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1、中學(xué)數(shù)學(xué)矩形的性質(zhì)和判斷寫(xiě)稿子的老師工建兵一教黃南第二學(xué)校楊雪審查宋水景完成測(cè)試點(diǎn)案例分析示例1在圖abc中,ab=6,ac=8,bc=10,p是邊bc的上一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)p與點(diǎn)b,c不匹配),peab是點(diǎn)e,pfac是點(diǎn)f將am的長(zhǎng)度設(shè)定為x,并嘗試x的最小值。探索想法:根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理,abc是直角三角形,四邊形aepf是矩形,因此在am=ef=ap,rtabc中,使用ap求出x的最小值。答案:ap連接,ab=6,ac=8,bc=10,ab2 ac2=36 64=100,bc2=100,ab2 ac2=評(píng)論:這個(gè)問(wèn)題測(cè)試垂直線(xiàn)部分的最短、三角形區(qū)域、畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理、矩形的判
2、定等的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出ap的最小值和am和ap的個(gè)數(shù)關(guān)系。案例2請(qǐng)看以下小明學(xué)生完成的一個(gè)證明問(wèn)題的想法:圖1,在已知abc中,ab=ac,cdab,垂直腳為d,p是bc邊上的任意點(diǎn),peab,pfac,垂直腳為e,f。認(rèn)證:pe pf=cd。證明想法:圖2,pg/ab將cd傳遞給點(diǎn)g時(shí),正方形pgde為正方形,pe=gd也可以證明pgccfp,pf=cg因此,pe pf=dg gc=dc。在圖3中,如果p是bc延長(zhǎng)線(xiàn)的任意點(diǎn),其他條件不變,則pe、pf與cd有何關(guān)系?完成結(jié)論,完成證明過(guò)程。探索想法:通過(guò)相同的想法,c對(duì)cgpe,使用矩形的性質(zhì)和整個(gè)三角形的特性來(lái)確定pe、pf、cd之間的關(guān)
3、系。答案:結(jié)論:pe-pf=cd。證明:c為點(diǎn)g,pe為ab,cd為ab,cde為deg=egc=90。四邊形cged是矩形。cd=ge,gcab。gcp=b .ab=ac,b=acb。fcp=acb=b=gcp。在pfc和pgc上,f=cgp=90,fcp=gcp,cp=cp,875pfcpgc(pf=pg。pe-pf=pe-pg=ge=cd。注釋?zhuān)和ㄟ^(guò)配置矩形和三角形等,使用矩形和整個(gè)三角形的決定和特性解決了這個(gè)問(wèn)題。解決這種閱讀理解問(wèn)題,關(guān)鍵是為閱讀問(wèn)題提供的問(wèn)題池。示例3圖,在已知的abc中,ab=ac,bad=cad,f是ba延長(zhǎng)線(xiàn)的一點(diǎn),ae將fac,deab除以點(diǎn)e。(1)驗(yàn)證:
4、aebc;(2)驗(yàn)證:四邊形aecd是矩形的。(。(3)獲得bc=6厘米,sae cd=12cm2,ab的長(zhǎng)度。想法導(dǎo)航:(1)首先根據(jù)已知條件獲取adbc,然后根據(jù)ae除以fac獲得ead=90,最后得到aebc;(2)先確定四邊形aecdd是平行四邊形,根據(jù)(3)根據(jù)bc=6cm,cd=3cm,sae cd=12cm2,使用ad=4,畢達(dá)哥拉斯定理求出ac的長(zhǎng)度。答案:(1)證明:ab=ac,bad=cad,adbc,adb=90,ae(2)證明:de 8-ab,ae-bc,-四邊形abde是平行四邊形,ae=bd,bd=cd,-ae(3)解決方案:bc=6cm,cd=3cm,sae cd
5、=12cm2,ad=4,ab=ac=評(píng)論:這個(gè)問(wèn)題測(cè)試了矩形判斷和性質(zhì)的綜合應(yīng)用。使用的知識(shí)點(diǎn)包括平行四邊形的判斷和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、畢達(dá)哥拉斯定理等一般綜合運(yùn)用各種相關(guān)性質(zhì),是高中入學(xué)考試命題的熱點(diǎn)。升級(jí)摘要1.確定矩形:直角平行四邊形是矩形。對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形。有3個(gè)直角四邊形的是矩形。對(duì)角線(xiàn)相等,相互平分的四邊形是矩形。說(shuō)明:矩形和正方形是矩形。2.關(guān)于矩形的特性:矩形的四個(gè)內(nèi)角是直角。矩形的對(duì)角線(xiàn)是相等的,相互平分。矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖,也是中心對(duì)稱(chēng)圖(對(duì)稱(chēng)軸與任意相對(duì)中點(diǎn)集的連接),并且有兩個(gè)或多個(gè)對(duì)稱(chēng)軸。矩形具有平行四邊形的所有特性。3.矩形的對(duì)角線(xiàn)將自己分
