到者先選.甲、乙、丙三個班人數(shù)

分別占總人數(shù)的;，g，若主持人隨機從場下學生中選一人參與互動.

(1)求選到的學生是藝術生的概率；

(2)如果選到的學生是藝術生，判斷其來自哪個班的可能性最大.

73

【答案】⑴函

(2)來自丙班的可能性最大

【分析】(1)依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計算即可；

(2)根據(jù)條件概率公式分別計算，即可判斷.

【詳解】(1)設3="任選一名學生恰好是藝術生”，

8

4=”所選學生來自甲班"，4="所選學生來自乙班”，

4="所選學生來自丙班由題可知：

P⑷=：，P（4）=；，尸（4）=3，

9Q1

W回4）=石，尸（而4）=石，尸（而4）=3

P（B）=尸⑷尸（回4）+尸⑷尸（對4）+P⑷尸（如4）

12

—x——

尸(40p⑷尸(川4)24

（2）尸（蜀B）=_425

P(B)P(B)'_73_飛3

1200

13

X

尸（出）尸（冽4）350=24

尸（匈B）=。(9)

P(B)P（B）73~73

1200

51

py?/（AB）P（4"（川4）—2025

k3）P（B）P（B），373

1200

所以其來自丙班的可能性最高.

2.（2024福建廈門?模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏

色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.

⑴求摸出的球是黑球的概率；

⑵若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.

【答案】唱

（2）該球取自乙箱的可能性更大

【分析】（1）由條件概率的定義，分別求出從甲箱摸出的球是黑球的概率和從乙箱摸出的球是黑球的概率,

然后由全概率公式，即可得答案.

（2）根據(jù)貝葉斯公式，分別求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比較其大小，即可得到答案.

【詳解】（1）記事件/表示"球取自甲箱"，事件7表示"球取自乙箱"，事件2表示"取得黑球"，

則尸（/）=尸（刁=；,P3/）=|=g,可目刁=|,

由全概率公式得：

P（B）=尸⑷尸國4）+尸⑷尸（,彳）

（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下:

9

該球是取自甲箱的概率(/忸)=閨2l

P0(?4;=n=t,

30

__12

該球取自乙箱的概率尸(平)」([3；")=2nl=n，

30

因為尸(/⑻〈尸(禧)，所以該球取自乙箱的可能性更大.

3.(2024?新疆?二模)某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類

的語言來進行對話.聊天機器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術，在測試它時，如果

輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%,當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率

為50%.

(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以J

表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求《的分布列和數(shù)學期望；

⑵設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為。，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為80%,求。的值.

【答案】(1)分布列見解析，E(f)=T

(2)p=0.25

【分析】(1)求出隨機變量4的所有取值以及每一個值發(fā)生的概率即可得€的分布列，再根據(jù)數(shù)學期望的公

式即可計算得解J的數(shù)學期望.

(2)記"輸入的問題沒有語法錯誤"為事件N,“輸入的問題有語法錯誤"為事件8,"回答被采納"為事件C,

進而由已知以及全概率公式P(C)=P(4)-P(CM)+P⑻-P(C|B)即可求解.

【詳解】(1)由題可知J的所有取值為2,3,4,且4服從超幾何分布，

。("2)=詈=蔡*，P(f=3)=詈=,=右P記=4)=詈=主4，

故4的分布列為：

(2)記"輸入的問題沒有語法錯誤"為事件4記"輸入的問題有語法錯誤"為事件8,記"回答被采納"為事件

C,

由已知得，P(C)=0.8,P(C|/)=0.9,P(C|B)=0.5,P(B)=p,P(4)=l-p,

所以由全概率公式得P(C)=P(Z)?P(C\A)+P(B)?P(C|B)=0.9(1一p)+0.5p=0.9-0.4p=0.8,

解得p=0.25.

4.(23-24高二下?福建南平?階段練習)某運動隊為評估短跑運動員在接力賽中的作用，對運動員進行數(shù)據(jù)

分析.運動員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個位置，統(tǒng)計以往多場比賽，其出場率與

10

出場時比賽獲勝率如下表所示.

