全稱量詞與存在量詞

1、,全稱量詞與存在量詞,思考：什么是量詞？,一 紙； 一 牛； 一 狗； 一 馬； 一 人家； 一 小船,表示人、事物或動(dòng)作的單位的詞稱為量詞,下列命題中含有哪些量詞？,（1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x20； （2）存在實(shí)數(shù)x，滿足x20； （3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x220成立； （4）存在有理數(shù)x，使得x220成立； （5）對(duì)于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s 使得 s = n n； （6）有一個(gè)自然數(shù)s 使得對(duì)于所有自然數(shù)n，有 s = n n；,1.4.1 全 稱 量 詞,全稱量詞,下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?,(1)x3,(2)2x+1是整數(shù),(3)對(duì)所有

2、的x R,x3,(4)對(duì)任意一個(gè)x Z,2x+1是整數(shù),是,是,不是,不是,(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用量詞“所有的”對(duì)變量 x進(jìn)行限定;,關(guān)系:,(3)(4) 全稱命題,(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)”對(duì)任意一個(gè)”對(duì) 變量x進(jìn)行限定.,一.全稱命題,1. 全稱量詞及表示:,短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”、“對(duì)一切”、“對(duì)每一個(gè)”、“任給”、“所有的”在邏輯中通常叫全稱量詞。,定義：,表示：,用符號(hào)“ ”表示,2. 全稱命題及表示:,定義：,含有全稱量詞的命題，叫全稱命題。,表示：,全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有含變量x的語(yǔ)句p(x）成立”表示為:,讀作:“對(duì)任意x屬于，有p(x)成立”。,下

3、列命題中哪些是全稱命題？,（1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x20； （2）存在實(shí)數(shù)x，滿足x20； （3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x220成立； （4）存在有理數(shù)x，使得x220成立； （5）對(duì)于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s 使得 s = n n； （6）有一個(gè)自然數(shù)s 使得對(duì)于所有自然數(shù)n，有 s = n n；,(2)所有的正方形都是矩形,都是全稱命題。,例如:命題(1)對(duì)任意的n Z,2n+1是奇數(shù);,(1)實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)形式;,(2)凸多邊形的外角和等于2,例1.用量詞“ ”表達(dá)下列命題:,（3）任一個(gè)實(shí)數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù),x R,x能寫成小數(shù)形式,x x|x是凸n邊形,x的外角和等于

4、2,x R,x(-1)= -x,(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x3x2,x R,x3x2,(5)對(duì)任意角 ,都有sin2 +cos2 =1,解:,對(duì)所有的四邊形x,x的內(nèi)角和為360o,對(duì)一切四邊形x,x的內(nèi)角和為360o,每一個(gè)四邊形x的內(nèi)角和為360o,任一個(gè)四邊形x的內(nèi)角和為360o,凡是四邊形x,它的內(nèi)角和為360o,例3.判斷下列全稱命題的真假,(1) 所有的素?cái)?shù)是奇數(shù);,(2) x R, x2+11,(3) 對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù),解:,(1)2是素?cái)?shù),但不是奇數(shù).,全稱命題(1)是假命題,(2) x R,x20,從而x2+11,全稱命題(2)是真命題,(3) 是無(wú)理數(shù),但(

5、)2=2是有理數(shù),全稱命題(3)是假命題,如何判斷全稱命題的真假,方法:,若判定一個(gè)全稱命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;,若判定一個(gè)全稱命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0 ,使得P(x)不成立即可。,課本 23頁(yè) 練習(xí) 1,1.4.2 存 在 量 詞,存在量詞,下列語(yǔ)句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一個(gè)xR,使2x+1=3; (4)至少有一個(gè)xZ,x能被2和3整除.,(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句;,不

6、是,不是,是,是,(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語(yǔ)句.,關(guān)系:,(3)(4) 特稱命題,短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某個(gè)”、“有的”在邏輯中通常叫做存在量詞。,特稱命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為xM,p(x).,一.特稱命題,1. 存在量詞及表示:,定義:,用符號(hào)“”表示,含有存在量詞的命題,叫做特稱命題.,表示：,2.特稱命題及表示：,定義:,表示：,讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.,下列命題中哪些是特稱命題？,（1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x20； （2）存在實(shí)

7、數(shù)x，滿足x20； （3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x220成立； （4）存在有理數(shù)x，使得x220成立； （5）對(duì)于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s 使得 s = n n； （6）有一個(gè)自然數(shù)s 使得對(duì)于所有自然數(shù)n，有 s = n n；,例如:命題（1）有的平行四邊形是菱形; （2）有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù),都是特稱命題.,例4 設(shè)q(x):x2=x,使用不同的表達(dá)方法寫出特稱命題“xR,q(x)”,解:,存在實(shí)數(shù)x,使x2=x成立,至少有一個(gè)xR,使x2=x成立,對(duì)有些實(shí)數(shù)x,使x2=x成立,有一個(gè)xR,使x2=x成立,對(duì)某個(gè)xR,使x2=x成立,例5 下列語(yǔ)句是不是全稱或特稱命題,(1) 有一個(gè)實(shí)數(shù)

8、a,a不能取對(duì)數(shù),(2) 所有不等式的解集A,都是AR,(3) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎?,(4) 有的向量方向不定,特稱命題,全稱命題,不是命題,特稱命題,例6 判斷下列特稱命題的真假: (1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0; (2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線; (3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù).,(1)由于xR,x2+2x+3=(x+1)2+22,因此使x2+2x+3=0的實(shí)數(shù)x不存在.,解:,(2)由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的,因此不存在兩個(gè)相交的平面垂直于同一條直線.,所以,特稱命題(1)是假命題.,所以,特稱命題(2)是假命題.,例3 判斷下列特稱命題的真假: (1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0; (2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線; (3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù).,(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3,所以特稱命題(3)是真命題.,要判斷特稱命題“xM