小學(xué)數(shù)學(xué)精講教案5_2_1 數(shù)的整除之四大判斷法綜合運(yùn)用（一） 教師版

1、5-2-1.數(shù)的整除之四大判斷法綜合運(yùn)用（一）教學(xué)目標(biāo)1. 了解整除的性質(zhì)；2. 運(yùn)用整除的性質(zhì)解題；3. 整除性質(zhì)的綜合運(yùn)用.知識點(diǎn)撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能

2、被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.5.如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)?！緜渥ⅰ浚ㄒ陨弦?guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除即如果

3、bca，那么ba，ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例題精講模塊一、2、5系列【例 1】 ，要使這個連乘積的最后4個數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【難度】2星 【題型】填空【解析】 積的

4、最后4個數(shù)字都是0，說明乘數(shù)里至少有4個因數(shù)2和4個因數(shù)5，共有3個5，2個2，所以方框內(nèi)至少是【答案】【例 2】 從50到100的這51個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的0？【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【難度】4星 【題型】解答【解析】 首先，50、60、70、80、90、100中共有7個0其次，55、65、85、95和任意偶數(shù)相乘都可以產(chǎn)生一個0，而75乘以偶數(shù)可以產(chǎn)生2個0，50中的因數(shù)5乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生1個0，所以一共有個0【答案】14個連續(xù)的0【例 3】 把若干個自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？【考點(diǎn)】整除之2

5、、5系列 【難度】4星 【題型】解答【解析】 乘積末尾的零的個數(shù)是由乘數(shù)中因數(shù)2和5的個數(shù)決定的，有一對2和5乘積末尾就有一個零由于相鄰兩個自然數(shù)中必定有一個是2的倍數(shù)，而相鄰5個數(shù)中才有一個5的倍數(shù)，所以我們只要觀察因數(shù)5的個數(shù)就可以了，發(fā)現(xiàn)只有25、50、75、100、這樣的數(shù)中才會出現(xiàn)多個因數(shù)5，乘到55時共出現(xiàn)個因數(shù)5，所以至少應(yīng)當(dāng)寫到55?！敬鸢浮?5【例 4】 11個連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數(shù)的平均數(shù)是多少？【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【難度】4星 【題型】解答【解析】 因?yàn)椋捎谠?1個連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個數(shù)是7的倍數(shù)，所以其中有

6、一個必須是49的倍數(shù)，那就只能是49或98又因?yàn)槌朔e的末4位都是0，所以這連續(xù)的11個自然數(shù)至少應(yīng)該含有4個因數(shù)5連續(xù)的11個自然數(shù)中至多只能有3個是5的倍數(shù)，至多只能有1個是25的倍數(shù)，所以其中有一個必須是25的倍數(shù)，那么就只能是25、50或75所以這11個數(shù)中應(yīng)同時有49和50，且除50外還有兩個是5的倍數(shù)，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它們的平均數(shù)即為它們的中間項(xiàng)45【答案】45【例 5】 的結(jié)果除以，所得到的商再除以重復(fù)這樣的操作，在第_次除以時，首次出現(xiàn)余數(shù).【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級，第7

7、題【解析】 本題其實(shí)為求原式結(jié)果末尾有多少個連續(xù)的.0由5和2相乘得到，最關(guān)鍵在于有多少個5.能整除1次5的數(shù)有205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285，290，295共16個，會乘出16個連續(xù)的0；能整除2次5的數(shù)有225，275，300共三個，會乘出6個連續(xù)的0；能整除3次5的數(shù)有250，會乘出3個連續(xù)的0。所以共有個連續(xù)的0，則能整除25次10，第26次首次出現(xiàn)余數(shù)?！敬鸢浮看巍纠?6】 用19這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)(每個數(shù)字都要用)，每個數(shù)都是4的倍數(shù)。這三個三位數(shù)中最小的一個最大是 。【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【