比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出場率0.30.20.2.0.3

比賽勝率0.60.80.70.7

⑴當甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率.

⑵當甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.

【答案】⑴0.69

⑵色

23

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得出答案.

（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.

【詳解】（1）記"甲跑第一棒"為事件4,“甲跑第二棒"為事件4，

"甲跑第三棒"為事件4，"甲跑第四棒"為事件4,“運動隊獲勝"為事件8,

則

尸(0=尸(4)尸(8⑷+P(4)尸(8|4)+P(4)尸(冏4)+尸(4)尸(用4)

=0.3x0.6+0.2x0.8+0.2x0.7+0.3x0.7=0.69，

所以當甲出場比賽時，求該運動隊獲勝的概率為0.69；

⑵不⑻二常1尸⑷尸(/4)03x0.66

P(B)0.69~23

所以當甲出場比賽時，在該運動隊獲勝的條件下，甲跑第一棒的概率為義.

5.（2024?遼寧?三模）隨著中國科技的進步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城

市S,生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品X的本地企業(yè)有甲、乙兩個，城市S的高科技產(chǎn)品X的企業(yè)市場占有率和指標T的

優(yōu)秀率如下表：

市場占有率指標T的優(yōu)秀率

企業(yè)甲50%80%

企業(yè)乙30%40%

其它20%40%

（1）從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場中隨機選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標？為優(yōu)秀的概率；

⑵從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場中隨機選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標T為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自

企業(yè)甲的概率；

⑶從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場中依次取出6件指標T為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品

產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機變量J表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求J的分布列和數(shù)學期望.

11

【答案】（1）0.6

⑶分布列見解析，￡倍）=：

【分析】（1）利用全概率公式計算可得；

（2）利用條件概率的概率公式計算可得；

（3）首先求出尸（413）,尸（413）,依題意可得J的可能取值為0、1、2,求出所對應的概率，即可得到

分布列與數(shù)學期望.

【詳解】（1）記事件4、4、4分別為所選產(chǎn)品來自企業(yè)甲、企業(yè)乙、其它，

記事件B表示所選產(chǎn)品的指標T為優(yōu)秀，

則尸（切=尸（4）尸傳14）+尸（4）尸⑷4）+P（4）尸（切4）

=0.5x0.8+0.3x0.4+0.2x0.4=0.6,

即所選產(chǎn)品的指標T為優(yōu)秀的概率0.6.

⑵由⑴可得尸⑷一常二飛叱^

0.6

即若已知所選產(chǎn)品的指標T為優(yōu)秀，則該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率為全2

P(4B)P(A?)P(B)0.3x04￡

(3)由(1)可知尸(4|8)=§,P{A2\B)=

P⑻尸⑻0.65

J；：尸(4)P⑷4)02x0.42

P⑻0.615

依題意J的可能取值為0、1、2,

9

25

所以4的分布列為:

自012

4129

P

252525

41?96

=—+lx—+2x—=-

2525255

6.（2024?安徽?模擬預測）現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1

個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商

品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢

12

驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為:.

⑴求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；

⑵在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；

⑶將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢

驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.

【答案】⑴旻

⑶方案一

【分析】（1）按照條件概率的計算公式即可得出答案；

（2）按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；

（3）由前面的小問得出的結論分別計算兩種方案在二次檢驗抽到合格品的概率，比較大小，從而選擇決策

方案.

【詳解】（1）將首次檢驗選到甲箱記為事件4,選到乙箱記為事件4,首次檢驗抽到合格品記為事件瓦

則首次檢驗抽到合格品的概率

尸（8）=-4）尸（陽4）+尸（4）網(wǎng)8%）=95+卜5=1.

（2）在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率

19

P（A忸）=3-尸（&）尸⑻&）="2

（11>P（B）P（B）1717,

20

（3）將二次檢驗抽到合格品記為事件C.