6、割成多個(gè)直角三角形和等腰三角形,從而解決了將許多矩形問(wèn)題轉(zhuǎn)換成直角三角形或等腰三角形的問(wèn)題。直角三角形的重要特性包括:直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。直角三角形兩個(gè)銳角相互剩余;畢達(dá)哥拉斯定理;直角三角形的30角對(duì)直角邊等于斜邊的一半。(響應(yīng)時(shí)間:20分鐘)一、選擇題1.以下矩形說(shuō)明是正確的()a.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形b.對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形是矩形c.矩形的對(duì)角線(xiàn)互垂且平分d.矩形的對(duì)角線(xiàn)是相等的,互相平分*2 .如圖所示,abc中的ab=8、bc=6、ac=10、d是邊ac的上一點(diǎn),deab是點(diǎn)e,df bc是點(diǎn)f,ef的最小值是()a.2.4b. 3c。4.8d. 5*3 .在a
7、bc中,如果ab=ac=5,bc=6,點(diǎn)d是bc上的點(diǎn),則點(diǎn)d到ab和ac的距離之和為()a.5b.6c.4d二、填空4.如圖所示,在abc中,ab=ac,abc,垂直腳d,e是ac的中點(diǎn)。如果de=5,則ab的長(zhǎng)度為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。*5 .如圖所示,在abc中,ac的垂直平分線(xiàn)分別位于點(diǎn)d、f、bedf的延長(zhǎng)線(xiàn)位于點(diǎn)e。如果已知a=30、bc=2、af=bf,四邊形bcde的面積為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _第三,解決問(wèn)題*6 .已知:d是abc中ab
8、邊的中點(diǎn),ace和bcf分別用ac,bc作為傾斜邊的等腰直角三角形連接de,df。驗(yàn)證:de=df。*7 .圖,o是abc內(nèi)的一點(diǎn),依次連接ab、ob、oc、ac的中點(diǎn)d、e、f、g以形成四邊形defg。(1)請(qǐng)說(shuō)明四邊形defg是什么樣的四邊形,原因;(2)四邊形defg為矩形時(shí),點(diǎn)o所在的位置必須滿(mǎn)足哪些條件?說(shuō)明原因。1.d分析:對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形是平行四邊形,對(duì)角線(xiàn)相同的平行四邊形是矩形。2.c分析:插圖,bd連接。在abc中,ab=8、bc=6、ac=10、ab2 bc2=ac2,即abc=90。并且deab為點(diǎn)e,dfbc為點(diǎn)f,四邊形edfb為矩形,ef=bd。bd的最小值是
9、直角三角形abc邊的高度,acbd=abac,bd=4.8,ef的最小值是4.8,因此選擇c。3.d分析:abc的高cq,ah,c的czde,d的延長(zhǎng)線(xiàn)位于點(diǎn)z,ab=5,bc=6,abc,bh=ch4.10分析:在abc中,adbc,垂直腳d,adc是直角三角形;e是交流的重點(diǎn)。de=ac(在直角三角形的斜邊上,中心線(xiàn)等于斜邊的一半);/de=5,ab=ac,ab=10。5.2分析:af=bf,即f是ab的中點(diǎn),de是ac的中點(diǎn),-df是三角形abc的中線(xiàn),-de 8-bc,df=bc,和-adf=6.證明:分別連接ac、bc中點(diǎn)m、n、md、nd,em、fn、d是ab中點(diǎn),aec=90,bfc=90,em=emc=fnc=90,;emccmd=fnccnd,即emd=fnd,875 de=df。7.(1)四邊形defg是平行四邊形。原因如下:d,g分別是ab,ac的中點(diǎn),dg是abc的重標(biāo)記;dgbc和dg=bc同樣,可以證明。e
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