8、難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第8題，10分【解析】 三個數(shù)都是4的倍數(shù)，個位必然都是偶數(shù)。當(dāng)個位是2或6時，十位是奇數(shù)，當(dāng)個位是4或8時，十位是偶數(shù)。因?yàn)?9中只有4個偶數(shù)，所以三個數(shù)中有兩個的個位分別是2和6，另一個的后兩位是84或48。因?yàn)槿齻€數(shù)的百位都是奇數(shù)，所以最小的三位數(shù)的百位最大是5，(另兩個分別是9和7)。9已被百位占用，十位最大的是8，所以三個三位數(shù)中最小的一個最大是584。注：另兩個三位數(shù)可以是912，736或932，716或916，732或936，712?！敬鸢浮俊纠?7】 若，試問能否被8整除?請說明理由 【考點(diǎn)】整除之2、5系列 【難度

9、】4星 【題型】解答【解析】 略【答案】由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可. ，有能被8整除，而也能被8整除，所以能被8整除.模塊二、3、9、99系列【例 8】 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確?！究键c(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】1星 【題型】填空【解析】 一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即432是9的倍數(shù)，而4329, 所以只需要兩個方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)依次填入3、6，因?yàn)?332618是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)。【答案】43326（答案不唯一）【鞏固】 若9位數(shù)2008

10、2008能夠被3整除，則里的數(shù)是_【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，初賽，2題【解析】 根據(jù)題目知:20+是3的倍數(shù),所以里填1或4或7.【答案】或或【例 9】 一個六位數(shù)被3除余l(xiāng)，被9除余4，這個數(shù)最小是 ?！究键c(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第2題，8分【解析】 被9除余4的數(shù)被3除必余1，所以只需考慮被9除余4這個條件。這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9應(yīng)余4。所以框里面最小是04，六位數(shù)為：204727.【答案】【例 10】 連續(xù)寫出從1開始的自然數(shù)，寫到2008時停止，得到一個多位

11、數(shù)：123456789101120072008，請說明：這個多位數(shù)除以3，得到的余數(shù)是幾？為什么？【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復(fù)賽，第15題【解析】 因?yàn)檫B續(xù)個自然數(shù)可以被整除，而且最后一個自然數(shù)都是的倍數(shù)，因?yàn)槭堑谋稊?shù)，所以是的倍數(shù)，又因?yàn)?，所以除以，得到的余數(shù)是?！敬鸢浮俊纠?11】 試說明一個兩位數(shù)，如果將個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除. 【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】2星 【題型】解答【解析】 略【答案】設(shè)原來的兩位數(shù)為，則新的兩位數(shù)為. .因?yàn)槟鼙?整除，所以它們的差能被9

12、整除.【例 12】 123456789101112131420082009除以9，商的個位數(shù)字是_ ?！究键c(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第5題【解析】 首先看這個多位數(shù)是否能為9整除，如果不能，它除以9的余數(shù)為多少。由于任意連續(xù)的9個自然數(shù)的和能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和能被9整除，那么把這9個數(shù)連起來寫，所得到的數(shù)也能被9整除。由于，所以123456789101112131420082009這個數(shù)除以9的余數(shù)等于20082009（或者12）除以9的余數(shù)，為3.那么123456789101112131420082009除以9的商，等

13、于這個數(shù)減去3后除以9的商，即123456789101112131420082006除以9的商，那么很容易判斷商的個位數(shù)字為4?！敬鸢浮俊纠?13】 證明能被6整除，那么也能被6整除 【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】2|2|e6|3e3|3|a+b+c+d+e6|2(a+b+c+d+e)6|2(a+b+c+d+e)-3e6|2（a+b+c+d）-e【例 14】 試說明一個5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)(如：12367為原序數(shù)，那么它對應(yīng)的反序數(shù)為76321，它們的差是99的倍數(shù)【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】4星 【題型】解答【