由上一小問可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率尸（4忸）=\,

則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率尸（4忸）=1-

/\（\\P（CA.B）P（CAB）

P（C?忸）=P（C4?B）+P（C/?*）=-^y4-2^

—尸（42）P（CA}B）P（A2B）P（CA2B）

~P（B）尸（42）P⑻

=尸（4⑻尸（c|48）+尸（4忸）p（c|42）.

從而，在首次檢驗通過，即事件3發(fā)生的條件下：

QO

①若選擇方案一，則尸（c|48）=p（陰4）=m，P{C\A1B）=P{B\A2）=—.

故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率尸（c忸）=\*：+：乂5=3|.

13

所以在方案一下，檢驗通過的概率P(2C)=P(C⑻P(2)=含x，；

OQ

②若選擇方案二,則P(C|43)=尸(冏4)=而，尸(c%5)=尸(a4)=伉.

故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率尸(。同=gx[+gx[=需.

所以在方案二下，檢驗通過的概率尸(8C)=P(C⑻尸(8)=魯x].

1451714417

而x6，故選擇方案一檢驗通過的概率更大?

考點三、二項分布

1.(2024?山東棗莊?模擬預測)在一個袋子中有若干紅球和白球(除顏色外均相同)，袋中紅球數(shù)占總球數(shù)

的比例為。.

(1)若有放回摸球，摸到紅球時停止.在第2次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率；

(2)某同學不知道比例0,為估計。的值，設計了如下兩種方案：

方案一：從袋中進行有放回摸球，摸出紅球或摸球5次停止.

方案二：從袋中進行有放回摸球5次.

分別求兩個方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學期望，并以數(shù)學期望為依據(jù)，分析哪個方案估計。的值更合理.

【答案】⑴1-P

(2)答案見解析

【分析】(1)設事件/="第2次沒有摸到紅球"，事件8="第3次也沒有摸到紅球"，根據(jù)條件概率公式計

算可得；

(2)記"方案一"中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量X表示，X的可能取值為0,；，求出所對應的概率,

即可得到分布列與數(shù)學期望，"方案二"中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量y表示，則5y~8(5，M，由二項分布

的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判斷即可.

【詳解】(1)設事件"="第2次沒有摸到紅球"，事件8="第3次也沒有摸到紅球”，

則P⑷=0_02,P(B)=(l_p)3,

所以叫小制=吐胃…

(2)"方案一"中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量X表示,

則X的可能取值為:0,—,1,

旦尸(X=0)=(l_p『，p[x=g]=(l_p)4p,p[x=：]=(l_p)3p,

p]x=j=(l-p『p,尸[x=；]=(i_0)0,p(x=l)=p,

14

所以X的分布列為:

1j_

X01

5432

P（1-。）5（1-。）4P（I-。外（l-p）pp

貝lj￡（X）=0x（l_p）5+gx（l_M4pVI《I—/'p—*i-6p+ixj

（-。）4。+Q-p￥P+（-。）22+（1一2）。+

5432p

"方案二"中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機變量y表示，因為5F~3（5,p）,

所以5y的分布列為：P（5/=左）=C：/（1一pt』上=0,1,2,3,4,5,

即￥的分布列為：

￡234

Y01

5555

P（1R5（1-0）"10（1-0”10（1-0）35（1-0爐pS

所以E（5Y）=5p,則E（y）=p,

因為￡（X）＞0,E（Y）=p,所以“方案二”估計。的值更合理.

2.（2024?安徽?模擬預測）某學校組織一場由老師與學生進行的智力問題比賽，最終由小明同學和唐老師入

圍決賽，決賽規(guī)則如下：

①學生：回答〃個問題，每個問題小明回答正確的概率均為g;若小明回答錯誤，可以行使學生權益，即

可以進行場外求助，由場外同學小亮幫助答題，且小亮每個問題回答正確的概率均為。

②教師：回答〃個問題，每個問題唐老師回答正確的概率均為5.

假設每道題H答對與否相互獨立，最終答對題H多的一方獲勝.

⑴若幾=3,p=',記小明同學答對問題（含場外求助答對題數(shù)）的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學期望:

（2）若〃=2,且小明同學獲勝的概率不小于言，求°的最小值.

