福師大點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題答案

1、練習(xí)（第二章）參考答案：一.判斷題(每小題2分)1.集合X的一個(gè)拓?fù)溆胁恢灰粋€(gè)基,一個(gè)基也可以生成若干個(gè)拓?fù)? )2.拓?fù)淇臻g中任兩點(diǎn)的距離是無意義的.( )3.實(shí)數(shù)集合中的開集,只能是開區(qū)間,或若干個(gè)開區(qū)間的并.( )4.T1、T2是X的兩個(gè)拓?fù)洌瑒tT1UT2是一個(gè)拓?fù)?( )5.平庸空間中任一個(gè)序列均收斂，且收斂于任一個(gè)點(diǎn)。（ ）6.從（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是連續(xù)的。（ ）7從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 8設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )9.從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）10.設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）11.設(shè)

2、為平庸空間（多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則 （ ）12.設(shè)為平庸空間的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則 （ ）二填空題：(每空格3分)1、X=Z+,T=Z1,Z2,Zn,其中Zn=n,n+1,n+2,則包含3的所有開集為包含3的所有閉集為包含3的所有鄰域?yàn)樵O(shè)A=1,2,3,4,5則A的導(dǎo)集為1,2,3,4A的閉包為1,2,3,4,52、設(shè)X為度量空間,xX,則d（x）=3、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是_ R _.4、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于的每一鄰域有 ;答案： 5、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無限子集，則= ; = ;答案：；6、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則= ; = ;答案：；7、設(shè),的拓?fù)?則的子集

3、的內(nèi)部為 ;答案：2三、單項(xiàng)選擇題（每題2分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：2、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：3、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：4、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：5、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：6、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 答案：7、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：8、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 答案：9、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 答案：10、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案

4、：11、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ） 答案: 12、已知是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 答案：13、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若, 則 答案：14、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵?） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：15、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉答案：16、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉答案：17、實(shí)數(shù)空間中的任一單點(diǎn)集是 (

5、 ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉答案：18、實(shí)數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：19、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無理數(shù)集 答案：20、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補(bǔ)集答案： 21、已知上的拓?fù)?則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（） 1 2 3 4 答案：22、已知,則上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 答案： 23、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答案：24、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答

6、案：四.證明題(52分):1. 設(shè)X有拓?fù)湟彩峭負(fù)?證:所以也是拓?fù)?2.度量空間中收斂序列的極限是唯一的.證:設(shè)x, y,則B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)=.對(duì)于B(x,(x,y)/3),存在0,當(dāng)i時(shí)有 B(x,(x,y)/3)對(duì)于B(y,(x,y)/3),存在0,當(dāng)i時(shí)有 B(y,(x,y)/3)取N=max,則當(dāng)iN時(shí)有 B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)與B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)=.矛盾3.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,B是一個(gè)基,xX,則Bx=BB|xB是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.見P.82 定理2.6.74.在歐氏平面R2中令Y=(0,y)|yR(x,0)|xR,證明:Y與實(shí)數(shù)空間R不同