垂徑定理典型例題及練習

1、【基礎知識回顧】一、 圓的定義及性質：1、 圓的定義： 形成性定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉形成的圖形叫做圓，固定的端點叫 線段OA叫做 描述性定義：圓是到定點的距離等于 的點的集合【名師提醒：1、在一個圓中，圓心決定圓的 半徑決定圓的 2、直徑是圓中 的弦】2、弦與?。?弦：連接圓上任意兩點的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類3、圓的對稱性： 軸對稱性：圓是軸對稱圖形，有 條對稱軸 的直線都是它的對稱軸 中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對稱圖形，而且具有旋轉 性，即繞圓心旋轉任意角度

2、都被與原來的圖形重合】二、 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：過圓心垂直于弦平分弦平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，注意解題過程中的靈活運用2、圓中常作的輔助線是過圓心作弦的 線3、垂徑定理常用作計算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個可求另外兩個】三、圓心角、弧、弦之間的關系： 1、圓心角定義：頂點在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對應的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：

3、該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】四、 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對的圓周角 都等于這條弧所對的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個圓周角 那么它們所對的弧 推論2、半圓（或直弦）所對的圓周角是 900的圓周角所對的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對的圓心角只有一個，而 它所對的圓周角有 個，它們的關系是 2、 作直弦所對的圓周角是圓中常作的輔助線】五、 圓內接四邊形： 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上，這個多邊形叫做 這個圓叫做 性質：圓內接四邊形的對角 【名師提醒：圓內接平行

4、四邊形是 圓內接梯形是 】垂徑定理典型例題分析：例題1、 基本概念1下面四個命題中正確的一個是（ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 D在一個圓內平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心2下列命題中，正確的是（）A過弦的中點的直線平分弦所對的弧 B過弦的中點的直線必過圓心C弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心 D弦的垂線平分弦所對的弧例題2、垂徑定理1、 在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是_cm.2、在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油后

5、，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為_cm.3、如圖，已知在中，弦，且，垂足為，于，于.（1）求證：四邊形是正方形.（2）若，求圓心到弦和的距離.4、已知：ABC內接于O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長5、如圖，F是以O為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點，A是的中點，ADBC于D，求證：AD=BF.例題3、度數問題1、已知：在中，弦，點到的距離等于的一半，求：的度數和圓的半徑. 2、已知：O的半徑，弦AB、AC的長分別是、.求的度數。例題4、相交問題如圖，已知O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求CD的長.AB

6、DCEO例題5、平行問題在直徑為50cm的O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且ABCD，求：AB與CD之間的距離.例題6、同心圓問題如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點，設大圓和小圓的半徑分別為.求證：.作 業(yè)：一、 概念題1下列命題中錯誤的有（）（1）弦的垂直平分線經過圓心（2）平分弦的直徑垂直于弦（3）梯形的對角線互相平分（4）圓的對稱軸是直徑A1個B2個C3個D4個2、O的直徑為10，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍是（ ）（A） （B）（C） （D）3如圖，如果為直徑，弦，垂足為，那么下列結論中錯誤的是（ ）ABCD4如圖，是直徑，是的

7、弦，于，則圖中不大于半圓的相等弧有（ ）對。A1對B2對C3對D4對二、垂徑定理1、過O內一點P的最長弦為10cm，最短的弦為6cm，則OP的長為 .2.在中，弦長為，圓心到弦的距離為，則半徑長為 3半徑是的圓中，圓心到長的弦的距離是 4如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑，橋拱的距度m，則拱高m.5一水平放置的圓柱型水管的橫截面如圖所示，如果水管橫截面的半徑是13cm，水面寬，則水管中水深是_cm.6如圖，O的直徑AB，垂足為點E，若，則（ ）A2 B4 C8 D167過O內一點M的最長的弦長為4cm，最短的弦長為2cm，則OM的長為（ ）Acm Bcm C1 D3cm8已知：如圖，O中直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，若，則BE的長是（ ）A1 B2 C3 D49已知O的弦AB長8cm，弦心距為3cm，則O的直徑是（ ）A5cm B10cm Ccm Dcm10已知O的半徑為2cm，弦AB長cm，則這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離為（ ）A1cm B2cm Ccm Dcm11如圖，已知的半徑為，兩弦與垂直相交于，若，則（）ABCD三、度數問題1、在中，是弦，是的中點，延長交于若，則的度數是（）ABCD四、相交問題1、圓的弦與直徑相交成30角，并且分直徑為6cm和4cm兩部分，則弦心距為（ ）A B C D五、平行問題1、 圓的兩互相平行的弦長分別和，又兩弦