21

【答案】（1）分布列見解析，三；

嗎■

【分析】（1）求出小明答每個問題，回答正確的概率，再利用二項分布求出分布列及期望.

（2）求出小明答對1個、2個試題的概率，唐老師答對0個、1個試題的概率，再把小明獲勝的事件分拆

成互斥事件的和，即可求出概率.

【詳解】（1）小明同學答每個問題，回答正確的概率P=1;+1K7=^7,

15

X的所有可能取值為0,1,2,3,顯然X-8

3R27,37_189

則尸(X=0)=(mf=P(X=1)=C；(m)29

100010~1000

、3_441,7R343

P(X=2)=C^~，尸(X=3)=C心>=

-10001000

則X的分布列為

X0123

27189441343

p

1000100010001000

721

數(shù)學期望￡(入)=3、二=

(2)記事件4為小明同學答對了％道題，事件與為唐老師答對了/道題，2=1,2,

其中小明同學答對某道題的概率為<+(p=〈(l+p),答錯某道題的概率為:(1-P),

則尸⑷=C；[(1+M='(1—0j,P4)=N+p)]2=:(1+而2,

222N4

1

尸?)=(』2=J_P(S)=C,

°39172339

所以小明同學獲勝的概率為尸(4紇+44+4芻)=尸(4篤)+玖出4)+尸(4線)

=-(1-^2)--+-(1+^)2--+-(1+^)2--=—(3p2+10^+7)>—,解得,

294949361442

所以。的最小值為

2

3.(2024?河北?三模)某學校的數(shù)學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有;的學生喜歡

滑雪運動.從這些被調(diào)研的學生中隨機抽取3人進行調(diào)查，假設每個學生被選到的可能性相等.

(1)記X表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求X的數(shù)學期望.

(2)若該數(shù)學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談.抽選規(guī)則如下：在全校學

生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結束抽選活動；如果該學生不

喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結束抽選活動.并且規(guī)定抽

取的次數(shù)不超過"(〃eN*)次，其中〃小于當次調(diào)查的總人數(shù).設在抽選活動結束時，抽到不喜歡滑雪運動

的學生的人數(shù)為丫，求抽到丫名學生不喜歡滑雪運動的概率.

3

【答案】(1)E(X)="

'3k

-^,Q<k<n-\

16

【分析】（1）由題意X服從二項分布，由二項分布期望公式直接可得解；

（2）由題意可知，丫=碎＜"）時，前左次取到是不愛好滑雪的人，第左+1次取到愛好滑雪得的人（左+14"）,

利用獨立事件的乘法公式求解，當左=〃時，取到的所以人都不愛好滑雪，活動結束.

【詳解】（1）由題意，X~B

3-kk

尸(X=Q=C，1一;

(左=0,1,2,3)，

13

E(X)=np=3'x—=—

（2）由題意，y的可能取值為0,123,…

13

p(y=0)=1,P(Y=1)=1x—=一

I416

21

p(y=2)=1i_；小尸1X4

X—二I4-4

44

L

1

P(Y=x

I4

3

P(Y=n)=

綜上,

4.（2024?北京西城?三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；

新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無

錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、

廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.

（1）從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；

（2）從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機

變量X的分布列和期望；

⑶從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量/表示新一線城市的數(shù)量，比較E

（X）與￡（丫）的大小關系.（直接寫出結果）

【答案】⑴（2

⑵分布列見解析，|9

⑶￡（x）=￡（y）

【分析】（1）根據(jù)古典概型直接求概率;

17

（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對應的概率，得到分布列和期望;

（3）運用二項分布期望公式求得￡（￥）,即可得到二者相等.

【詳解】（1）10個超大城市中包含4個一線城市,

所以從io個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為54=（2

（2）10個超大城市中包含6個新一線城市,

X所有可能的取值為：0』,2,3.