14、解析】 略【答案】設(shè)原序數(shù)為，則反序數(shù)為，則因?yàn)榈仁降挠疫吥鼙?9整除，所以能被99整除【例 15】 1至9這9個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個數(shù)是和)如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多少?【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】4星 【題型】解答【解析】 互為反序的兩個九位數(shù)的差，一定能被99整除而，所以我們只用考察它能否能被4整除于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開處兩個數(shù)的奇偶性相同時才有可能注意圖中的具體數(shù)字，

15、有(3，4)處、（8，5)處的兩個數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿足而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足進(jìn)一步驗(yàn)證，有(9，3)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處剪開，所得的兩個互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處左右兩個數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9【答案】27，8，12，48，35，9【例 16】 六位數(shù)能被99整除，是多少？ 【考點(diǎn)】整除之3

16、、9、99系列 【難度】3星 【題型】填空【解析】 方法一：200008被99除商2020余28，所以能被99整除，商72時，末兩位是28，所以為71；方法二：，能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得是71.方法三：根據(jù)一個數(shù)能被99整除的特點(diǎn)知道：是99倍數(shù)，所以【答案】71【鞏固】 六位能被99整除，這個六位數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第3題，10分【解析】 令整個六位數(shù)為，則必然是99的倍數(shù)，所以a=5,b=7。則這個六

17、位數(shù)為520047?！敬鸢浮俊眷柟獭?六位數(shù)能被99整除，它的最后兩位數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第3題，4分【解析】 試除法20039999=202423，所以最后兩位是99-23=76。【答案】【鞏固】 已知九位數(shù)既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個九位數(shù)是多少？ 【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，六年級，初賽，試題【解析】 方法一：設(shè)原數(shù)， 或者， ()或者()或者根據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得： 或者 不成立.所以， .方法二：根據(jù)一個數(shù)能被99整除的特點(diǎn)知道若想能被

18、99整除，則必能被99整除，列豎式分析得才滿足，所以答案為【答案】【例 17】 將自然數(shù)1，2，3，4依次寫下去，若最終寫到2000，成為，那么這個自然數(shù)除以99余幾？【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于，可以分別求這個數(shù)除以9和11的余數(shù)，進(jìn)而求出它除以99的余數(shù)實(shí)際上求得這個數(shù)除以9和11的余數(shù)均為3，所以這個數(shù)減去3后是9和11的倍數(shù)，那么也是99的倍數(shù)，所以這個數(shù)除以99的余數(shù)為3下面介紹另一種解法由于，所以除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)同樣，等數(shù)除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)可知，一個自然數(shù)，如果在它后面加上偶數(shù)個0，那么這個數(shù)除以99的余數(shù)等

19、于除以99的余數(shù)根據(jù)這一點(diǎn)，可以把分成若干個后面帶有偶數(shù)個0的數(shù)之和由于的位數(shù)是奇數(shù)，那么對于組成的一位數(shù)1，2，3，9，可以分成，；對于其中的兩位數(shù)10，11，12，98，99，可以分成，；對于其中的三位數(shù)100，101，102，103，998，999，兩兩一組，可以分成，；對于其中的四位數(shù)1000，1001，1999，2000，可以分成，2000那么上面分成的所有數(shù)中，雖然每個數(shù)后面的0的個數(shù)互不相同，但都是偶數(shù)個，且它們的和恰好為，那么除以99的余數(shù)就等于分成的這些數(shù)除以99的余數(shù)的和由于這些數(shù)除以99的余數(shù)分別為1，23，45，67，89；10，11，12，98，99；100101，102103，104105，998999；1000，1001，1999，2000，而其中100101，102103，104105，998999是公差為2002的等差數(shù)列，共450項(xiàng)，可知所有這些余數(shù)的和為： ，而248804130除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)，為3所以 除以99的余數(shù)為3【答案】3【例 18】 一個五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個五位數(shù)是 【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級,初賽，第6題【解析】 因?yàn)?007是9的倍數(shù)，所以，這個五位數(shù)一定是9的倍數(shù)，