3x2

尸(X=0)=*c°c=4—i；P(X=1)=c^C^=363

12030C：

Jo10120101

C2cl60ic3C°201

P(X=2)=-^-；P(X=3)=^4^=

1202C3120-6

Jo10

所以X的分布列為:

X0123

13j_J_

p

30io26

13119

￡(X)=0x——+lx——+2x—+3x—=—

3010265

(3)E(X)=E(Y)

理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市,

隨機變量￥~80,5[,￡*)=3x指6=：9,所以頤x）=E（y）.

5.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為工，乙射擊一

2

2

次命中的概率為比賽共進行〃輪次，且每次射擊結果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊〃次,

每次命中得2分，未命中得。分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若

本次未命中，則得。分，并終止射擊.

⑴設甲同學在方案一中射擊〃輪次總得分為隨機變量是X“,求￡（及。）；

（2）甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定N的最小值，使得當“NN時，甲的總得分期望

大于乙.

【答案］⑴20

(2)12

V

【分析】（］）由已知設z〃二^,則z“服從二項分布，根據(jù)二項分布期望的公式和期望的性質(zhì)求解即可;

（2）設乙同學的總得分為隨機變量工,寫出工的所有可能取值，并計算相應的概率，并求解￡（匕），利用

設戶（"）=E（X.）-E（Z）＞0,求解N的最小值即可.

18

【詳解】⑴設2"=手，故Z

所以E（X“）=2E（Z"）=",

故研工。）=20；

（2）由（1）知E（X“）=〃，

設乙同學的總得分為隨機變量工，工的所有可能取值為0,6,12,L,6”,

171

所以尸億=0）=5,尸化=6）=§X§,L,

尸化=6左）=?W，L,尸化=6"-6）fxg,

所以E億）=x；+6〃x

+（H-1）X

即［=614|j-3（?-l）xf-|j，代入￡化）,

故￡（%）=12-12xq]-6（n-l）x^+6〃xg]=12-8x^,

設小〃）=E（X“）-E（Z）=〃+8{￡|-12.

易知,當“212時，F(xiàn)（n）＞0,且尸（U）vO,

則滿足題意的N最小為12.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查概率的綜合問題，方案一利用二項分布求期望，方案二的期望表達式

與數(shù)列知識結合，通過變形轉(zhuǎn)化為錯位相減法求和問題，再利用作差法求解.

6.（2024?河南駐馬店?二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售

情況進行統(tǒng)計，如圖所示.

19

⑴求“的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表）；

（2）以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的天數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學期望；

⑶為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有42兩個盒

子，其中A盒中放有9張金卡、1張銀卡，B盒中放有2張金卡、8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇

其中一個盒子進行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進行下次

抽獎，中途可更換盒子），卡片結果的排列對應相應的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同,

求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.

【答案】（1）。=0.004,150

4

⑵分布列見解析，y

,、37

（3）—

38

【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得。值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計算即得;

（2）理解題意，判斷分別計算X的所有可能指的概率，列出分布列，計算數(shù)學期望即得；

（3）根據(jù)條件概率的計算公式可求該概率.

【詳解】(1)依題意得(0.001+0.002+0.003+2。+0.006)x50=1.

解得a=0.004.

所求平均數(shù)為25x0.1+75x0.15+125x0.2+175x0.3+225x0.2+275x0.05-150.

（2）因汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的概率為0.004x50=0.2=1,

在所有工作日中隨機選擇4天，相當于一個4重伯努利試驗，

44

貝1JP(X=0)=C：x1T尸(X=l)=C：

1625

16

尸(X=2)=C；尸(X=3)=C；x

⑸625625

20

⑶設y為“小明在首次抽獎抽出銀卡”，則尸⑺《

設J為"小明第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡”,

11218974_37

則尸⑼=X-X一+—x一x—

210102101020Q--100

故?"丫）=曾37

38'

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項分布以及條件概率公式的應用，屬于較難題.

解題關鍵在于根據(jù)題設條件，確定伯努利概型并進行計算，設出相應的事件，正確理解題意，利用條件概

率公式計算.

考點四、超幾何分布

1.（2024?上海長寧?二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個紅球和3個白球；

⑴從盒子中隨機抽取出1